ملخص الدرس / الثالثة ثانوي/رياضيات/ المتتاليات/المتتاليات الحسابية و المتتاليات الهندسية

الملخص

من الأستاذ(ة) berrouane kamel

المتتالية الحسابية

تعريف :

$r$ عدد حقيقي نسمي متتالية حسابية ذات الأساس $r$ كل متتالية $\left (U_{n} \right )$ تحقق من أجل كل عدد طبيعي $n$ :

$U_{n +1}=U_{n}+r$

مثال :

$8,6,4,2,0$ هي حدود متتالية حسابية حدها الأول $0$ و أساسها $r$ هو $2$ .

تغيرات المتتالية الحسابية :

$\left (U_{n} \right )$ متتالية حسابية معرفة على $\mathbb{N}$ , حدها الأول $U_{0}$ و أساسها $r$ .

لدينا من أجل كل عدد طبيعي $n$ : $U_{n+1}-U_{n}=r$

- إذا كان $r<0$ فإن المتتالية متناقصة .

- إذا كان $r>0$ فإن المتتالية متزايدة .

- إذا كان $r=0$ فإن المتتالية ثابتة .

خاصية ثلاث حدود متتابعة :

تكون الاعداد $c;b;a$ بهذا الترتيب حدود متتابعة من متتالية حسابية إذا وفقط إذا :

$a=b-r............\left ( 1 \right )$ و $c=b+r......\left ( 2 \right )$

بجمع العلاقة $\left ( 1 \right )$ و $\left ( 2 \right )$ نجد : $a+c=2b$

العدد $b$ يسمى الوسط الحسابي للعددين $a$ و $c$

حساب الحد العام لمتتالية حسابية :

إذا كان الحد الأول $U_{0}$ و أساسها $r$ : $U_{n}=U_{0}+nr$

إذا كان الحد الأول $U_{1}$ و أساسها $r$ : $U_{n}=U_{1}+\left (n-1 \right )r$

إذا كان الحد الأول $U_{p}$ و أساسها $r$ : $U_{n}=U_{p}+\left (n-p \right )r$

مجموع حدود متتالية حسابية :

المجموع = (عدد الحدود)*((الحد الأول +الحد الأخير)/2)

$S=\left ( n-p+1 \right )\times \frac{U_{n}+U_{p}}{2}$

ملاحظة :

عدد الحدود (رتبة الحد الأخير -رتبة الحد الأول +1)

كيف نثبت ان المتتالية $(u_n)$ حسابية؟؟:

لاثبات ان المتتالية $(u_n)$ حسابية، نبين ان $u_{n+1}-u_n=r$ حيث $r$ عدد حقيقي ثابت يسمى اساس هذه المتتالية.

عبارة الحد العام:

اذا كانت $(u_n)$ معرفة على $\mathbb{N}$ ، نحصل على $u_n=u_0+n.r$

اذا كانت $(u_n)$ معرفة على $\mathbb{N}^*$ ، نحصل على $u_n=u_1+(n-1).r$

العلاقة بين حدين كيفيين:

$u_n=u_p+(n-p).r$ حيث $n$ و $p$ عددان طبيعيان من $D$

حساب الاساس بمعرفة حدين كيفيين:

$r=\frac{u_n-u_p}{n-p}$ حيث $n$ و $p$ عددان طبيعيان متمايزان من $D$

قانون الوسط الحسابي:

اذا كانت $a$ ، $b$ ، $c$ حدودا متعاقبة من متتالية حسابية، فان:

$a+b=2c$

اتجاه تغير متتالية حسابية:

اتجاه تغير متتالية حسابية يتبع اشارة اساسها $r$ :

1)- اذا كان $r\succ 0$ ،نستنتج ان $(u_n)$ متزايدة.

2)- اذا كان $r\prec 0$ ،نستنتج ان $(u_n)$ متناقصة.

3)- اذا كان $r=0$ ،نستنتج ان $(u_n)$ ثابتة.

حساب مجموع حدود متعاقبة من متتالية حسابية:

(الحد الاخير+الحد الاول). (2/عدد الحدود) $s=$

المتتاليات الهندسية

تعريف :

$q$ عدد حقيقي , نسمي متتالية هندسية ذات الأساس $q$ كل متتالية $\left ( V_{n} \right )$ تحقق من أجل كل عدد طبيعي $n$ : $V_{n+1}=V_{n}\times q$

مثال :

$16,8,4,2$ هي حدود متتالية هندسية حدها الأول $2$ و أساسها $q$ هو $2$

تغيرات متتالية هندسية :

$0<q<1$ و $V_{0}>0$ فإن المتتالية $\left ( V_{n} \right )$ متناقصة .

