ملخص الدرس / الثالثة ثانوي/رياضيات/الإحصاء و الإحتمالات /الاحتمالات

الدرس

محاكاة تجربة عشوائية - تذبذب العينات

* تجربة عشوائية :

نقول عن تجربة أنها عشوائية عندما لا يمكن أن نجزم بصفة قطعية نتيجتها قبل إنجازها .

ملاحظة : سنختار في كل الأنشطة , تجارب تكون لنتائجها حظوظ الظهور .

عينة : نسمي عينة مقاسها $n$ , كل سلسلة إحصائية مشكلة من النتائج المتحصل عليها عند تكرار هذه التجربة $n$ مرة و في نفس الظروف .

*المحاكاة : نقول أننا قمنا بمحاكاة تجربة عشوائية , عندما نختار نموذجا لها و سندا ماديا نحققها باستعماله .

دراسة مثال (دون استعمال مجدول )

*نعتبر التجربة العشوائية :

نسحب عشوائيا دون الإعادة قبل السحب الموالي , قريصة من كيس على $4$ قريصات مرقمة من $1$ الى $4$

العمل داخل القسم أو خارجه :

يكرر كل تلميذ هذه التجربة $10$ مرات (كل تلميذ يتحصل عندئذ على عينة مقاسها $10$ ) و يتم الجدول الآتي و يمثل التواترات بيانيا .

النتائج الممكنة	$1$	$2$	$3$	$4$
التكرار
التواتر

*العمل داخل القسم

نفرض أن عدد تلاميذ القسم هو $30$

يجمع الأستاذ نتائج تلميذين (عينة مقاسها $20$ ) ثم نتائج ثلث القسم (عينة مقاسها $100$ ) و أخيلرا نتائج كل القسم (عينة مقاسها $300$ ) كي يتمم مع تلاميذه الجدول التالي :

	النتائج الممكنة	$1$	$2$	$3$	$4$
العينة $20$	التكرارات
العينة $20$	التواترات
العينة $100$	التكرارات
العينة $100$	التواترات
العينة $300$	التكرارات
العينة $300$	التواترات

يمثل الأستاذ التواترات بيانيا ثم يفتح المناقشة مثلا بالسؤال : ماذا تلاحظ بالنسبة لكل عينة ؟

و هذا بغرض استدراج التلاميذ الى ملاحظة :

- تغير التكرارات منعينة الى أخرى .

- إستقرار العينة كلما كبر مقاسها

قانون احتمال تجربة عشوائية

عند القيام بتجربة عشوائية حصلنا على $n$ نتيجة $x_n,.......,x_2,x_1$ كررنا التجربة عددا كبيرا من المرات

فكانت التواترات كمايلي :

$x_i$	$x_1$	......	$x_n$
$f_i$	$f_1$	$....$	$f_n$

$p_n,.......,p_2,p_1$ حيث $0\leq p_i\leq 1$

و $\sum _i p_i=1$

تؤول التواترات النظرية الى احتمالات

$x_i$	$x_1$	......	$x_n$
$p_i$	$p_1$	$......$	$p_n$

مثال : يضم كيس $5$ كرات متماثلة , $3$ منها بيضاء $(B)$ و الباقي سوداء $(N)$ , نسحب كرتين عشوائيا و نعتبر $X$ عدد الكرات المحصل عليها , نريد تعريف قانون الإحتمال لـ $X$ في كل الحالات التالية :

1) السحب المتزامن (في آن واحد) : هنا لايهم الترتيب و التكرار غير مسموح و عليه فعدد المخارج الكلي هو $10$ , كلهم من الشكل $\left \{ (N;N),(N;B),(B;B) \right \}$ و منه

$P(N;N)=p(X=0)=\frac{1}{10}$ , $P(N;B)=P(X=1)=\frac{6}{10}$ , $P(B;B)=P(X=2)=\frac{3}{10}$

