ملخص الدرس / الثالثة ثانوي/رياضيات/الدوال العددية/الدالة اللوغارتمية النيبيرية التغيرات و النهايلت

الملخص

من الأستاذ(ة) berrouane kamel

النهايات

$\lim_{x\rightarrow +\infty }\ln x=+\infty$

$\lim_{\overset{>}{x\rightarrow 0}}\ln x=-\infty$

$\lim_{\overset{>}{x\rightarrow 0}}\: x\ln x=0^{-}$

$\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{\ln x}{x}=0^{+ }$

$\lim_{x\rightarrow 0 }\frac{\ln \left (x+1 \right )}{x}=1$

$\lim_{\overset{>}{x\rightarrow 0}}\: x^{k}\ln x=0^{-}\: \: \: ;\: \: \left ( k\in \mathbb{Q} ^{\ast +} \right )$

$\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{\ln x}{x^{k}}=0^{+ }\: \: ;\: \: \: \left ( k\in \mathbb{Q} ^{\ast +} \right )$

$\lim_{x\rightarrow 1 }\frac{\ln x}{x-1}=1$

التغيرات

إتجاه تغير الدالة اللوغاريتمية :

الدالة اللوغاريتمية النيبيرية متزايدة تماما على المجال $\left ]0,+\infty \right [$

ملاحظة :

نعبر عن النتيجة أن الدالة النيبيرية " $\ln$ " هي الدالة العكسية للدالة الأسية " $\exp$ " .

الإستمرارية و الإشتقاقية :

الدالة مستمرة و قابلة للإشتقاق على $\left ]0,+\infty \right [$ و لدينا من أجل كل $x$ من $\left ]0,+\infty \right [$ ، ${\ln }'\left ( x \right )=\frac{1}{x}$

قانون المشتق :

$U\left ( x \right )$ الدالة $\leftarrow$

$\ln {\left [\left |U(x) \right | \right ]}'=\frac{{\left (U(x) \right )}'}{\left (U(x) \right )}$

جدول التغيرات :

$x$

$0$ $1$ $+\infty$

${\ln }'x$

$+$

$\ln x$

$\left \right |$ $+\infty$

$\dpi{200} \overset{0}{\nearrow}$

$-\infty$

الفروع اللانهائية :

- في جوار $+\infty$ ، يوجد فرع قطع مكافئ في اتجاه محور الفواصل .

- في جوار $0$ ، محور التراتيب هو خط مقارب .

التمثيل البياني :

$x$	$\ln x$
$1$	$0$
$e$	$1$
$2$	$0.69$
$\frac{1}{2}$	$-\ln 2$

للمزيد من التفاصيل اليك الفيديوهات التالية :

الفيديو الأول :

الفيديو الثاني :

الفيديو الثالث :

النهايات الشهيرة

* $\lim_{x\overset{>}{\rightarrow}0}\ln x=-\infty$ و بصفة عامة $\ln 0^+$

* $\lim_{x\rightarrow +\infty}\ln x=+\infty$ و بصفة عامة $\ln (+\infty)=+\infty$

* $\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{\ln x}{x}=0^+$ و أيضا $\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{\ln x }{x^n}$ و بصفة عامة $\lim_{\blacktriangle \rightarrow +\infty}=\frac{\ln \blacktriangle }{\blacktriangle ^n}=0$

* $\lim_{x\overset{>}{\rightarrow}0 }x\ln x=0^-$ و أيضا $\lim_{x\overset{>}{\rightarrow}0}x^n\ln x =0^-$ و بصفة عامة $\lim_{\blacktriangle \overset{>}{\rightarrow}0}\blacktriangle ^n \ln \blacktriangle =0^-$

* $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\ln (1+x)}{x}=1$ و بصفة عامة $\lim_{\blacktriangle \rightarrow 0}\frac{\ln (1+\blacktriangle )}{\blacktriangle }=1$

* $\lim_{x\rightarrow 1}\frac{\ln x}{x-1}=1$ و بصفة عامة $\lim_{\blacktriangle \rightarrow 1}\frac{\ln \blacktriangle }{\blacktriangle -1}=1$

ملاحظة :

مقلوب النهايتين الأخيرتين يساوي $1$ بمعنى $\lim_{\blacktriangle \rightarrow 0}\frac{\blacktriangle }{1+ \blacktriangle }=1$ و $\lim_{\blacktriangle \rightarrow 1}\frac{\blacktriangle -1}{\ln \blacktriangle }$

