ملخص الدرس / الثالثة ثانوي/رياضيات/الهندسة في الفضاء/المعادلة الديكارتية لمستوى في الفضاء

الملخص

المعادلة الديكارتية لمستو

كل مستو في الفضاء له معادلة ديكارتية من الشكل : $ax+by +cz+d=0$

حيث : $c,b,a$ لا تنعدم في آن واحد , علما أن : $\vec n\begin{bmatrix} a\\ b\\ c \end{bmatrix}$ هو الشعاع الناظمي له ( عموديا عليه )

تعيين معادلة ديكارتية لمستو بثلاث نقط

المستوي يشمل ثلاث نقط :

أ / لإثبات أن النقط $B,A$ و $C$ تعرف ( تعيتن - تشكل ) مستو :

- يعني النقط : $B,A$ و $C$ ليست في إستقامية

- يعني الشعاعان : $\overrightarrow{AB}$ و $\overrightarrow{AC}$ غير مرتبطين خطيا ( غير متوازيين )

ب / لإيجاد معادلة ديكارتية للمستوي $(ABC)$ :

- نبحث عن شعاعا ناظميا $\vec n \begin{bmatrix} a\\ b\\ c \end{bmatrix}$ له و ذلك بحل الجملة التالية : $\begin{cases} \vec n\perp \overrightarrow{AB} \\ \vec n\perp \overrightarrow{AC} \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} n\bullet \overrightarrow{AB}=0\\ \vec n \bullet \overrightarrow{AC} =0 \end{cases}$

ثم نطبق التعريف التحليلي للجداء السلمي فنجد عادة ثلاث مجاهيل بمعادلتين فقط مما يجعلنا مثلا نثبت $a$ و نبحث عن $b$ و $c$ بدلالة فمجد الشعاع الناظمي العام $\vec n_a$ و نختار قيمة مبسطة لـ : $a$

و عليه نجد الشعاع الناظمي الخاص $\vec n$

- بعد إيجاد $b,a$ و $c$ أعداد معلومة يبقى $d$ مجهول فعلينا أن نعوض إحداثيات أحد النقط : $A$ أو $B$ أو $C$ في المعادلة $ax+by+cz+d=0$ فنجد القيمة $d$

*تنبيه : إذا أعطيت المعادلة الديكارتية للمستوى و طلب منا التأكد من أنها للمستوي $(ABC)$ يكفي أن نبين :

أ / $\overrightarrow{AB}$ و $\overrightarrow{AC}$ غير مرتبطين خطيا

ب / إحداثيات كل من النقط الثلاث $B,A$ و $C$ تحقق المعادلة $ax+by+cz+d=0$

بمعنى

$\begin{cases} A\in(ABC) \\ B\in(ABC) \\ C\in (ABC) \end{cases}$

مستويات خاصة

* $x=0$ هي معادلة ديكارتية للمستوي $(O;\vec j;\vec k)$

* $y=0$ هي معادلة ديكارتية للمستوي $(O;\vec i;\vec k)$

* $z=0$ هي معادلة ديكارتية للمستوي $(O;\vec i;\vec j)$

بعد نقطة عن مستو

بعد النقطة $A(x_A,y_A,z_A)$ عن المستوي : $(P):ax+by+cz +d=0$ تعطى بالقانون التالي :

$d(A;(P))=\frac{\left | ax_A+by_A+cz_A+d \right |}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$

التمثيل الوسيطي لمستو معين بثلاث نقط

يشمل ثلاث نقط :

لإيجاد التمثيل الوسيطي للمستوي $(ABC)$ حيث : $\overrightarrow{AB}$ و $\overrightarrow{AC}$ غير مرتبطين خطيا

$M(x,y,z)\in (ABC)$ يعني : $\overrightarrow{AM}=t\overrightarrow{AB}+t'\overrightarrow{AC}$ (حيث : $t$ و $t'$ من $\mathbb{R}$ )

يعني :

$\begin{cases} x=(x_B-x_A)t+(x_C-x_A)t'+x_A \\ y=(y_B-y_A)t+(y_C-y_A)t'+y_A \\ z=(z_B-z_A)t+(z_C-z_A)t'+z_A \end{cases!}$

تعامد مستويين

يتعامد مستويان في الفضاء إذا تعامدا شعاعهما الناظميان :

إذا كان $\begin{cases} (P_1):ax+by+cz+d=0 \\ \\ (P_2):a'x+b'y+c'z+d'=0 \end{cases}$ فلدينا : $(P_1)\perp (P_2)$ يعني : $\vec n_{(P_1)}\perp \vec n_{(P_2)}$

أي : $\vec n_{(P_1)}.\vec n_{(P_2)}=a\times a'+b\times b'+c\times c'=0$

المسقط العمودي لنقطة على مستوي

لتكن النقطة $H(x,y,z)$ هي المسقط العمودي للنقطة $A$ على المستوي $(P)$ , لتعيين إحداثيات النقطة $H$ :

أ / نبحث عن التمثيل الوسيطي للمستقيم $(AH)$ الذي يشمل النقطة $A$ و عمودي على المستوي في النقطة $H$ أي : " $\overrightarrow{AH}||\vec n_{(P)}$ يعني $\overrightarrow{AH}=t.\vec n_{(P)}$ "

ب / نعوض إحداثيات التمثيل الوسيطي للمستقيم $(AH)$ في معادلة المستوي $(P)$ فنجد قيمة $t$ و نعوض عن $t$ في التمثيل الوسيطي فنجد إحداثيات المسقط العمودي $H$

معادلة سطح الكرة

سطح الكرة التي مركزها $\left (a,b,c \right )$ و نصف قطرها $R$ هي مجموعة النقطة $m\left ( x,y,z \right )$ بحيث : $Wm=R$

المعادلة الديكارتية لسطح هذه الكرة :

$\left ( x-a \right )^{2}+\left ( y-b \right )^{2}+\left ( z-c \right )^{2}=R$