$x_i$	$0$	$1$	$2$
$P_i$	$\frac{1}{10}$	$\frac{6}{10}$	$\frac{3}{10}$

2) السحب على التوالي دون إرجاع : هنا الترتيب مهم والتكرار غير مسموح و عليه فعدد المخارج الكلي هو $20$

(لسحب الكرة الأولى $5$ لدينا إختيارات و إذا ما أردنا سحب الكرة الثانية نجد أمامنا $4$ اختيارات مادام الأولى تعاد الى الكيس و بالتالي $5\times 4=20$ ) إذن

$P(N;N)=P(X=0)=\frac{2}{5}\times \frac{1}{4}=\frac{2}{20}$

$P((N;B),(B,N))=P(X=1)=\frac{2}{5}\times \frac{3}{4}+\frac{3}{5}\times \frac{2}{5}=\frac{12}{20} \\\\ P(B;B)=P(X=2)=\frac{2}{5}\times \frac{2}{4}=\frac{6}{20}$

$x_i$	$0$	$1$	$2$
$P_i$	$\frac{2}{20}$	$\frac{12}{20}$	$\frac{6}{20}$

3) السحب على التواليى مع الإرجاع : هنا الترتيب مهم و التكرار مسموح ( مادام الكرة المسحوبة تعاد الى الكيس فيمكن سحبها في المرة الثانية و عليه فأمامنا $5$ إختيارات كلما أردنا سحب كرة و بالتالي فعدد المخارج الكلي $5\times 5=25$ )

$P(N;N)=P(X=0)=\frac{2}{5}\times \frac{2}{5}= \frac{4}{25}$ $P((N;N),(B,N))=P(X=1)=\frac{2}{5}\times \frac{3}{5}+\frac{3}{5}\times \frac{2}{25}=\frac{12}{25} ,$

$P(B;B)=P(X=2)=\frac{3}{5}\times \frac{3}{5}\times \frac{3}{5}=\frac{9}{25}$

$x_i$	$0$	$1$	$2$
$P_i$	$\frac{4}{25}$	$\frac{12}{25}$	$\frac{9}{20}$

الأمل الرياضياتي و التباين لقانون احتمال :

تعريف :

* الأمل الرياضياتي لقانون احتمال هو المعدل $\mu$ حيث $\mu=p_1x_1+p_2x_2+......+p_nx_n=\sum _i=1^nP_ix_i$

* التباين لقانون احتمال هو العدد $V$ حيث $V=\sum _i=1^n P_i(x_i- \mu )^2$ , الإنحراف المعياري هو $\sigma =\sqrt V$

- ملاحظات :

1- كما في الإحصاء يميز العدد $V$ تشتت القيم حول المعدل $\mu$

2- يمكن حساب $V$ بالدستور $V=\sum i=1^n P_ix_i^2-\mu^2$

- خواص :

1- عند إضافة عدد ثابت $a$ لكل القيم $x_i$ يضاف $a$ الى الأمل الرياضياتي .

الإحتمالات الشرطية

1- تعريف :

لتكن $A$ حادثة من مجموع المخارج $\Omega$ حيث $P(A)\neq 0$ . نعرف على $\Omega$ احتمالا جديدا يرمز له بالرمز $P_A$ حيث من أجل كل حادثة $B$ نكتب

$P_A=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}$

$P_A$ يسمى الاحتمال الشرطي علما أن $A$ محققة

$P_A(B)=P(B/A)$ و تقرأ "احتمال $B$ علما أن $A$ محققة "

مثال : صندوق يحوي $5$ قريصات مرقمة بالأرقام $8,6,4,2,0$ و $3$ قريصات مرقمة بالأرقام $5,3,1$ لانميز بينها عند اللمس . نسحب عشوائيا على التوالي و دزون إرجاع قريصتين من الصندوق

- ما احتمال الحصول على رقمين زوجيين ؟

الحل :

نسمي $A$ الحادثة "القريصة المسحوبة الأولى تحمل رقما زوجيا " و $B$ الحادثة "القريصة الثانية تحمل رقما فرديا "

واضح أن $P(A)=\frac{5}{8}$ و نرد حساب $P(A\cap B)$ أي $P(A)\times P(B/A)$ و حسب التعريف

لكن $P(B/A)$ هو احتمال سحب رقما زوجيا من الصندوق الذي لا يحوي الا أربعة أرقام زوجية من بين $7$ أرقام أي $P(B/A)=\frac{4}{7}$

و بالتالي $P(A\cap B)=\frac{5}{8}\times \frac{4}{7}=\frac{5}{14}$

شجرة الإمكانيات :

لاحظ الشكل المرفق

يضم صندوق قطعتي نقد .

