ملخص الدرس / الثالثة ثانوي/رياضيات/الهندسة في الفضاء/الأوضاع النسبية للمستقيمات و المستويات

الملخص

الوضعية النسبية لمستويين في الفضاء

نعتبر المستويين $(P_1)$ و $(P_2)$ المعرفين بمعادلتيهما كمايلي : $\begin{cases} (P_1)Max+by+cz+d=0 \\ (P_2):a'x+b'y+c'z+d'=0 \end{cases}$

* إذا كان : $\left [ \frac{a}{a'}=\frac{b}{b'}=\frac{c}{c'}=\frac{d}{d'} \right ]$ فإن : المستويين $(P_1)$ و $(P_2)$ متوازيان بالتطابق (منطبقان )

* إذا كان : $\left [ \frac{a}{a'}=\frac{b}{b'}=\frac{c}{c'}\neq \frac{d}{d'} \right ]$ فإن : المستويين $(P_1)$ و $(P_2)$ متوازيان تماما ( منفصلان )

* إذا كان التناسب التالي : $\left [ \frac{a}{a'}=\frac{b}{b'}=\frac{c}{c'} \right ]$ غير محقق فإن : المستويين $(P_1)$ و $(P_2)$ غير متوازيان (متقاطعان )

ملحوظة :

- المسألة : للبحث عن المستقيم $(\Delta )$ ناتج تقاطع المستويين $(P_1)$ و $(P_2)$ أي : $(P_1)\cap (P_2)=\Delta$

نضع في الحالة العامة : $z=t$ و نبحث عن $x$ و $y$ بدلالة $t$ فنجد التمثيل الوسيطي للمستقيم $(\Delta )$

من الشكل : $(\Delta ):\begin{cases} x=\alpha t+x_0 \\ y=\beta t+y_0\\ z=t \end{cases} ; (t\in \mathbb{R})$

- المسألة العكسية : عندما يكون لدينا التمثيل الوسيطي للمستقيم $(\Delta )$ , لكي نبين أن $(\Delta )$ هو مستقيم تقاطع المستويين $(P_1)$ و $(P_2)$ يكفي أن نتحقق : $\begin{cases} (\Delta)\subset (P_1)\\ (\Delta)\subset (P_2) \end{cases}$

بمعنى إحداثيات التمثيل الوسيطي للمستقيم $(\Delta)$ تحقق معادلة كلا من المستويين $(P_1)$ و $(P_2)$

كيفية تقاطع ثلاث مستويات

الحالة 1 : إذا كان مستويان منهم متوازيان تماما فإن تقاطع الستويات الثلاثة خال بمعنى : $(P_1)\cap (P_2)\cap (P_3)=\left \{ \varnothing \right \}$

الحالة 2 : إذا كان مستويين منهم غير متوازينن (متقاطعين ) نعين مستقيم تقامعهما فيصبح تقاطع المستويات الثلاثة عبارة عن تقاطع مستقيم مع مستوي

بمعنى : مثلا $(P_1)\cap (P_2)\cap (P_3)=(\Delta )\cap (P_3)$

تعامد مستقيم و مستوي في الفضاء

يتعامد مستقيم ومستوي في الفضاء إذا توازى شعاع توجيه هذا المستقيم مع الشعاع الناظمي لهذا المستوي

بمعنى إذا كان : $\vec u_{(\Delta )}\begin{bmatrix} \alpha \\ \beta \\ \gamma \end{bmatrix}$ شعاع توجيه المستقيم $(\Delta )$ و $\vec n_{(P)}\begin{bmatrix} a\\ b\\ c \end{bmatrix}$ شعاع ناظمي للمستوي $(P)$

فإن :

$(\Delta)\perp (P)\Rightarrow \vec u_{(\Delta)}|| \vec n_{(P)}\Rightarrow \frac{a}{\alpha}=\frac{b}{\beta}=\frac{c}{\gamma}$

الوضع النسبي لمستقيم و مستوي في الفضاء

* $(\Delta )\cap (P)=(\Delta)$ يعني : $(\Delta)\subset (P)$ " $(\Delta)$ مرسوم في هذا المستوي "

* $(\Delta )\cap (P)=\left \{ \varnothing \right \}$ يعني : $(P)$ و $(\Delta )$ متوازيان تماما (منفصلان )

* $(\Delta )\cap (P)=\left \{ F \right \}$

لإيجاد إحداثيات نقطة تقاطع $(P)$ و $(\Delta)$ نعوض إحداثيات التمثيل الوسيطي للمستقيم $(\Delta)$ في معادلة المستوي $(P)$ فنجد قيمة $t$ و نعوض عن $t$ في التمثيل الوسيطي فنجد إحداثيات $F$

