ملخص الدرس / الثالثة ثانوي/رياضيات/الإحصاء و الإحتمالات /الاحتمالات

الدرس

محاكاة تجربة عشوائية - تذبذب العينات

* تجربة عشوائية :

نقول عن تجربة أنها عشوائية عندما لا يمكن أن نجزم بصفة قطعية نتيجتها قبل إنجازها .

ملاحظة : سنختار في كل الأنشطة , تجارب تكون لنتائجها حظوظ الظهور .

عينة : نسمي عينة مقاسها , كل سلسلة إحصائية مشكلة من النتائج المتحصل عليها عند تكرار هذه التجربة مرة و في نفس الظروف .

*المحاكاة : نقول أننا قمنا بمحاكاة تجربة عشوائية , عندما نختار نموذجا لها و سندا ماديا نحققها باستعماله .

دراسة مثال (دون استعمال مجدول )

*نعتبر التجربة العشوائية :

نسحب عشوائيا دون الإعادة قبل السحب الموالي , قريصة من كيس على قريصات مرقمة من الى

العمل داخل القسم أو خارجه :

يكرر كل تلميذ هذه التجربة مرات (كل تلميذ يتحصل عندئذ على عينة مقاسها ) و يتم الجدول الآتي و يمثل التواترات بيانيا .

النتائج الممكنة
التكرار
التواتر

*العمل داخل القسم

نفرض أن عدد تلاميذ القسم هو

يجمع الأستاذ نتائج تلميذين (عينة مقاسها ) ثم نتائج ثلث القسم (عينة مقاسها ) و أخيلرا نتائج كل القسم (عينة مقاسها ) كي يتمم مع تلاميذه الجدول التالي :

	النتائج الممكنة
العينة	التكرارات
العينة	التواترات
العينة	التكرارات
العينة	التواترات
العينة	التكرارات
العينة	التواترات

يمثل الأستاذ التواترات بيانيا ثم يفتح المناقشة مثلا بالسؤال : ماذا تلاحظ بالنسبة لكل عينة ؟

و هذا بغرض استدراج التلاميذ الى ملاحظة :

- تغير التكرارات منعينة الى أخرى .

- إستقرار العينة كلما كبر مقاسها

قانون احتمال تجربة عشوائية

عند القيام بتجربة عشوائية حصلنا على نتيجة كررنا التجربة عددا كبيرا من المرات

فكانت التواترات كمايلي :

		......
		$....$

حيث $0\leq p_i\leq 1$

و $\sum _i p_i=1$

تؤول التواترات النظرية الى احتمالات

		......
		$......$

مثال : يضم كيس كرات متماثلة , منها بيضاء و الباقي سوداء , نسحب كرتين عشوائيا و نعتبر عدد الكرات المحصل عليها , نريد تعريف قانون الإحتمال لـ في كل الحالات التالية :

1) السحب المتزامن (في آن واحد) : هنا لايهم الترتيب و التكرار غير مسموح و عليه فعدد المخارج الكلي هو , كلهم من الشكل $\left \{ (N;N),(N;B),(B;B) \right \}$ و منه

$P(N;N)=p(X=0)=\frac{1}{10}$ , $P(N;B)=P(X=1)=\frac{6}{10}$ , $P(B;B)=P(X=2)=\frac{3}{10}$


	$\frac{1}{10}$	$\frac{6}{10}$	$\frac{3}{10}$

2) السحب على التوالي دون إرجاع : هنا الترتيب مهم والتكرار غير مسموح و عليه فعدد المخارج الكلي هو

(لسحب الكرة الأولى لدينا إختيارات و إذا ما أردنا سحب الكرة الثانية نجد أمامنا اختيارات مادام الأولى تعاد الى الكيس و بالتالي $5\times 4=20$ ) إذن

$P(N;N)=P(X=0)=\frac{2}{5}\times \frac{1}{4}=\frac{2}{20}$

$P((N;B),(B,N))=P(X=1)=\frac{2}{5}\times \frac{3}{4}+\frac{3}{5}\times \frac{2}{5}=\frac{12}{20} \\\\ P(B;B)=P(X=2)=\frac{2}{5}\times \frac{2}{4}=\frac{6}{20}$


	$\frac{2}{20}$	$\frac{12}{20}$	$\frac{6}{20}$

3) السحب على التواليى مع الإرجاع : هنا الترتيب مهم و التكرار مسموح ( مادام الكرة المسحوبة تعاد الى الكيس فيمكن سحبها في المرة الثانية و عليه فأمامنا إختيارات كلما أردنا سحب كرة و بالتالي فعدد المخارج الكلي $5\times 5=25$ )

$P(N;N)=P(X=0)=\frac{2}{5}\times \frac{2}{5}= \frac{4}{25}$ $P((N;N),(B,N))=P(X=1)=\frac{2}{5}\times \frac{3}{5}+\frac{3}{5}\times \frac{2}{25}=\frac{12}{25} ,$

$P(B;B)=P(X=2)=\frac{3}{5}\times \frac{3}{5}\times \frac{3}{5}=\frac{9}{25}$


	$\frac{4}{25}$	$\frac{12}{25}$	$\frac{9}{20}$

الأمل الرياضياتي و التباين لقانون احتمال :

تعريف :

* الأمل الرياضياتي لقانون احتمال هو المعدل $\mu$ حيث $\mu=p_1x_1+p_2x_2+......+p_nx_n=\sum _i=1^nP_ix_i$

* التباين لقانون احتمال هو العدد حيث $V=\sum _i=1^n P_i(x_i- \mu )^2$ , الإنحراف المعياري هو $\sigma =\sqrt V$

- ملاحظات :

1- كما في الإحصاء يميز العدد تشتت القيم حول المعدل $\mu$

2- يمكن حساب بالدستور $V=\sum i=1^n P_ix_i^2-\mu^2$

- خواص :

1- عند إضافة عدد ثابت لكل القيم يضاف الى الأمل الرياضياتي .