- قطعة $A$ عادية (تحمل وجه و ظهر )

- القطعة $B$ فمغشوشة بحيث احتمال ظهور الوجه هو $3/1$ نختار قطعة واحدة من الصندوق و نرميها مرة واحدة .

المطلوب : انجاز مخطط يوضح جميع الحالات التي يمكن أن نتحصل عليها باعتبار الحوادث $A$ " رمي القطعة $A$ ", $B$ " رمي القطعة $B$ " , $F$ " الحصول على وجه " , $P$ "الحصول على ظهر "

$P(A)$ يعني احتمال رمي القطعة $A$ أما $P(F)$ احنمال الحصول على وجه , $P(P)$ : احتمال الحصول على ظهر

الحوادث المستقلة

تعريف :

نقول عن حادثتين $A$ و $B$ أنهما مستقلتان إذا وفقط إذا كان

$P(A\cap B)=P(A)\times P(B)$

إذا كان $P(A)\neq 0$ فإن $P(B/A)=P(B)$

نتيجة : الحادثتان المستقلتان هما اللتان يكون وقوع إحداهما أو عدمه غير مؤثر في الأخرى .

مثال 1 :

* نرمي قطعة نقود مرتين متتابعتين . نتيجة الرمية الأولى لا تؤثر بحال من الأحوال في نتيجة الرمية الثانية إذن : الرميتان هما عبارتان عن حادثتين مستقلتين .

* رمي حجر نرد $n$ مرة متتابعة . نتيجة كل رمية لا تتأثر بحال من الأحوال بالرميات الأخرى إذن : الرميات كلها هي عبارة عن حادث مستقل مثنى مثنى .

مثال 2 : لبنى و مروة أختان مجتهدتان تحضران نفسيهما لامتحان شهادة البكالوريا بكل جد .

قال الأستاذ لأبيهما لا شك أنهما ستنجحان في امتحان شهادة البكالوريا - ان شاء الله - إلا أن احتمال حصول لبنى على ملاحظة جيد هو $0,9$ أما مروة فهو $0,5$ .

نعتبر الحدثين $L$ "تحصل لبنى على ملاحظة " , $M$ "تحصل مروة على ملاحظة جيد" .

1- احتمال حصول الأختين معا على ملاحظة جيد .

هو : بما أن الحادثتين $L$ و $M$ مستقلتان فإن $P(L\cap M)=P(L)\times P(M)=0,9\times 0,5=0,45$

2- احتمال إحدى الأختين فقط على ملاحظة جيد .

هو :

$P[(L\cap \overline{M})\cup (\overline{L}\cap M)]=P(L)\times P(\overline{M})+P(\overline{L}ç\times P(M)) =0,9\times 0,5+0,1\times 0,5=0,5$

لأن استقلال الحادثتين $L$ و $M$ يؤدي الى استقلال الحادثتين $(\overline{L}\cap M)$ , $(L\cap \overline{M})$

3- أب الأختين واقعي جدا , قال لا نعرف ما يخبئه لنا الغد , فليكن احتمال نجاح كل منهما في شهادة البكالوريا أصلا هو $0,9$ .

بنا ء عل توقعات الأب و الأستاذ ,

-احتمال حصول الأختين معا ملاحظة جيد :

و اعتمادا على الشجرة المقابلة هو

$P[(B\cap L)\cap (B\cap M)]=P(B\cap L)\times P(B\cap M) \\\\ =0,9\times 0,9\times 0,9\times 0,5=0,3645$