ملخص الدرس / الثالثة ثانوي/رياضيات/الحساب التكاملي/الحساب التكاملي

الدرس

من الأستاذ(ة) وزارة التربية الوطنية

الدالة الأصلية و مساحة حيز تحت منحن

خاصية :

دالة مستمرة و موجبة على مجال . و عددان حقيقيان من حيث $a\leq b$ منحني في معلم متعامد و دالة أصلية لـ على

مساحة الحيز تحت المنحني بين العددين و هو العدد الحقيقي

ملاحظات :

1- الحيز تحت المنحني بين العددين و هو الحيز المحدد بالمنحني محور الفواصل و المستقيمين اللذين معادلتاهما و

2- وحدة المساحة هي مساحة المستطيل حيث هي النقطة التي احداثياها ,

تعريف التكامل

دالة مستمرة على مجال . و عددان حقيقيان من إذا كانت و دالتين أصليتين للدالة على فإنه يوجد عدد حقيقي بحيث من أجل كل من ;

لدينا :

نلاحظ هكذا أن العدد مستقل عن اختيار الدالة الاصلية للدالة على المجال .

تعريف :

دالة مستمرة على المجال . و عددان حقيقيان من ,

يسمى العدد الحقيقي حيث دالة أصلية للدالة على , التكامل من الى لـ و نرمز اليه بالرمز $\int _a^bf(x)d(x)$

نقرأ : التكامل من الى لـ تفاضل ,

ملاحظة :

1- علميا لحساب العدد $\int _a^bf(x)dx$ نقوم بتعيين دالة أصلية للدالة على مجال يشمل العددين و ثم نكتب :

$\int _a^bf(x)dx=[F(x)]_a^b=F(b)-F(a)\\\\$

2- يمكن استبدال المتغير بأحد الحروف فيكون لدينا مثلا $\int _a^bf(x)d(x)=\int _a^bf(t)dt$

خاصية :

دالة مستمرة و موجبة على مجال . و عددان حقيقيان من حيث $a\leq b$ .

منحني في معلم متعامد و دالة اصلية لـ على . مساحة الحيز المستوي المحدد بالمنحني و بالمستقينات التي معادلاتها , و هو العدد الحقيقي $\int _a^bf(x)dx$ .

خواص التكامل

1- علاقة شال :

خاصية :

دالة مستمرة على مجال , من أجل كل أعداد حقيقية و من لدينا :

$\int _a ^bf(x)dx+\int _b^cf(x)dx=\int _a^cf(x)dx$

البرهان : إذا كانت دالة أصلية لــ على فإن :

$\int _a^bf(x)dx+\int _b^cf(x)dx=\left [ F(b)-F(a) \right ]+[F(c)-F(b)]=[F(c)-F(a)]= \int _a^bf(x)dx$

نتائج : من الواضح أن $\int _a^bf(x)dx=0$ و منه إذا أخذنا نحصل على $\int _a^bf(x)dx =-\int _a^bf(x)dx$

2- الخطية :

خاصية : و دالتان مستمرتان على مجال و عدد حقيقي من أجل كل عددين حقيقيين و من لدينا :

البرهان :

العلاقة (1) : نعلم أنه إذا كانت و دالتين أصليتين على الترتيب للدالتين و على المجال فإن الدالة دالة أصلية للدالة على المجال و منه :

$\int _a^b[f(x)+g(x)]dx=[F(x)+G(x)]_a^b=[F(b)+G(b)]-[F(a)+G(a)]\\\\ =[F(b)-F(a)]+[G(b)-G(a)]=\int _a^bf(x)dx+\int _a^bg(x)dx$

العلاقة (2) : نتبع منهجية مماثلة علما أنه إذا كات دالة أصلية لـ على فإن دالة أصلية لـ على .