سطح الكرة في الفضاء

1- معادلة سطح الكرة :

معادلة سطح الكرة $(S)$ ذات المركز $\omega (x_\omega ,y_\omega ,z_\omega )$ و نصف قطرها $R$ تعطى بالقانون $(x-x_\omega )^2+(y-y_\omega)^2+(z-z_\omega)^2=R^2$

2- المسألة العكسية :

لتكن $(E)$ : مجموعة النقط $M(x,y,z)$ من الفضاء التي تحقق $x^2+y^2+z^2+ax+by+cz=0$

لمعرفة طبيعة مجموعة النقط $(E)$ يمكن أن نستعمل إحدى الطريقتين الآتيتين :

* الطريقة الأولى (طريقة حساب العدد $K$ ) :

نحسب $k=\frac{a^2+b^2+c^2-4 d}{4}$ نميز ثلاث حالات :

إذا كان $K<0$ فإن $(E)=\varnothing$

إذا كان $K=0$ فإن $(E)=\left \{ \omega \left ( -\frac{a}{2},-\frac{b}{2},-\frac{c}{2} \right ) \right \}$

إذا كان $K>0$ فإن سطح الكرة $(S)$ حيث : $(E)=(S)=\left \{ \omega(x_\omega ,y_\omega ,z_\omega ) ; R=\sqrt K\right \}$

* الطريقة الثانية (طرقة استعمال قاعدة اكمال التربيع ) :

نستخدم فيها :

$\begin{cases} x^2+ax =\left ( x+\cfrac{a}{2} \right )^2-\left ( \cfrac{a}{2} \right )^2\\ y^2+by=\left ( y+\cfrac{b}{2} \right )^2-\left ( \cfrac{b}{2} \right ) ^2\\ z^2+cz=\left ( z+\cfrac{c}{2} \right )^2-\left ( \cfrac{c}{2} \right ) \end{cases}$

نصيحة :

إذا اشتملت المعادلة النعطاة لمجموعة النقط $(E)$ على وسيط يفضل استخدام طريقة جساب العدد $K$ أما إذا لم تشتمل المعادلة على وسيط فنفضل استخدام طريقة قاعدة اكمال التربيع

3- كيفية تعيين معادلة مستو يمس كرة في نقطة معلومة :

لإيجاد معادلة المستوي $(P)$ الذي يمس سطح الكرة $(S)$ في النقطة $A$ نستعمل إحدى الطريقتين

* الطريقة الأولى : $\overrightarrow{AM}\perp \overrightarrow{\omega A}\Rightarrow \overrightarrow{AM} .\overrightarrow{\omega A}=0$

* الطريقة الثانية : نلاحظ أن $\overrightarrow{\omega A}$ شعاع ناظمي للمستوي (لأنه عمودي عليه )

ثم نعوض احداثيات النقطة $A$ في معادلة المستوي , فنجد الثابت $d$

4-كيفية تعيين معادلة سطح الكرة التي تمس مستو معلوم :

سطح كرة مركزها $\omega (x_\omega ,y_\omega ,z_\omega)$ معطى ,و $(P)$ مستو معادلته $ax+by+cz +d=0$

* طريقة إيجاد معادلة سطح الكرة $(S)$ :

كمايلي :

$\begin{cases} (S): (x-x_\omega)^2+(y-y_\omega )^2+(z-z _\omega )^2=R^2=R^2 \\ \\ R=d(\omega ;(P))=\cfrac{|ax_\omega +by_\omega +cz_\omega +d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}} \end{cases}$

وضعية النسبية لسطح كرة مع مستو في الفضاء

$(S)$ سطح كرة مركزها : $\omega (x_\omega,y_\omega ,z_\omega )$ و نصف قطرها $R$ و $(P)$ مستو معادلته :

$ax+by+cz +d=0$ نضع $d=d(\omega ,(P))$ فلدينا :

لاحظ الوثيقة 1 المرفقة :

الوضعية النسبية لسطح كرة مع مستقيم في الفضاء

$(S)$ سطح كرة مركزها معادلتها : $(x-x_\omega )^2+(y-y_\omega)^2+(z-z_\omega)^2=R^2$

و $(d)$ مستقيم الذي تمثيله الوسيطي

$(d):\begin{cases} x=\alpha t+x_0 \\ y=\beta t+y_0 \\ z=\gamma t+z_0 \end{cases};(t\in \mathbb{R})$

لدراسة الوضعية النسبية لسطح الكرة $(S)$ مع المستقيم $(d)$ في الفضاء نعوض $y,x$ و $z$ من التمثيل الوسيطي للمستقيم $(d)$ في معادلة $(S)$ فنحصل على معادلة من الدرجة الثانية مجهولها الوسيط $t$

