ملخص الدرس / الثالثة ثانوي/رياضيات/الأعداد و الحساب/مبرهنة بيزو - مبرهنة غوص

الدرس

من الأستاذ(ة) وزارة التربية الوطنية

الأعداد الأولية

تعريف :

القول أن العدد الطبيعي $n$ عدد أولي معناه أن $n$ يقبل قاسمين بالضبط في $\mathbb{N}$ : $1$ و $n$ نفسه .

ملاحظات و نتائج :

$0$ غير أولي لأنه يقبل مالانهاية من القواسم .

$1$ غير أولي لأنه يقبل قاسم واحد هو $1$ .

$2$ هو العدد الأولي الزوجي الوحيد .

$23,19,17,13,11,7,5,3,2$ هي الأعداد الأولية الأصغر من $25$ .

خواص :

خاصية 1:

كل عدد طبيعي $n$ أكبر تماما من $1$ $\left (n\geq 2 \right )$ يقبل على الأقل قاسما أوليا .

خاصية 2 :

كل عدد طبيعي $n$ غير أولي أكبر تماما من $1$ $\left (n\geq 2 \right )$ يقبل على الأقل قاسما أوليا $a$ حيث $a\leq \sqrt{n}$ .

خاصية 3 :

مجموعة الأعداد الأولية غير منتهية .

تحليل عدد طبيعي إلى جداء عوامل أولية

مبرهنة :

كل عدد طبيعي غير أولي $n$ حيث $n\geq 2$ يمكن تحليله إلى جداء عوامل أولية .

خاصية :

$a$ و $b$ عددان طبيعيان كلاهما أكبر تماما من $1$ .

يكون العدد $b$ قاسما للعدد $a$ إذا وفقط إذا كان كل عامل أولي في تحليل $b$ موجودا في تحليل $a$ و باس إما مساو و إما أصغر من أسه في تحليل $a$ .

المضاعف المشترك الأصغر لعددين

$a$ عدد طبيعي غير معدوم ، نرمز ب $M_{a}$ إلى مجموعة مضاعافات $a$ .

مثال :

مجموعة مضاعفات $6$ هي $M_{6}=\left \{ 0;6;12;18;24;... \right \}$ .

ملاحظة :

المضاعف الوحيد ل $0$ هو $0$ .

1.تعريف :

$a$ و $b$ عددان طبيعيان غير معدومين . $M_{a}$ مجموعة مضاعافات $a$ ، $M_{b}$ مجموعة مضاعافات $b$ .

$M_{a}\cap M_{b}$ هي مجموعة المضاعافات المشتركة للعددين $a$ و $b$ .

يسمى أصغر عنصر غير معدوم من المجموعة $M_{a}\cap M_{b}$ المضاعف المشترك الأصغر للعددين $a$ و $b$ .

ونرمز له $PPCM\left ( a;b \right )$ .

ملاحظات :

$PPCM\left ( a;a \right )=a$ و $PPCM\left ( 1;a \right )=a$

مجموعة المضاعفات المشتركة لعددين طبيعيين غير معدومين هي مجموعة المضاعفات المضاعف المشترك الأصغر لهما .

مثال:

مجموعة مضاعفات $6$ هي $M_{6}=\left \{ 0;6;12;18;24;30;36;42;48;... \right \}$ .

مجموعة مضاعفات $8$ هي $M_{8}=\left \{ 0;8;16;24;32;40;48;... \right \}$ .

$M_{6}\cap M_{8}=\left \{ 24;48;72;96;... \right \}$ إذن $PPCM\left ( 6;8 \right )=24$

2.تمديد المضاعف المشترك الأصغر لعددين صحيحين :

تعريف :

$a$ و $b$ عددان صحيحان غير معدومين .

المضاعف المشترك الأصغر للعددين $a$ و $b$ هو أصغر عدد طبيعي $m$ غير معدوم حيث $m=PPCM\left ( \left | a \right | ;\left | b \right |\right )$

3.خاصية للمضاعف المشترك الأصغر لعددين طبيعيين :

خاصية :

$a$ و $b$ عددان طبيعيان غير معدومين . $k$ عدد صحيح غير معدوم .

$PPCM \left ( ka;kb \right )=\left | k \right |PPCM\left ( a;b \right )$

4.حساب القاسم المشترك الأكبر باستعمال التحليل إلى جداء عوامل أولية :

خاصية :

القاسم المشترك الأكبر لعددين طبيعيين $a$ و $b$ كلاهما أكبر تماما من $1$ هو جداء العوامل الأولية المشتركة في تحليلي العددين $a$ و $b$ بحيث يؤخذ كل عامل مرة واحدة و بأصغر أس .

5.حساب المضاعف المشترك الأصغر باستعمال التحليل إلى جداء عوامل أولية :

خاصية :

المضاعف المشترك الأصغر لعددين طبيعيين $a$ و $b$ كلاهما أكبر تمام من $1$ هو جداء العوامل الأولية المشتركة و غير المشتركة في تحليلي العددين $a$ و $b$ بحيث يؤخذ كل عامل

من هذه العوامل مرة واحدة و بأكبر أس .

6.العلاقة بين المضاعف المشترك الأصغر و القاسم المشترك الأكبر لعددين طبيعيين :

خاصية :

جداء عددين طبيعيين $a$ و $b$ كلاهما أكبر تمام من $1$ مساو لجداء قاسمهما المشترك الأكبر و مضاعفهما المشترك الأصغر .

بعبارة أخرى $PGCD\left ( a;b \right )\times PPCM\left ( a;b \right )=a\times b$ .

مبرهنة بيزو

1.مبرهنة :

يكون عددان صحيحان $a$ و $b$ أوليين فيما بينهما إذا وفقط إذا وجد عددان صحيحان $u$ و $v$ حيث : $au+bv=1$ .

2.خواص :

خاصية 1 :

إذا كان $d$ القاسم المشترك الأكبر لعددين صحيحين $a$ و $b$ فإنه يوجد عددان صحيحان $u$ و $v$ حيث : $au+bv=1$ .

خاصية 2 :

إذا كان $a$ عددا أوليا فإن $a$ أولي مع كل الأعداد التي لا يقسمها .

خاصية 3 :

إذا كان $a$ عددا أوليا مع عددين صحيحين $b$ و $c$ فإن $a$ أولي مع جدائهما $b\times c$ .

مبرهنة غوص

مبرهنة :

$a$ ، $b$ و $c$ ثلاثة أعداد صحيحة غير معدومة .

إذا كان $a$ يقسم الجداء $bc$ و كان $a$ أوليا مع $b$ ، فإن $a$ يقسم $c$ .

خواص :

خاصية 1:

$a$ و $b$ عددان طبيعيان غير معدومين و $p$ عدد أولي .

إذا كان $p$ يقسم الجداء $ab$ ، فإن $p$ يقسم $a$ أو $p$ يقسم $b$ .

خاصية 2 :

$a$ ، $b$ و $c$ ثلاثة أعداد طبيعية غير معدومة .

إذا كان $a$ مضاعفا للعددين $b$ و $c$ و كان $b$ و $c$ أوليين فيما بينهما فغن $a$ مضاعف للجداء $bc$ .