تطبيقنا متوفر مجانا على:

ملخص الدرس / الثالثة ثانوي/رياضيات/الأعداد المركبة/الأعداد المركبة: الشكل الجبري

الملخص

من الأستاذ(ة) berrouane kamel

الشكل الجبري للأعداد المركبة

تعريف :

نسمي عددا مركبا $Z$ عدد يكتب على الشكل $Z=x+iy$ حيث : $x$ و $y$ عددان حقيقيان و $i^{2}=-1$

ملاحظات :

- نرمز إلى مجموعة الأعداد المركبة بالرمز $\mathbb{C}$

- العدد الحقيقي $x$ يسمى الجزء الحقيقي للعدد المركب $Z$ و نرمز ب $Re\left ( Z \right )$

- العدد الحقيقي $y$ يسمى الجزء التخيلي للعدد المركب $Z$ و نرمز ب $Im\left ( Z \right )$

- الكتابة $Z=x+iy$ تسمى الشكل الجبري للعدد المركب $Z$

مرافق عدد مركب

تعريف:

$Z$ عدد مركب حيث : $Z=x+iy$

( $y\in IR$ و $x\in IR$ ) مرافق $Z$ هو العدد : $Z=x-iy$

خواص مرافق :

$\overline{Z+{Z}^{'}}=\overline{Z}+\overline{{Z}'}$

$\overline{Z.{Z}^{'}}=\overline{Z}.\overline{{Z}'}$

$Z+\overline{{Z}'}=2Re\left ( Z \right )$

$Z-{Z}'=2i\: \: IM\left ( Z \right )$

$Z.\overline{{Z}'}=x^{2}+y^{2}$

$\left ( \frac{\overline{Z}}{{Z}'} \right )=\frac{\overline{Z}}{{Z}'}\: \: \: ;{Z}'\neq 0$

$\left ( \frac{\overline{1}}{{Z}'} \right )=\frac{1}{{Z}'}\: \: \: ;{Z}'\neq 0$

$\overline{Z}=Z$

تساوي عددين مركبين

يكون عددان مركبان $Z$ و ${Z}'$ متساويين إذا كان لهما نفس الجزءالحقيقي و التخيلي .

دستور موافر

من أجل كل عدد طبيعي $Z,n$ عدد مركب طويلته $r$ و عمدته $\theta$ لدينا :

$Z=\left[\left( \cos \theta +i\sin \theta \right ) \right ]^{n}$

$Z=r^{n}\left( \cos \left( n\theta \right ) +i\sin \left( n\theta \right ) \right )$

وفيما يلي تفاصيل اكثر في هذه الفيديوهات:

الفيديو الاول:

الفيديو الثاني :

الفيديو الثالث :

التمثيل الهندسي للأعداد المركبة

ننسب المستوي إلى معلم متعامد متجانس ( $\underset{\mu }{\rightarrow} \underset{v}{\rightarrow}$ , O )

يمثل العدد المركب z=x+iy بالنقطة ( M(x , y أو الشعاع ( x, y ) $\underset{OM}{\rightarrow}$ (يسمى التمثيل الأول تمثيلا نقطيا ، ويسمى التمثيل الثاني تمثيلا شعاعيا )

*يسمى كل من M و $\underset{OM}{\rightarrow}$ صورة العدد المركب z ، ويسمى z لاحقة كل من النقطة M و الشعاع $\underset{OM}{\rightarrow}$

*يمثل أي عدد حقيقي على محور الفواصل ( محور الأعداد الحقيقية ) ، ويمثل أي عدد تخيلي صرف على محور التراتيب ( محور الأعداد التخيلية )

نتائج :

A و B نقطتان لاحقتاهما على الترتيب : $z_{^{a}} , z_{^{b}}$

* لاحقة الشعاع $\underset{OA}{\rightarrow} + \underset{OB}{\rightarrow}$ هي : $z_{^{a}} +z_{^{b}}$

*لاحقة الشعاع $\underset{AB}{\rightarrow}$ هي : $z_{^{a}} - z_{^{b}}$