لاحظ الوثيقة المرفقة

حجم رباعي الوجوه :

يحسب الحجم $V$ لرباعي الوجوه بالقانون التالي : $V=\frac{S_{ABC}\times h}{3}$

حيث $S_{ABC }$ مساحة القاهعدة ( المثلث $ABC$ ) و $h$ الإرتفاع

مساحة المثلث :

أ- إذا كان المثلث $ABC$ قائم في $A$ (مثلا) فإن $S_{ABC}=\frac{AB\times AC}{2}$

ب- إذا كان المثلث كيفي (أو نجهل طبيعته ) و كان لدينا قيس أحد زواياه فإن : $S_{ABC}=\frac{a.b.\sin A}{2}=\frac{b.c\sin B}{2}=\frac{a.c._sin C}{2}$

المرجح في الفضاء

ملاحظة :

في حالة مرجح أكثر من ثلاث نقط تعمم النتائج بأكملها بنفس الكيفية التي عرف بها مرجح ثلاث نقط

1- إحداثيات النقطة $G$ مرجح الجملة المثقلة $\left \{(A,\alpha ),(B,\beta),(C;\gamma) \right \}$ تعطى بالعلاقة :

$G\left ( \cfrac{\alpha x_A+\beta x_B+\gamma x_C }{\alpha +\beta +\gamma}; \cfrac{\alpha y_A+\beta y_B+\gamma y_C }{\alpha +\beta +\gamma} ; \cfrac{\alpha z_A+\beta z_B+\gamma z_C }{\alpha +\beta +\gamma} \right )$

2- كيفية تحويل العلاقة الشعاعية من الشكل : $\alpha \overrightarrow{AM}+\beta \overrightarrow{BM}+\gamma \overrightarrow{CM}$

علما أن : $\alpha +\beta +\gamma\neq 0$

بإدخال نقطة المرجح $G$ نجد :

$\alpha \overrightarrow{AM}+\beta \overrightarrow{BM}+\gamma \overrightarrow{CM}=(\alpha +\beta +\gamma)\overrightarrow{MG}$

التعميم : المرجح $\overrightarrow{M}$ × (مجموعات المعاملات )

ملاحظة : إذا كان $\alpha +\beta +\gamma =0$ فلايوجد مرجح للنقط $B,A$ و $C$ يكون الشعاع

$\alpha \overrightarrow{AM}+\beta \overrightarrow{BM}+\gamma \overrightarrow{CM }$ شعاعا ثابتا مستقلا عن النقطة $M$ و يتم تحويل العبارة بإدخال إحدى النقط المعلومة و استعمال علاقة شال chasles

3- كيفية تحويل العلاقة العددية من الشكل $\alpha \overrightarrow{AM^2}+\beta \overrightarrow{MB^2}+\gamma \overrightarrow{MC^2}$

بإدخال نقطة المرجح $G$ نجد

$\alpha MA^2+\beta MB^2+\gamma MC^2=(\alpha +\beta +\gamma )MG^2+\alpha GA^2+\gamma GC^2$

التعميم : أجعل مكان $M$ نقطة المرجح +²[المرجح $M$ ] × (مجموع المعاملات )

4- لاحقة النقطة $H$ مركز ثقل الثلث $ABC$ تعطى بالعلاقة :

$H\left ( \cfrac{x_A+x_B+x_C}{3},\cfrac{y_A+y_B+y_C}{3},\cfrac{z_A+z_B+z_C}{3} \right )$

مجموعة النقط M في الفضاء

طبيعة (نوع $E$ ) مجموعة النقط $M$ في الفضاء	كل المعادلة المحصل عليها من مجموعة النقط $M$ من الفضاء
$E$ : سطح كرة مركزها $G$ و نصف قطرها $R=K$	1) $MG=K$
$E$ : سطح الكرة التي قطرها $[GH]$ مركزها $\omega$ منتصف القطعة المستقيمة $[GH]$ و نصف قطرها $R=\frac{GH}{2}$	2) $\overrightarrow{MG} \bullet \overrightarrow{MH}=0$
$E$ : المستوي الذي يشمل النقطة $G$ و $\overrightarrow{AB}$ شعاع ناظمي له (عمودي عليه )	3) $\overrightarrow{MG}\bullet \overrightarrow{AB}=0$
$E$ : المستوي المحوري على منتصف القطعة المستقيمة $[GH]$	4) $MG=MH$

تطبيقات

للمزيد من التفاصيل اليك الفييوهات التالية :

الفيديو الأول :