3- المقارنة :

خواص : و دالتان مستمرتان على مجال

(1) إذا كان من أجل كل من $f(x)\geq 0$ فإن $\int _a^bf(x)dx\geq 0$

(2) إذا كان من أج كل من , $f(x)\leq g(x)$ فإن $\int _a^bf(x)dx\leq \int_a^bg(x)dx$

البرهان :

العلاقة (1) : إذا كانت دالة أصلية لـ على فإن من أجل كل من , و بما أن $f(x)\geq 0$ على فإن متزايدة على وبالتالي $F(a)\leq F(b)$ أي $F(b)-F(a)\geq 0$ و منه $\int _a^bf(x)dx\geq 0$

بالنسبة لبرهان العلاقة (2) يكفي لأن نلاحظ أن $g(x)-f(x)\geq 0$ و نطبق النتائج السابقة .

القيمة المتوسطة

1- القيمة المتوسطة لدالة على مجال :

تعريف : دالة مستمرة على مجال

القيمة الممتوسطة للدالة على المجال هي العدد الحقيقي : $m=\frac{1}{b-a}\int _a^bf(x)dx$

التفسير البياني في حالة موجبة :

نفرض أن الدالة موجبة على المجال ليكن التمثيل البياني للدالة في معلم متعامد .

$m=\frac{1}{b-a}\int _a^bf(x)dx$ يعني $m(b-a)=\int _a^bf(x)dx$

نعلم أن $\int_a^bf(x)dx$ هو مساحة الحيز الواقع تحت المنحني بين و

هي مساحة المستطيل الذي بعداه و (القيمة المتوسطة )

و هكذا فإن ,فإن القيمة المتوسطة لـ على هي ارتفاع النستطيل الذي قاعدته و الذي له نفس مساحة الحيز الواقع تحت المنحني بين و

نلاحظ أن للحيزين المليونين بالأزرق و الأحمر نفس المساحة .

2- حصر القيمة المتوسطة :

خواص :

دالة مستمرة على مجال

إذا وجد عددان حقيقيان و بحيث من أجل كل من , $m\leq f(x)\leq M$ فإن :

$m(b-a)\leq \int _a^bf(x)dx \leq M(b-a )$

البرهان : من أجل كل من لدينا : $m\leq f(x)\leq M$ و منه وباستعمال خاصية المقارنة يكون لدينا :

$\int _a^bmdx\leq \int _a^bf(x)dx\leq \leq _a^bf(x)dx \leq \int _a^bMdx$ أي $m\int _a^b dx\leq \int _a^b f(x)dx \leq M \int _a^b dx$

و بما أن $\int _a^bdx =b-a$ نحصل على $m(b-a)\leq \int _a^bf(x) f(x)dx \leq M(b-a )$

حالة خاصة : إذا كانت دالة مستمرة على مجال و كان و عددان حقيقيان من ووجد عدد حقيقي

التفسير البياني في حالة موجبة و $m\geq 0$ :

مساحة الحيز تحت المنحني الممثل لـ بين و محصورة بين مساحتي المستطيلين اللذين ارتفاعهما و و عرضها كما أن القيمة المتوسطة $\mu$ هي الأخرى محصورة بين و .

التمديد الى دالة اشارتها كيفية

1- تكامل دالة سالبة على مجال :

لتكن دالة مستمرة و سالبة على مجال .ة ليكن تمثيلها البياني في معلم متعامد $(O;\vec i;\vec j)$ .

نرمز بـ الى مساحة الحيز المحدد بالمنحني و بالمستقيمات التي معادلاتها و و بـ الى مساحة الحيز المحدد بالمنحني و بالمستقيمات التي معادلاتها و

بما أن سالبة على فإن موجبة تماما على بالتالي $A'=\int _a^b-f(x)dx$

الحيز و متناظران بالنسبة الى محور الفواصل فمساحتاهما متساويتان أي .

