ملخص الدرس / الثالثة ثانوي/رياضيات/الحساب التكاملي/الحساب التكاملي

خاصية : 

 دالة مستمرة و موجبة على مجال   .    و    عددان حقيقيان من    حيث     منحني  في معلم متعامد     و   دالة أصلية لـ    على    

مساحة الحيز تحت المنحني      بين العددين     و     هو العدد الحقيقي     

ملاحظات : 

1- الحيز تحت المنحني     بين العددين    و    هو    الحيز المحدد بالمنحني     محور الفواصل و المستقيمين اللذين معادلتاهما    و   

2- وحدة المساحة هي مساحة المستطيل     حيث    هي النقطة التي احداثياها   ,

   دالة مستمرة على مجال .    و     عددان حقيقيان من     إذا كانت    و    دالتين أصليتين للدالة     على    فإنه يوجد عدد حقيقي     بحيث من أجل كل    من    ; 

لدينا : 

نلاحظ هكذا أن العدد      مستقل عن اختيار الدالة الاصلية للدالة     على المجال    .

تعريف : 

   دالة مستمرة على المجال   .    و عددان حقيقيان من    ,

يسمى العدد الحقيقي     حيث     دالة أصلية للدالة     على   ,   التكامل من    الى   لـ   و نرمز اليه بالرمز 

   نقرأ : التكامل من   الى    لـ    تفاضل , 

ملاحظة : 

1- علميا لحساب العدد    نقوم بتعيين دالة أصلية     للدالة    على مجال     يشمل العددين    و    ثم نكتب : 

2- يمكن استبدال المتغير     بأحد الحروف       فيكون لدينا مثلا    

خاصية :

   دالة مستمرة و موجبة على مجال  .    و     عددان حقيقيان من    حيث  .

   منحني في معلم متعامد و   دالة اصلية لـ      على   .  مساحة الحيز المستوي المحدد بالمنحني      و بالمستقينات التي معادلاتها     ,  و     هو العدد الحقيقي     . 

1- علاقة شال : 

  خاصية : 

 دالة مستمرة على مجال    ,  من أجل كل أعداد حقيقية      و    من    لدينا : 

البرهان : إذا كانت    دالة أصلية لــ     على   فإن : 

نتائج : من الواضح أن      و منه إذا أخذنا       نحصل على    

2- الخطية :   

خاصية :      و    دالتان مستمرتان على مجال    و    عدد حقيقي من أجل كل عددين حقيقيين   و     من   لدينا : 

البرهان : 

العلاقة (1) : نعلم أنه إذا كانت    و    دالتين أصليتين على الترتيب للدالتين    و    على المجال    فإن الدالة    دالة أصلية للدالة     على المجال  و منه : 

العلاقة (2) : نتبع منهجية مماثلة علما أنه إذا كات    دالة أصلية لـ     على    فإن     دالة أصلية  لـ    على   . 

3- المقارنة : 

خواص :     و   دالتان مستمرتان على مجال    

(1) إذا كان من أجل كل    من    فإن 

(2) إذا كان من أج كل    من    ,     فإن 

البرهان : 

العلاقة (1) :   إذا كانت    دالة أصلية لـ     على    فإن من أجل كل    من    ,    و بما أن     على   فإن    متزايدة على   وبالتالي      أي     و منه 

  بالنسبة لبرهان العلاقة (2) يكفي لأن نلاحظ أن     و نطبق النتائج السابقة . 

1- القيمة المتوسطة لدالة على مجال : 

تعريف :    دالة مستمرة على مجال    

القيمة الممتوسطة للدالة     على المجال     هي العدد الحقيقي  : 

التفسير البياني في حالة موجبة :

نفرض أن الدالة  موجبة على المجال     ليكن     التمثيل البياني للدالة    في معلم متعامد   . 

             يعني 

نعلم أن     هو مساحة الحيز الواقع تحت المنحني     بين    و  

    هي مساحة المستطيل الذي بعداه    و   (القيمة المتوسطة ) 

و هكذا فإن    ,فإن القيمة المتوسطة لـ     على    هي ارتفاع النستطيل الذي قاعدته    و الذي له نفس مساحة الحيز الواقع تحت المنحني     بين    و  

نلاحظ أن للحيزين المليونين بالأزرق و الأحمر نفس المساحة . 