الإحتمالات الشرطية

1- تعريف :

لتكن حادثة من مجموع المخارج $\Omega$ حيث $P(A)\neq 0$ . نعرف على $\Omega$ احتمالا جديدا يرمز له بالرمز حيث من أجل كل حادثة نكتب

$P_A=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}$

يسمى الاحتمال الشرطي علما أن محققة

و تقرأ "احتمال علما أن محققة "

مثال : صندوق يحوي قريصات مرقمة بالأرقام و قريصات مرقمة بالأرقام لانميز بينها عند اللمس . نسحب عشوائيا على التوالي و دزون إرجاع قريصتين من الصندوق

- ما احتمال الحصول على رقمين زوجيين ؟

الحل :

نسمي الحادثة "القريصة المسحوبة الأولى تحمل رقما زوجيا " و الحادثة "القريصة الثانية تحمل رقما فرديا "

واضح أن $P(A)=\frac{5}{8}$ و نرد حساب $P(A\cap B)$ أي $P(A)\times P(B/A)$ و حسب التعريف

لكن هو احتمال سحب رقما زوجيا من الصندوق الذي لا يحوي الا أربعة أرقام زوجية من بين أرقام أي $P(B/A)=\frac{4}{7}$

و بالتالي $P(A\cap B)=\frac{5}{8}\times \frac{4}{7}=\frac{5}{14}$

شجرة الإمكانيات :

لاحظ الشكل المرفق

يضم صندوق قطعتي نقد .

- قطعة عادية (تحمل وجه و ظهر )

- القطعة فمغشوشة بحيث احتمال ظهور الوجه هو نختار قطعة واحدة من الصندوق و نرميها مرة واحدة .

المطلوب : انجاز مخطط يوضح جميع الحالات التي يمكن أن نتحصل عليها باعتبار الحوادث " رمي القطعة ", " رمي القطعة " , " الحصول على وجه " , "الحصول على ظهر "

يعني احتمال رمي القطعة أما احنمال الحصول على وجه , : احتمال الحصول على ظهر

الحوادث المستقلة

تعريف :

نقول عن حادثتين و أنهما مستقلتان إذا وفقط إذا كان

$P(A\cap B)=P(A)\times P(B)$

إذا كان $P(A)\neq 0$ فإن

نتيجة : الحادثتان المستقلتان هما اللتان يكون وقوع إحداهما أو عدمه غير مؤثر في الأخرى .

مثال 1 :

* نرمي قطعة نقود مرتين متتابعتين . نتيجة الرمية الأولى لا تؤثر بحال من الأحوال في نتيجة الرمية الثانية إذن : الرميتان هما عبارتان عن حادثتين مستقلتين .

* رمي حجر نرد مرة متتابعة . نتيجة كل رمية لا تتأثر بحال من الأحوال بالرميات الأخرى إذن : الرميات كلها هي عبارة عن حادث مستقل مثنى مثنى .

مثال 2 : لبنى و مروة أختان مجتهدتان تحضران نفسيهما لامتحان شهادة البكالوريا بكل جد .

قال الأستاذ لأبيهما لا شك أنهما ستنجحان في امتحان شهادة البكالوريا - ان شاء الله - إلا أن احتمال حصول لبنى على ملاحظة جيد هو أما مروة فهو .

نعتبر الحدثين "تحصل لبنى على ملاحظة " , "تحصل مروة على ملاحظة جيد" .

1- احتمال حصول الأختين معا على ملاحظة جيد .

هو : بما أن الحادثتين و مستقلتان فإن $P(L\cap M)=P(L)\times P(M)=0,9\times 0,5=0,45$

2- احتمال إحدى الأختين فقط على ملاحظة جيد .

هو :

$P[(L\cap \overline{M})\cup (\overline{L}\cap M)]=P(L)\times P(\overline{M})+P(\overline{L}ç\times P(M)) =0,9\times 0,5+0,1\times 0,5=0,5$

لأن استقلال الحادثتين و يؤدي الى استقلال الحادثتين $(\overline{L}\cap M)$ , $(L\cap \overline{M})$

3- أب الأختين واقعي جدا , قال لا نعرف ما يخبئه لنا الغد , فليكن احتمال نجاح كل منهما في شهادة البكالوريا أصلا هو .

بنا ء عل توقعات الأب و الأستاذ ,

-احتمال حصول الأختين معا ملاحظة جيد :

و اعتمادا على الشجرة المقابلة هو

$P[(B\cap L)\cap (B\cap M)]=P(B\cap L)\times P(B\cap M) \\\\ =0,9\times 0,9\times 0,9\times 0,5=0,3645$