ملخص الدرس / الثالثة ثانوي/رياضيات/الأعداد المركبة/الأعداد المركبة و التحويلات النقطية

الملخص

من الأستاذ(ة) جبايلي محمد

الانسحاب

العبارة المركبة للانسحاب ذي الشعاع $\vec V$ تكتب كما يلي :

$z'=z+z_{\vec v }$ حيث يرمز $z_{\vec v}$ إلى لاحقة الشعاع $\vec V$ .

التحويلات ذوات المركز

العبارة المركبة للتحاكي ذي المركز $\omega$ والنسبة k ( $k \in \mathbb{R}^{*}$ )

هي $z'-z_{\omega}=k(z-z_{\omega})$ أي : $z'=kz+(1-k)z_{\omega}$

العبارة المركبة للتناظر الذي مركزه $\omega$ تكتب :

$z'-z_{\omega}=-(z-z_{\omega})$ أي : $z'=-z+2z_{\omega}$

العبارة المركبة للدوران ذي المركز $\omega$ والزاوية $\o$ تكتب :

$z'-z_{\omega}=e^{i\o}(z-z_{\omega})$ أي : $z'=e^{i\o}z+(1-e^{i\o})z_{\omega}$

العبارة المركية للتشابه المباشر ذي المركز $\omega$ والنسبة k

( $k \in \mathbb{R}_{+}^{*}$ ) والزاوية $\o$ تكتب : $z'-z_{\omega}=ke^{i\o}(z-z_{\omega})$

أي $z'=ke^{i\o}z+(1-ke^{i\o})z_{\omega}$

ملاحظة 1 : لاحظ ان الصيغ المركبة للتحويلات ذوات المركز لها نفس الشكل وهو $z--z_{\omega}=a(z-z_{\omega})$ ؟ي :

$z'=az+(1-a)z_{\omega}$ ,انما تختلف فيما بينها حسب a

ملاحظة 2 : اذا كان مركز التحويل هو O ( اي مبدا المعلم ) فان الصيغة المركبة تاخذ ابسط شكل هو : z'=az

التعرف على طبيعة التحويل مع عناصره المميزة

f تحويل نقطي من المستوي في نفسه ، يرفق بكل نقطة M ذات اللاحقة z ، النقطة 'M ذات اللاحقة 'z حيث : z'=az+b , $a \neq 0$ و $b \in \mathbb{C}$ .

1. اذا كان a=1 فإن $f$ انسحاب ، لاحقة شعاعه $z_ {\vec v }=b$

2- إذا كان a=-1 : $f$ تناظر مركزي لاحقة مركزه $z_{\omega}=\frac{b}{2}$

3- إذا كان $a \in \mathbb{R}^{*}- \begin{Bmatrix} 1 \end{Bmatrix}$ فان f تحاك نسبته k=a

ولاحقة مركزه $Z_{\omega}=\frac{b}{1-a}$

4-اذا كان $\left | a \right |=1, a \notin \mathbb{R}$ فان $f$ دوران زاويته $\o=arga$ ولاحقة مركزه $Z_{\omega}=\frac{b}{1-a}$

5- اذا كان $\left | a \right |=1, a \notin \mathbb{R}$ و فان $f$ تشابه مباشر نسبته $k=\left | a \right |$ و زاويته $\o=arg$ ولاحقة مركزه $Z_{\omega}=\frac{b}{1-a}$

وفيما يلي تفاصيل اكثر في هذه الفيديوهات:

الفيديو الاول:

الفيديو الثاني:

الفيديو الثالث:

الفيديو الرابع:

تعيين تحويل يحول نقطتين

'A' , B , A , B اربع نقط متمايزة من المستوي .

لتعيين التحاكي او الدوران او التشابه المباشر الذي يحول A الى A' ويحوّل B الى 'B

نحل المعادلتي التاليتين : $\left\{\begin{matrix} &z_{A'}=az_{A}+b & \\ & z_{B'}=az_{B}+b & \\ \end{matrix}\right.$

فنجد a كما يلي : $a=\frac{z_{B'}-Z_{A'}}{z_{B}-Z_{A}}$ ثم نحسب b ، وذلك بتعويض a بما يساويها في احدى المعادلتين السابقتين.

بعد الحصول على a و b نعيّن العناصر المميزة كما في الفقرة السابقة.

استنتاج ان نقطة صورة اخرى بتحويل

$\omega , A , B$ ثلاث نقط متمايزة من المستوي .