$0<q<1$ و $V_{0}<0$ فإن المتتالية $\left ( V_{n} \right )$ متزايدة.

$q>1$ و $V_{0}>0$ فإن المتتالية $\left ( V_{n} \right )$ متزايدة .

$q<1$ و $V_{0}<0$ فإن المتتالية $\left ( V_{n} \right )$ متناقصة .

$q=0$ فإن المتتالية $\left ( V_{n} \right )$ ثابتة .

خاصية ثلاث حدود متتابعة :

تكون الأعداد غير المعدومة $c,b,a$ بهدا الترتيب حدود متتابعة من متتالية هندسية إذا و فقط إذا :

$a=\frac{b}{q}.......\left ( 1 \right )$ و $c=b\times q........\left ( 2 \right )$

بضرب العلاقة $\left ( 1 \right )$ و $\left ( 2 \right )$ نجد : $a\times c=b^{2}$

حساب الحد العام لمتتالية هندسية :

إذا كان الحد الأول $V_{0}$ و أساسها $q$ : $V_{n}=V_{0}\times q^{n}$

إذا كان الحد الأول $V_{1}$ و أساسها $q$ : $V_{n}=V_{1}\times q^{n-1}$

إذا كان الحد الأول $V_{p}$ و أساسها $q$ : $V_{n}=V_{p}\times q^{n-p}$

مجموع حدود متتالية هندسية :

المجموع = (الحد الأول)*(( الأساس أسعدد الحدود -1)/(الأساس -1))

$S=V_{p}\times \frac{1-q^{n-p+1}}{1-q}$

ملاحظة :

عدد الحدود (رتبة الحد الأخير -رتبة الحد الأول +1)

نهاية متتالية هندسية :

$q>1$ و $V_{0}>0$ فإن : $\lim_{n\rightarrow +\infty }V_{n}=+\infty$

$q<1$ و $V_{0}<0$ فإن : $\lim_{n\rightarrow +\infty }V_{n}=-\infty$

$q\in \left ]-1;1 \right [$ فإن : $\lim_{n\rightarrow +\infty }V_{n}=0$

$q\leq -1$ فإن المتتالية $\left ( V_{n} \right )$ متباعدة (لاتقبل تهاية)

كيف نثبت ان المتتالية $(u_n)$ هندسية؟:

لاثبات ان المتتالية $(u_n)$ هندسية، نبين ان $u_{n+1}=q.u_n$ حيث $q$ عدد حقيقي ثابت يسمى اساس هذه المتتالية.

عبارة الحد العام:

اذا كانت $(u_n)$ معرفة على $\mathbb{N}$ ، نحصل على $u_n=u_0.q^n$ .

اذا كانت $(u_n)$ معرفة على $\mathbb{N}^*$ ، نحصل على $u_n=u_1.q^{n-1}$

العلاقة بين حدين كيفيين:

$u_n=u_p.q^{n-p}$ حيث $n$ و $p$ عددان طبيعيان من $D$ و $q\neq0$

قانون الوسط الهندسي:

اذا كانت $a$ ، $b$ ، $c$ حدودا متعاقبة من متتالية هندسية، فان:

$a.c=b^2$

اتجاه تغير متتالية هندسية:

نلخص اتجاه تغير متتالية هندسية $(u_n)$ اساسها $q$ فيما يلي:

1)- اذا كان حدها الاول معدوما، نستنتج ان $(u_n)$ ثابتة.

2)- اذا حدها الاول غير معدوم، نميز ثلاث حالات:

اذا كان $q=0$ $q=0$ ، نستنتج ان $(u_n)$ مستقرة.
اذا كان $q\prec0$ ، نستنتج ان $(u_n)$ غير رتيبة.
اذا كان $q\succ 0$ ، فاتجاه تغير $(u_n)$ يتبع اشارة المقدار: $(q-1)$ .الحد الاول ، بحيث:

*اذا كان $(q-1)\succ 0$ .الحد الاول، نستنتج ان $(u_n)$ متزايدة.

* اذا كان $(q-1)\prec 0$ .الحد الاول، نستنتج ان $(u_n)$ متناقصة.

* اذا كان $(q-1)=0$ . الحد الاول، نستنتج ان $(u_n)$ ثابتة.

ملاحظة:

الحالتان 2 و 3 هما الاكثر شيوعا في تمارين المتتاليات الهندسية، فينبغي التركيز عليهما.

