ملخص الدرس / الثالثة ثانوي/رياضيات/الهندسة في الفضاء/الجداء السلمي الهندسة في الفضاء

الملخص

تعريف

$\vec{u}$ و $\vec{v}$ شعاعان من الفضاء $A.B.C$ ثلاث نقط حيث $u=\overrightarrow{AB}$ , $\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AB}$ $v=\overrightarrow{AC}$

يوجد على الأقل مستوى $\left ( P \right )$ يشمل النقط $A.B.C$ بحيث الجداء السلمي للشعاعين $\vec{v},\vec{u}$

هو الجداء السلمي للشعاعين مستوى $\left ( P \right )$

العبارة التحليلية

الفضاء منسوب إلى معلم متعامد و متجانس $\left( O,\vec{i},\vec{j},\vec{k}\right )$ إذا كان $\vec{u}\left( x,y,z\right )$ و $\vec{v}\left ( {x}',{y}',{z}' \right )$ شعلعلن من الفضاء فإن :

$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=x{x}'+y{y}'+z{z}'$

$\vec{u}.\vec{v}=\left \| \vec{u} \right \|.\left \| \vec{v} \right \|\cos \left ( \vec{u}.\vec{v} \right )$

طويلة شعاع

إذا كان $\vec{u}\left ( x,y,z \right )$ شعاع من الفضاء فإن : $\left \| \vec{u} \right \|=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$

المسافة بين نقطتين

لتكن : $A\left ( x_{a},y_{a},z_{a} \right ); B\left ( x_{b},y_{b},z_{b} \right )$ نقطتان من الفضاء حيث :

$AB=\sqrt{\left ( x_{b}-x_{a} \right )^{2}+\left ( y_{b}-y_{a} \right )^{2} +\left ( z_{b}-z_{a} \right )^{2}}$

ملاحظة :

$AB=\left \| \overrightarrow{AB} \right \|$

للمزيد من التفاصيل اليك الفيديوهات التالية :

الفيديو الأول :

مفاهيم أولية

في كل مايلي المستوي منسوب الى معلم متعامد و متجانس $(O;\vec i;\vec j ;\vec k)$ :

نعتبر النقطتين $A(x_A,y_A,z_A)$ و $B(x_B,y_B,z_B)$ و الشعاعان $\vec u \begin{bmatrix} \alpha \\ \beta \\ \gamma \end{bmatrix}$ و $\vec v \begin{bmatrix} \alpha '\\ \beta '\\ \gamma' \end{bmatrix}$ :

1- مركبات الشعاع $\overrightarrow{AB}$ هي : $\vec v$ $\overrightarrow{AB}\begin{bmatrix} x_B-x_A\\ y_B-y_A\\ z_B-z_B \end{bmatrix}x}$

2- الطول ( المسافة ) بين النقطتين $A$ و $B$ هو : $AB=\left \| \overrightarrow{AB} \right \|=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}$

3- إحداثيات منتصف القطعة المستقيمة $[AB]$ هي : $\begin{bmatrix} \cfrac{x_A+x_B}{2} ;&\cfrac{y_A+y_B}{2} ;& \cfrac{z_A+z_B}{2} \end{bmatrix}$

4- الجداء السلم لشعاعان $\vec u$ و $\vec v$ هو : $\vec u.\vec v=\alpha \times \alpha '+\beta\times \beta '+\gamma \times \gamma '$

5- تعامد الشعاعان $\vec u$ و $\vec v$ يعني : $\vec u\perp \vec v=\vec u.\vec u=\alpha \times \alpha '+\beat\times \beata'+\gamma\times \gamma ' =0$

6- توازي الشعاعان $\vec u$ و $\vec v$ يعني $\vec u$ و مرتبطين خطيا ( أي إثبات وجود عدد حقيقي $t$ يحقق $\vec u =t. \vec v$ )

معناه : يكفي أن نثبت التناسب التالي : $\begin{bmatrix} \cfrac{\alpha }{\alpha '}=\cfrac{\beta}{\beta '}= \cfrac{\gamma}{\gamma '}=t\in \mathbb{R} \end{bmatrix}$ محقق

7- جيب تمام $(\cos )$ زاوية شعاعية : حيث : $\vec u \neq \vec 0$ و $\vec v \neq \vec 0$

$\cos (\vec u;\vec v)=\frac{\vec u. \vec v}{\left \| \vec u \right \| \times \left \| \vec v \right \|} =\frac{\alpha \times \alpha ' +\beta\times \beta^2 +\gamma \times \gamma^2} {\sqrt{\alpha^2 +\beta^2 +\gamma^2}\times \sqrt{\alpha '^2+\beta'^2+\gamma'^2}}$