2- حصر القيمة المتوسطة : 

خواص : 

   دالة مستمرة على مجال   

إذا وجد عددان حقيقيان     و   بحيث من أجل كل    من   ,   فإن : 

البرهان : من أجل كل    من     لدينا  :     و منه وباستعمال خاصية المقارنة يكون لدينا : 

    أي 

    و بما أن     نحصل على   

حالة خاصة : إذا كانت     دالة مستمرة على مجال    و كان    و    عددان حقيقيان من   ووجد عدد حقيقي 

بحيث من أجل كل   من    ,    فإن     

التفسير البياني في حالة    موجبة  و    : 

مساحة الحيز تحت المنحني الممثل لـ    بين    و  محصورة بين مساحتي المستطيلين اللذين ارتفاعهما    و   و عرضها     كما أن القيمة المتوسطة    هي الأخرى محصورة بين     و   . 

1- تكامل دالة سالبة على مجال :

لتكن    دالة مستمرة و سالبة على مجال      .ة ليكن     تمثيلها البياني في معلم متعامد    .

نرمز بـ     الى مساحة الحيز      المحدد بالمنحني       و بالمستقيمات التي معادلاتها      و    و بـ     الى مساحة     الحيز المحدد بالمنحني     و بالمستقيمات التي معادلاتها       و   

بما أن      سالبة على     فإن      موجبة تماما على    بالتالي     

الحيز    و    متناظران بالنسبة الى محور الفواصل فمساحتاهما متساويتان أي     . 

و بالتالي فإن       أو   . نقول أحيانا أن      هي الممساحة الجبرية للحيز 

فتكون سالبة إذا كانت      سالبة على    و تكون موجبة ادا كانت    موجبة على 

2- تكامل دالة تغير اشارتها على مجال : 

لتكن مثلا    دالة مستمرة و تغير اشارتها على مجال     و ليكن     تمثيلها البياني في معلم متعامد 

 نرمز بـ     الى مساحة الحيز      المحدد بالمنحني     و بالمستقيمات التي معادلاتها      و   

نلاحظ مثلا في الشكل المرفق أن    موجبة على     و سالبة عى المجالين    و    

نرمز بـ     الى مساحة الحيز     , بـ     الى مساحة الحيز      و بـ      الى مساحة الحيز 

لدينا      و بما أن           و  

فإن :   

ملاحظة : 

بصفة عامة لحساب مساحة حيز محدد بالمستقيمات التي معادلاتها       و   و بمنحن ممثل لدالة      تغير اشارتها على      نقوم أولا بتحديد المجالات التي تحتفظ فيها الدالة بإشارة ثابتة (سالبة أو موجبة ) ثم نطبق النتيجةعلى كل مجال من المجالات . 

1- المكاملة بالتجزئة : 

مبرهنة : لتكن   و    دالتين قابلتين للاشتقاق على مجال     بحيث أن الدالتين المشتقتين     و    مستمرتان على     من أجل كل عددين حقيقيين   و    من    لدينا : 

البرهان :

الدالتان    و   قابلتان للاشتقاق على     و منه الدالة الجداء     قابلة للاشتقاق على    و لدينا : 

  الدالتان    و   قبلتان للاشتقاق على    فهما إذن مستمرتان على   .  لدينا كذلك الدالتان    و   مستمرتان على    و منه الدوال      و مجموعهما     مستمرة على   . بحساب التكامل من      الى     نحصل على      باستعمال خواص الخطية نجد : 

       و علما أن الدالة       دالة أصلية للدالة     فإن 

   و هكذا نصل الى النتيجة : 

2- الدالة الأصلية لدالة والتي تنعدم من أجل قيمة : 

مبرهنة:     دالة مستمرة على مجال     و  عدد حقيقي من    . 

الدالة الأصلية الوحيدة للدالة    على   و التي تنعدم من أجل     هي الدالة     

البرهان :

نضع     و منه إذا كانت    دالة أصلية للدالة     على المجال     يكون لدينا : 

من أجل كل    من   ,   و بالتالي : من أجل كل    من    

نستنتج أن الدالة     دالة أصلية للدالة     على المجال     , بالإضافة الى ذلك لدينا :    

إذن الدالة     هي الدالة الأصلية الوحيدة للدالة   على      و التي تنعدم من أجل 

ملاحظة : 

من الواضح أنه إذا كانت     فإن    

مثال : 

نعلم أنه من أجل كل     من     ,       كما نعلم أن    وبالتالي لدينا : 

كمن أجل كل     من