حساب مجموع حدود متعاقبة من متتالية هندسية:

نستعمل القانون الموالي:

$s=$ الحد الاول $\times$ (q^{عدد الحدود} $-1$ /q $-1$ ) ; $q \neq1$

كما يمكن استخدام القانون التالي، سواء بسواء:

$s=$ الحد الاول $\times$ ( $1-$ q^{عدد الحدود} / $1-$ q ) ; $q \neq1$

الحد الاول

ملاحظة1:

اذا اردنا الحصول على عبارة المجموع بشكل انسب فينبغي ان ننظر الى $q$ والحد الاول، فمثلا، لو كان $q\prec 1$ والحد الاول سالبا، فيفضل استخدام القانون الاول هكذا.

ملاحظة2:

في حالة متتالية هندسية ثابتة، نستخدم القانون التالي:

$q=1$ , الحد الاول $\times$ عدد الحدود $s=$

7. نتائج تتعلق بالمتتاليات الهندسية:

اذا كانت $(u_n)$ و $(v_n)$ متتاليتين هندسيتين اساسهما $p$ و $q$ وحداهما الاولان $u_0$ و $v_0$ على الترتيب مع $v_0\neq0$ ، فان:

1)- $(u_nv_n)$ متتالية هندسية اساسها $pq$ و حدها الاول $u_0v_0$ .

2)- $(\frac{u_n}{v_n})$ متتالية هندسية اساسها $\frac{p}{q}$ و حدها الاول $\frac{u_0}{v_0}$ .

3)- $(v_n^k)$ متتالية هندسية اساسها $q^k$ و حدها الاول $v_0^k$ .

4)- $(\frac{1}{v_n})$ متتالية هندسية اساسها $\frac{1}{q}$ و حدها الاول $\frac{1}{v_0}$ .

خلاصة

المتتالية الهندسية	النتتالية الحسابية	المتتالية
المتتالية $(u_n)$ هندسية أساسها $q$ يعني أنه من أجل كل عدد طبيعي $u_{n+1}=u_n\times q,n$	المتتالية $(u_n)$ حسابية أساسها $r$ يعني أنه من أجل كل عدد طبيعي $u_{n+1}=u_n+r,n$	تعريفها
$u_n=u_0\times q^n$	$u_n=u_0+nr$	عبارة الحد العام $(u_n)$ إذا كان الحد الأول $u_0$
$u_n=u_0\times q^n$	$u_n=u_1+(n-1)r$	عبارة الحد العام $(u_n)$ إذا كان الحد الأول $u_0$
$u_n=u_p\times q^{n-p}$	$u_n=u_p+(n-p)r$	العلاقة بين حدين مختلفين من المتتالية $u_n$ و $u_p$
رتبة الحد = دليل الحد + 1		رتبة حد إذا كان الحد الأول $u_0$
رتبة الحد = دليل الحد		رتبة حد إذا كان الححد الأول $u_1$
$b^2=a\times c$ $b$ الوسط الهندسي للعددين $a$ و $c$	$2b=a+c$ $b$ الوسط الحسابي للعددين $a$ و $c$	$b,a$ و $c$ بهذا الترتيب ثلاث حدود متتابعة من المتتالية
$u_0+u_1+...+u_n=u_0\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$	$u_0+u_1+...+u_n=\frac{n+1}{2}(u_0+u_n)$	مجموع حدود متتابعة للمتتالية
$u_1+u_2+....+u_n=u_1\frac{1-q^n}{1-q}$	$u_1+u_2+...+u_n=\frac{n}{2}(u_1+u_n)$
$u_p+u_{p+1}+...+u_n=u_p\frac{1-q^{n-p+1}}{1-q}$	$u_{p+1}+...+u_n=\frac{n-p+1}{2}(u_p+u_n)$
إذا كان $q=1$ فإن $(u_n )$ ثابتة أي $u_{n+1}=u_n$ من أجل $q>0$ و $q\neq 1$ إذا كان $u_0\times (q-1)>0$ فإن $(u_n)$ متزايدة تماما إذا كان $u_0\times (q-1)<0$ فإن $(u_n)$ متناقصة تماما إذا كان $q<0$ فإن $(u_n)$ ليست رتيبة	إذا كان $r=0$ فإن $(u_n)$ ثابتة إذا كان $r>0$ فإن $(u_n)$ متزايدة تماما إذا كان $r<0$ فإن $(u_n)$ متناقصة تماما	اتجاه تغير