اذا كان $a=\frac{z_{B}-Z_{\omega}}{z_{A}-Z_{\omega}}$ فلدينا $z_{A}-z_{\omega}=a(_{a}-z_{\omega})$ وهذا يعني ان B صورة A بالتحويل الذي مركزه $\omega$ .

( تعرف طبيعة التحويل وعناصره المميزة بالتحويل الذي مركزه a) .

وفما يلي تفاصيل اكثر في هذا الفيديو:

تركيب التحويلات

مركّب عدّة انسحابات هو انسحاب شعاعه مجموع أشعّتها.

1- مركّب عدّة تحاكيات لها نفس المركز هو تحاك له نفس المركز و نسبته جداء النّسب.
2- مركّب دورانات لها نفس المركزهو دوران له نفس المركز و زاويته مجموع الزوايا.
3- مركّب تشابهات مباشرة لها نفس المركزهو تشبه مباشر لهنفس المركز و نسبته جداء النّسب و زاويته مجموع الزوايا.
4- إذا اختلفت مراكز التحويلات أو كانت من طبائع مختلفة ، فللتّعرّف على طبيعة مركّبها نستعمل عباراتها المركّبة و نتبع نفس الطريقة التي نستخدمها في تركيب الدوال العدديّة

التقايسات وتاثيرها على الاطوال والمساحات

الانسحاب والتناظر المركزي و الدوران تقايسات، فصورة شكل هندسي بتقايس، هو شكل يقايسه طولاً، و مساحةً. .التحاكي والتشابه المباشر- بصفة عامّة- ليسا تقايسيْن، فمثلاً صورة دائرة نصف قطرها ، r هي دائرة نصف قطرها 'r حيث : $r'=\left | k \right |r$ (في حالة التحاكي ) و r'=kr ( في حالة التشابه ) [ يرمز k الى نسبة التحاكي او التشابه المباشر ]

أما المركز $\omega'$ فهو صورة المركز $\omega$ ، في كلّ الحالات .

مثال آخر : صورة مربع طول ضلعه a ، وهو مربع طول ضلعه $\left | k \right |.a$ او k.a ( حسب حالة التحاكي أو التشابه المباشر ) .

أيضا اذا كانت S و 'S مساحتي الشكل الهندسي ، وصورته على الترتيب بالتحاكي او التشابه المباشر ، فإن S'=k².S حيث يرمز k الى نسبة التحاكي او التشابه المباشر .

تعيين العناصر المميزة لتحويل علم مركزه ويحوّل نقطة :

A و ' A نقطتان متمايزتان من المستوي

لتعيين نسبة التحاكي او زاوية الدوران او نسبة زاوية التشابه المباشر الذي مركزه ${\omega}$ ويحول A الى A' نحسب a كما يلي : $a=\frac{z_{A'}-\omega}{Z_{A-Z_\omega}}$ ، ومن ثم نعين العناصر المميزة.

دليل المرجح في المستوي المركب

$B,A$ و $C$ ثلاث نقط من المستوي المركب لواحقها على الترتيب $z_B,z_A$ و $z_C$

* لاحقة النقطة $H$ مركز ثقل المثلث $ABC$ هي : $z_H=\frac{z_A+z_B+z_C}{3}$

* لاحقة النقطة $G$ مرجح الجملة $\left \{ (A,\alpha);(B,\beta );(C,\gamma) \right \}$ هي : $z_G=\frac{\alpha z_A+\beta z_\beta +\gamma z_C}{\alpha +\beta +\gamma}$

كيفين تحويل العلاقة الشعاعية من الشكل : $\alpha \overrightarrow{AM}+\beta \overrightarrow{BM}+\gamma \overrightarrow{CM}$

علما أن $\alpha +\beta +\gamma\neq 0$

بإدخال نقطة المرجح $G$ نجد : $\alpha \overrightarrow{AM}+\beta \overrightarrow{BM}+\gamma \overrightarrow{CM}=(\alpha +\beta +\gamma)\overrightarrow{MG}$

التعميم المرجح $\times\overrightarrow{ M}$ (مجموعة العلاقات )

-ملاحظة : إذا كان $\alpha +\beta +\gamma =0$ فلايوجد مرجح للنقط $B,A$ و $C$ يكون الشعاع :

$\alpha \overrightarrow{AM}+\beta \overrightarrow{BM}+\gamma \overrightarrow{CM}$ شعاعا ثابتا مستقلا عن النقطة $M$ و يتم تحويل العبارة بإدخال إحدى النقط المعلومة و استعمال علاقة شال chasles

