ملخص الدرس / الثالثة ثانوي/رياضيات/ المتتاليات/المتتاليات الحسابية و المتتاليات الهندسية

الملخص

من الأستاذ(ة) berrouane kamel

المتتالية الحسابية

تعريف :

عدد حقيقي نسمي متتالية حسابية ذات الأساس كل متتالية $\left (U_{n} \right )$ تحقق من أجل كل عدد طبيعي :

$U_{n +1}=U_{n}+r$

مثال :

هي حدود متتالية حسابية حدها الأول و أساسها هو .

تغيرات المتتالية الحسابية :

$\left (U_{n} \right )$ متتالية حسابية معرفة على $\mathbb{N}$ , حدها الأول $U_{0}$ و أساسها .

لدينا من أجل كل عدد طبيعي : $U_{n+1}-U_{n}=r$

- إذا كان فإن المتتالية متناقصة .

- إذا كان فإن المتتالية متزايدة .

- إذا كان فإن المتتالية ثابتة .

خاصية ثلاث حدود متتابعة :

تكون الاعداد بهذا الترتيب حدود متتابعة من متتالية حسابية إذا وفقط إذا :

$a=b-r............\left ( 1 \right )$ و $c=b+r......\left ( 2 \right )$

بجمع العلاقة $\left ( 1 \right )$ و $\left ( 2 \right )$ نجد :

العدد يسمى الوسط الحسابي للعددين و

حساب الحد العام لمتتالية حسابية :

إذا كان الحد الأول $U_{0}$ و أساسها : $U_{n}=U_{0}+nr$

إذا كان الحد الأول $U_{1}$ و أساسها : $U_{n}=U_{1}+\left (n-1 \right )r$

إذا كان الحد الأول $U_{p}$ و أساسها : $U_{n}=U_{p}+\left (n-p \right )r$

مجموع حدود متتالية حسابية :

المجموع = (عدد الحدود)*((الحد الأول +الحد الأخير)/2)

$S=\left ( n-p+1 \right )\times \frac{U_{n}+U_{p}}{2}$

ملاحظة :

عدد الحدود (رتبة الحد الأخير -رتبة الحد الأول +1)

كيف نثبت ان المتتالية حسابية؟؟:

لاثبات ان المتتالية حسابية، نبين ان $u_{n+1}-u_n=r$ حيث عدد حقيقي ثابت يسمى اساس هذه المتتالية.

عبارة الحد العام:

اذا كانت معرفة على $\mathbb{N}$ ، نحصل على

اذا كانت معرفة على $\mathbb{N}^*$ ، نحصل على

العلاقة بين حدين كيفيين:

حيث و عددان طبيعيان من

حساب الاساس بمعرفة حدين كيفيين:

$r=\frac{u_n-u_p}{n-p}$ حيث و عددان طبيعيان متمايزان من

قانون الوسط الحسابي:

اذا كانت ، ، حدودا متعاقبة من متتالية حسابية، فان:

اتجاه تغير متتالية حسابية:

اتجاه تغير متتالية حسابية يتبع اشارة اساسها :

1)- اذا كان $r\succ 0$ ،نستنتج ان متزايدة.

2)- اذا كان $r\prec 0$ ،نستنتج ان متناقصة.

3)- اذا كان ،نستنتج ان ثابتة.

حساب مجموع حدود متعاقبة من متتالية حسابية:

(الحد الاخير+الحد الاول). (2/عدد الحدود)

المتتاليات الهندسية

تعريف :

عدد حقيقي , نسمي متتالية هندسية ذات الأساس كل متتالية $\left ( V_{n} \right )$ تحقق من أجل كل عدد طبيعي : $V_{n+1}=V_{n}\times q$

مثال :

هي حدود متتالية هندسية حدها الأول و أساسها هو

تغيرات متتالية هندسية :

و $V_{0}>0$ فإن المتتالية $\left ( V_{n} \right )$ متناقصة .

و $V_{0}<0$ فإن المتتالية $\left ( V_{n} \right )$ متزايدة.

و $V_{0}>0$ فإن المتتالية $\left ( V_{n} \right )$ متزايدة .

و $V_{0}<0$ فإن المتتالية $\left ( V_{n} \right )$ متناقصة .

فإن المتتالية $\left ( V_{n} \right )$ ثابتة .

خاصية ثلاث حدود متتابعة :

تكون الأعداد غير المعدومة بهدا الترتيب حدود متتابعة من متتالية هندسية إذا و فقط إذا :

$a=\frac{b}{q}.......\left ( 1 \right )$ و $c=b\times q........\left ( 2 \right )$

بضرب العلاقة $\left ( 1 \right )$ و $\left ( 2 \right )$ نجد : $a\times c=b^{2}$

حساب الحد العام لمتتالية هندسية :

إذا كان الحد الأول $V_{0}$ و أساسها : $V_{n}=V_{0}\times q^{n}$

إذا كان الحد الأول $V_{1}$ و أساسها : $V_{n}=V_{1}\times q^{n-1}$

إذا كان الحد الأول $V_{p}$ و أساسها : $V_{n}=V_{p}\times q^{n-p}$

مجموع حدود متتالية هندسية :

المجموع = (الحد الأول)*(( الأساس أسعدد الحدود -1)/(الأساس -1))

$S=V_{p}\times \frac{1-q^{n-p+1}}{1-q}$

ملاحظة :

عدد الحدود (رتبة الحد الأخير -رتبة الحد الأول +1)

نهاية متتالية هندسية :

و $V_{0}>0$ فإن : $\lim_{n\rightarrow +\infty }V_{n}=+\infty$

و $V_{0}<0$ فإن : $\lim_{n\rightarrow +\infty }V_{n}=-\infty$

$q\in \left ]-1;1 \right [$ فإن : $\lim_{n\rightarrow +\infty }V_{n}=0$

$q\leq -1$ فإن المتتالية $\left ( V_{n} \right )$ متباعدة (لاتقبل تهاية)

كيف نثبت ان المتتالية هندسية؟:

لاثبات ان المتتالية هندسية، نبين ان $u_{n+1}=q.u_n$ حيث عدد حقيقي ثابت يسمى اساس هذه المتتالية.