و بالتالي فإن $A=\int ^b_a-f(x)dx$ أو $\int ^b_af(x)dx=-A$ . نقول أحيانا أن $\int ^b_af(x)dx$ هي الممساحة الجبرية للحيز

فتكون سالبة إذا كانت سالبة على و تكون موجبة ادا كانت موجبة على

2- تكامل دالة تغير اشارتها على مجال :

لتكن مثلا دالة مستمرة و تغير اشارتها على مجال و ليكن تمثيلها البياني في معلم متعامد $(O;\vec i;\vec j)$

نرمز بـ الى مساحة الحيز المحدد بالمنحني و بالمستقيمات التي معادلاتها و

نلاحظ مثلا في الشكل المرفق أن موجبة على و سالبة عى المجالين و

نرمز بـ الى مساحة الحيز , بـ الى مساحة الحيز و بـ الى مساحة الحيز

لدينا و بما أن $A_2=\int _c^df(x)dx ;A_1= \int ^c_af(x)dx$ و $A_3=\int ^b_df(x)dx$

فإن : $A=\int _a^cf(x)dx+\int _c^df(x)dx-\int _d^bf(x)dx$

ملاحظة :

بصفة عامة لحساب مساحة حيز محدد بالمستقيمات التي معادلاتها و و بمنحن ممثل لدالة تغير اشارتها على نقوم أولا بتحديد المجالات التي تحتفظ فيها الدالة بإشارة ثابتة (سالبة أو موجبة ) ثم نطبق النتيجةعلى كل مجال من المجالات .

توظيف الحساب التكاملي لحساب دوال أصلية

1- المكاملة بالتجزئة :

مبرهنة : لتكن و دالتين قابلتين للاشتقاق على مجال بحيث أن الدالتين المشتقتين و مستمرتان على من أجل كل عددين حقيقيين و من لدينا :

$\int _a^bu(x)v'(x)dx=\left [ u(x)v(x) \right ]_a^b-\int _a^bu'(x)v(x)dx$

البرهان :

الدالتان و قابلتان للاشتقاق على و منه الدالة الجداء قابلة للاشتقاق على و لدينا :

الدالتان و قبلتان للاشتقاق على فهما إذن مستمرتان على . لدينا كذلك الدالتان و مستمرتان على و منه الدوال و مجموعهما مستمرة على . بحساب التكامل من الى نحصل على $\int _a^b(uv)'(x)dx=\int _a^b\left [ u'(x)v(x)+u(x)v'(x) \right ]dx$ باستعمال خواص الخطية نجد :

$\int _a^b(uv)'(x)=\int _a^bu'(x)v(x)dx +\int ^b_au(x)v'(x)dx$ و علما أن الدالة دالة أصلية للدالة فإن

$\left [ u(x)v(x) \right ]_a^b=\int _a^bu'(x)v(x)dx+\int _a^bu(x)v'(x)dx$ و هكذا نصل الى النتيجة :

$\int _a^bu(x)v'(x)dx=\left [ u(x)v(x) \right ]_a^b-\int u'(x)v(x)dx$

2- الدالة الأصلية لدالة والتي تنعدم من أجل قيمة :

مبرهنة: دالة مستمرة على مجال و عدد حقيقي من .

الدالة الأصلية الوحيدة للدالة على و التي تنعدم من أجل هي الدالة $F:x \mapsto \int _a^xf(t)dt$

البرهان :

نضع $F(x)=\int _a^xf(t)dt$ و منه إذا كانت دالة أصلية للدالة على المجال يكون لدينا :

من أجل كل من , و بالتالي : من أجل كل من

نستنتج أن الدالة دالة أصلية للدالة على المجال , بالإضافة الى ذلك لدينا :

إذن الدالة هي الدالة الأصلية الوحيدة للدالة على و التي تنعدم من أجل

ملاحظة :

من الواضح أنه إذا كانت $F(x)=\int _a^xf(t)dt$ فإن

مثال :

نعلم أنه من أجل كل من $]0;+\infty[$ , $(\ln )'(x)=\frac{1}{x}$ كما نعلم أن $\ln (1)=0$ وبالتالي لدينا :

كمن أجل كل من $\ln x =\int _1^x\frac{1}{t}dt ; ]0;+\infty [$