ملخص الدرس / الثالثة ثانوي/رياضيات/ المتتاليات/عموميات حول المتتاليات العددية

الملخص

تعريف المتتالية العددية

نسمي متتالية عددية حقيقية :

$\left ( U_{n} \right )_{n\geq n_{0}}$ كل دالة عددية ترفق بكل عدد طبيعي $n$ حيث : $n\geq n_{0}$ العدد الحقيقي $U_{n}$ و $n_{0}$ عدد طبيعي معطى .

تغيرات متتالية عددية

- نقول إن المتتالية $\left ( U_{n} \right )$ متزايدة تماما إذا تحقق ما يلي :

من أجل كل عدد طبيعي $n$ : $U_{n+1}>U_{n}$

- نقول إن المتتالية $\left ( U_{n} \right )$ متناقصة تماما إذا تحقق ما يلي :

من أجل كل عدد طبيعي $n$ : $U_{n+1}<U_{n}$

- نقول إن المتتالية $\left ( U_{n} \right )$ ثابت إذا تحقق ما يلي :

من أجل كل عدد طبيعي $n$ : $U_{n+1}=U_{n}$

تقارب متتالية عددية

$\left ( U_{n} \right )_{n\in N}$ متتالية عددية و $l$ عدد حقيقي

إذا كانت $\lim_{n\rightarrow +\infty }U_{n}=l$ نقول أن المتتالية $\left ( U_{n} \right )$ متقاربة نحو $l$

إذا كانت $\lim_{n\rightarrow +\infty }U_{n}=+\infty$ نقول أن المتتالية $\left ( U_{n} \right )$ متباعدة نحو $+\infty$

إذا كانت $\lim_{n\rightarrow +\infty }U_{n}=-\infty$ نقول أن المتتالية $\left ( U_{n} \right )$ متباعدة نحو $-\infty$

المتتالية الرتيبة

تعريف:

نقول عن المتتالية $U_{n}$ أنها رتيبة (تماما) إذا كانت متزايدة (تماما) أو متناقصة (تماما) في $\mathbb{N}$

المتتالية التراجعية

تعريف :

نسمي متتالية تراجعية كل متتالية معرفة بحدهل الاول و علاقة تربط حدين متتابعين .

المتتالية المحدودة

المتتالية المحدودة من الأعلى :

تعريف :

القول أن المتتالية $(U_{n})$ محدودة من الأعلى يعني وجود عدد حقيقي $A$ حيث من أجل كل عدد طبيعي $n$ :

$(U_{n})\leq A$ نقول أن $A$ عنصر حاد من الأعلى .

المتتالية المحدودة من الأسفل :

تعريف :

القول أن المتتالية $(U_{n})$ محدودة من الأسفل يعني وجود عدد حقيقي $B$ حيث من أجل كل عدد طبيعي $n$ :

$(U_{n})\geq B$ نقول أن $B$ عنصر حاد من الأسفل .

مبرهنة :

إذا كانت $\left (U_{n} \right )$ متتالية متزايدة و محدودة من الأعلى فإنها متقاربة.

إذا كانت $\left (U_{n} \right )$ متتالية متناقصة و محدودة من الأسفل فإنها متقاربة.

طرق اثبات ان المتتالية محدودة

لاثبات ان متتالية $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ نحدودة من الاعلى بعدد حقيقي $A$ او من الاسفل بعدد حقيقي $B$ ، يمكن اتباع احدى الطرق الاتية:

1. استعمال الاستدلال بالتراجع لاثبات انه من اجل كل عدد طبيعي $n$ : $u_n \leq A$ أو $u_n \geq B$

2. المقارنة بين $u_n$ و $A$ أو $u_n$ و $B$ بدراسة اشارة $u_n-A$ أو $u_n-B$

3. اذا كانت $u_n=f(n)$ ، ندرس تغيرات $f$ على $[0;+\infty [$

المتتاليتان المتجاورتان

تعريف :

تكون متتاليتان عدديتان متجاورتان $\left (U_{n} \right )$ و $\left (V_{n} \right )$ إذا كانت و فقط إذا إحداهما متزايدة و الأخرى متناقصة و الفرق بينهما يؤول إلى الصفر .

خلاصة :

- المتتالية $\left (U_{n} \right )$ متزايدة .

- المتتالية $\left (V_{n} \right )$ متناقصة .

- $\lim_{n\rightarrow +\infty }\left ( V_{n}-U_{n} \right )=0$ .

نتائج تتعلق بالمتتالية الثابتة

1. $(U_n)$ متتالية عددية معرفة على $\mathbb{N}$ :

$(U_n)$ ثابتة يعني: مهما كان $n$ من $\mathbb{N}$ ، $U_{n+1}=U_n=U_0$

2. $(U_n)$ متتالية عددية معرفة على $\mathbb{N}^*$ :

$(U_n)$ ثابتة يعني: مهما كان $n$ من $\mathbb{N}^*$ ، $U_{n+1}=U_n=U_1$

3. $(U_n)$ متتالية عددية معرفة على $\mathbb{N}$ :

للبرهان بالتراجع ان $(U_n)$ ثابتة يمكن ان نبين انه:

من اجل كل عدد طبيعي $n$ : $U_n=U_0$

4. $(U_n)$ متتالية عددية معرفة على $\mathbb{N}^*$ :

للبرهان بالتراجع ان $(U_n)$ ثابتة يمكن ان نبين انه:

من اجل كل عدد طبيعي $n$ غير معدوم: $U_n=U_1$

طرق دراسة اتجاه تغير متتالية

الطريقة الأولى : نحسب الفرق التالي $u_{n+1}-u_n$ فإذا كان

اتجاه التغير	الاشارة
$(u_n)$ متزايدة تماما	$u_{n+1}-u_n>0$
$(u_n)$ متناقصة تماما	$u_{n+1}-u_n<0$
$(u_n)$ ثابتة	$u_{n+1}-u_n=0$

مثال : نأخذ المثال السابق $u_n=23n+2$ أولا نحسب $u_{n+1}=3(n+1)+2=3n+5$

و منه $u_{n+1}-u_n=3>0$ نستنتج أن $(u_n)$ متزايدة تماما

الطريقة الثانية : هذه الطريقة يشترط فيها المتتالية $(u_n)$ كل حدودها موجبة اماما

نحسب النسبة التالية $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ فإذا كانت :

اتجاه التغير	الاشارة
$(u_n)$ متزايدة تماما	$\frac{u_{n+1}}{u_n}>1$
$(u_n)$ متناقصة تماما	$\frac{u_{n+1}}{u_n}<1$
$(u_n)$ ثابتة	$\frac{u_{n+1}}{u_n}=1$

الطريقة الثالثة : إذا كانت الدالة $f$ المرفقة بالمتتالية $(u_n)$ متزايدة ,فإنه يمكن معرفة اتجاه تغير $(u_n)$ من إشارة الفرق بين الحدين $u_0$ و $u_1$ إذا كان :

اتجاه التغير	الاشارة
$(u_n)$ متزايدة تماما	$u_1-u_0>0$
$(u_n)$ متناقصة تماما	$u_1-u_0<0$
$(u_n)$ ثابتة	$u_1-u_0=0$