عبارة الحد العام:

اذا كانت معرفة على $\mathbb{N}$ ، نحصل على .

اذا كانت معرفة على $\mathbb{N}^*$ ، نحصل على $u_n=u_1.q^{n-1}$

العلاقة بين حدين كيفيين:

$u_n=u_p.q^{n-p}$ حيث و عددان طبيعيان من و $q\neq0$

قانون الوسط الهندسي:

اذا كانت ، ، حدودا متعاقبة من متتالية هندسية، فان:

اتجاه تغير متتالية هندسية:

نلخص اتجاه تغير متتالية هندسية اساسها فيما يلي:

1)- اذا كان حدها الاول معدوما، نستنتج ان ثابتة.

2)- اذا حدها الاول غير معدوم، نميز ثلاث حالات:

اذا كان ، نستنتج ان مستقرة.
اذا كان $q\prec0$ ، نستنتج ان غير رتيبة.
اذا كان $q\succ 0$ ، فاتجاه تغير يتبع اشارة المقدار: .الحد الاول ، بحيث:

*اذا كان $(q-1)\succ 0$ .الحد الاول، نستنتج ان متزايدة.

* اذا كان $(q-1)\prec 0$ .الحد الاول، نستنتج ان متناقصة.

* اذا كان . الحد الاول، نستنتج ان ثابتة.

ملاحظة:

الحالتان 2 و 3 هما الاكثر شيوعا في تمارين المتتاليات الهندسية، فينبغي التركيز عليهما.

حساب مجموع حدود متعاقبة من متتالية هندسية:

نستعمل القانون الموالي:

الحد الاول $\times$ (q^{عدد الحدود} /q ) ; $q \neq1$

كما يمكن استخدام القانون التالي، سواء بسواء:

الحد الاول $\times$ ( q^{عدد الحدود} / q ) ; $q \neq1$

الحد الاول

ملاحظة1:

اذا اردنا الحصول على عبارة المجموع بشكل انسب فينبغي ان ننظر الى والحد الاول، فمثلا، لو كان $q\prec 1$ والحد الاول سالبا، فيفضل استخدام القانون الاول هكذا.

ملاحظة2:

في حالة متتالية هندسية ثابتة، نستخدم القانون التالي:

, الحد الاول $\times$ عدد الحدود

7. نتائج تتعلق بالمتتاليات الهندسية:

اذا كانت و متتاليتين هندسيتين اساسهما و وحداهما الاولان و على الترتيب مع $v_0\neq0$ ، فان:

1)- متتالية هندسية اساسها و حدها الاول .

2)- $(\frac{u_n}{v_n})$ متتالية هندسية اساسها $\frac{p}{q}$ و حدها الاول $\frac{u_0}{v_0}$ .

3)- متتالية هندسية اساسها و حدها الاول .

4)- $(\frac{1}{v_n})$ متتالية هندسية اساسها $\frac{1}{q}$ و حدها الاول $\frac{1}{v_0}$ .

خلاصة

المتتالية الهندسية	النتتالية الحسابية	المتتالية
المتتالية هندسية أساسها يعني أنه من أجل كل عدد طبيعي $u_{n+1}=u_n\times q,n$	المتتالية حسابية أساسها يعني أنه من أجل كل عدد طبيعي $u_{n+1}=u_n+r,n$	تعريفها
$u_n=u_0\times q^n$		عبارة الحد العام إذا كان الحد الأول
$u_n=u_0\times q^n$		عبارة الحد العام إذا كان الحد الأول
$u_n=u_p\times q^{n-p}$		العلاقة بين حدين مختلفين من المتتالية و
رتبة الحد = دليل الحد + 1		رتبة حد إذا كان الحد الأول
رتبة الحد = دليل الحد		رتبة حد إذا كان الححد الأول
$b^2=a\times c$ الوسط الهندسي للعددين و	الوسط الحسابي للعددين و	و بهذا الترتيب ثلاث حدود متتابعة من المتتالية
$u_0+u_1+...+u_n=u_0\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$	$u_0+u_1+...+u_n=\frac{n+1}{2}(u_0+u_n)$	مجموع حدود متتابعة للمتتالية
$u_1+u_2+....+u_n=u_1\frac{1-q^n}{1-q}$	$u_1+u_2+...+u_n=\frac{n}{2}(u_1+u_n)$
$u_p+u_{p+1}+...+u_n=u_p\frac{1-q^{n-p+1}}{1-q}$	$u_{p+1}+...+u_n=\frac{n-p+1}{2}(u_p+u_n)$
إذا كان فإن ثابتة أي $u_{n+1}=u_n$ من أجل و $q\neq 1$ إذا كان $u_0\times (q-1)>0$ فإن متزايدة تماما إذا كان $u_0\times (q-1)<0$ فإن متناقصة تماما إذا كان فإن ليست رتيبة	إذا كان فإن ثابتة إذا كان فإن متزايدة تماما إذا كان فإن متناقصة تماما	اتجاه تغير