كيفية تحوير العلاقة العددية من الشكل : $\alpha MA^2+\beta MB^2+\gamma MC^2$

بإدخال نقطة المرجح $G$ نجد

$\alpha MA^2+\beta MB^2+\gamma MC^2=(\alpha +\beta +\gamma )MG^2+\beta GB^2+\gamma GC^2$

التعميم: اجعل مكان $M$ نقط المرجح + ²[مرجح × $M$ ] × (مجموعة المعاملات )

وفيما يلي تفاصيل اكثر في هذه الفيديوهات:

الفيديو الاول:

الفيديو الثاني :

الفيديو الثالث :

الفيديو الرابع :

الفيديو الخامس :

دليل التحويلات النقطية

$F$ تحويل نقطي من لمستوي يرفق بكل نقطة $M(z)$ النقطة $M'(z')$

$F: \mathbb{C}\rightarrow \mathbb{C}\\\\ ~~~~M(z)\rightarrow M'(z')$

مع $z'=az+b$ و $b$ عددان مركبان $a\neq 0$

1- كيفية التعرف على التحويل النقطي و استخراج عناصره المميزة :

* إذا كان $a=1$ فإن $F$ انسحاب لاحقة شعاعه $z_{\vec u}=b$

* إذا كان $a\neq 1$ و $a\in \mathbb{R}$ فإن $F$ تحاكي نسبته $a$ و لاحقة مركزه $z_\omega=\frac{-b}{1-a}$

* إذا كان $a\in \mathbb{C}$ و $|a|=1$ فإن $F$ دوران زاويته $\theta =\arg (a)$ و لاحقةة مركزه $z_\omega=\frac{b}{1-a}$

* إذا كان $a\in \mathbb{C}$ و $|a|\neq 1$ فإن $F$ تشابه مباشر زاويته $\theta =\arg (a)$ و لاحقة مركزه $z_\omega =\frac{b}{1-a}$ و نسبته $|a|$

2- في حالة الشكل المركب (الصيغة المبسطة ) : $(z'-z_\omega)=a(z-z_\omega)$

* $(z'-z_\omega)=k(z-z_\omega)$ تحاكي نسبته $k$ و لاحقة مركزه $z_\omega$

* $(z'-z_\omega)=e^{i\theta}(z-z_\omega)$ دوران زاويته $\theta$ و لاحقة مركزه $z_\omega$

* $(z'-z_\omega)=ke^{i\theta}(z-z_\omega)$ تشابه مباشر زاويته $\theta$ و لاحقة مركزه $z_\omega$ و نسبته $k$

3- أوجد التحويل $F$ الذي يحول $A$ الى $B$ و يحول $C$ الى $D$ :

نحل الجملة $\begin{cases} z_B=az_A+b....(1)\\ z_D=az_C+b.....(2) \end{cases}$ بضرب الثانية $(-1)$ و الجمع نجد $a=\frac{z_B-z_D}{z_A-z_C}$ نعوض بعد ذلك قيمة $a$ في $(1)$ أو $(2)$ نجد $b$

4- أوجد التحويل $F$ الذي يحول $A$ الى $B$ و مركزه $C$ :

نحل الجملة $\begin{cases} z_B=az_A+b.....(1) \\ z_C=az_C+b....(2) \end{cases}$ بضرب الثانية في $(-1)$ و الجمع نجد $a=\frac{z_B-z_C}{z_A-z_C}$ نعوض بعد ذلك قيمة $a$ في $(1)$ أو $(2)$ نجد $b$

5- استنتاج كن علاقة أن نقطة هي صورة نقطة أخرى بتحويل

إذا كان $a=\frac{z_B-z_A}{z_C-z_A}$ فإن $z_B-z_A=a(z_C-z_A)$ و هذا يعني أن $B$ صورة $C$ بالتحويل الذي يحول مركزه $A$ , نعرف طبيعة التحويل من خلال $a$

وفيما يلي تفاصيل اكثر في هذه الفيديوهات:

الفيديو الاول:

الفيديو الثاني :

الفيديو الثالث :

الفيديو الرابع :

الفيديو الخامس :

مراجعة شاملة

فيمايلي مقترحات شاملة للأعداد المركبة :

الفيديو الأول :

الفيديو الثاني :

الفيديو الثالث :

الفيديو الرابع :

الفيديو الخامس :

تطبيقات

للمزيد من التفاصيل اليك الفيديوهات التالية :

الفيديو الأول :

الفيديو الثاني :

الفيديو الثالث :

الفيديو الرابع :

الفيديو الخامس :