الاستمرارية و الاشتقاقية

خواص : الدالة مستمرة و قابلة للاشتقاق على $]0;+\infty[$ و لدينا من أجل كل $x$ من $\ln '(x)=\frac{1}{x};]0;+\infty[$

البرهان :

- تقبل بدون برهان أن الدالة مستمرة و قابلة للاشتقاق على $]0;+\infty[$

- لتكن $f$ الدالة المعرفة على $]0;+\infty[$ بـ $f(x)=e^{\ln x}$ , $f$ هي مركب الدالة متبوعة بالدالة فهي إذن قابلة للاشتقاق على $]0;+\infty[$ و لدينا $f'(x)=\ln '(x)\times e^{\ln x}$ و بما أن من أجل كل $x$ من $e^{\ln x}=x;]0;+\infty[$

فإن $f'(x)=\ln '(x)\times x$ من جهة و $f'(x)=1$ $(f(x)=x)$ من جهة ثانية . نستنتج هكذا أن $\ln '(x)=\frac{1}{x}$

جدول تغيرات الدالة "ln "

$x$	$0$ $1$ $+\infty$
$\ln '(x)$	$\|\|$ $+$
$\ln x$	$\|\|$ $-\infty$ $\nearrow$ $0$ $\nearrow$ $+\infty$

- المنحنى $(C)$ الممثل للدالة يقبل محور التلراتيب كمستقيم مقارب .

- لدينا $\ln'(1)=1$ و $\ln 1=0$ إذن يقبل المنحنى $(C)$ عند النقطة ذات الفاصلة $1$ مماسا $(\Delta):y=x-1$

- من تعريف العدد المشتق لديتا : $\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\ln (1+h)-\ln (1)}{h}=\ln '(1)=1$ إذن $\lim_{h\rightarrow 0}\frac{(1+h)}{h}=1$ أو $\lim_{x\rightarrow 1}\frac{\ln x}{x-1}=1$

نتيجة : الدالة $h\rightarrow h$ هي أحسن تقريب تآلفي للدالة $h\rightarrow (1+h)$ بجوار $0$

أي من أجل $h$ قريب من $0$ لدينا $\ln (1+h)=h$

الدالة اللوغاريتم العشري

تعريف : نسمي دالة اللوغاريتم العشري الدالة التي نرمز اليها بالرمز و المعرفة على المجال $]0;+\infty[$ بـ : $\log x=\frac{\ln x}{\ln 10}$

ملاحظة : $\log 1=0$ و $\log 10=1$

خواص

خاصية 1: من أجل كل عددين حقيقيين $a$ و $b$ من $\log (ab)=\log a+\log b;]0;+\infty[$

البرهان : $a$ و $b$ عددان حقيقيان من $]0;+\infty[$ لدينا :

$\log (ab)=\frac{\ln (ab)}{\ln 10}=\frac{\ln a+\ln b}{\ln 10}=\frac{\ln a}{10}+\frac{\ln b}{\ln 10} =\log a+\log b$

نتائج : كل الخواص الجبرية للدالة تبقى محققة من قبل الدالة و منه :

1- من أجل كل عددين حقيقيين $a$ و $b$ من $\log \left ( \frac{a}{b} \right )\log a-\log b;]0;+\infty[$ ,

2- من أجل كل عدد حقيقي $a$ من $]0;+\infty[$ و من أجل كل عدد صحيح نسبي $\log (a^n)=n\log a, n$

حالة خاصة : من أجل كل عدد صجيج نسبي $\log (10^n)=n,n$ لأن $\log 10=1$

خاصية 2: الدالة متزايدة تماما على المجال $]0;+\infty[$ .

البرهان : من أجل كل $x$ من $]0;+\infty[$ , $\log x=\frac{1}{\ln 10}\times x$

و بما أن $\ln 10>0$ فإن الدالتين و نفس اتجاه التغيرات ,و بما أن الدالة مترايدة تمانا على $]0;+\infty[$ فإن الدالة متزايدة تماما على $]0;+\infty[$

يستنتج التمثيل البياني للدالة انطلاقا من التمثيل البياني للدالة .

نتيجة : إذا كان $x$ عددا حقيقيا حيث $10^n\leq x\leq 10^{n+1}$ فإن $n\leq \log x\leq n+1$

مثال :

نعتبرالعدد الحقيقي $x$ بحيث $x=3,87\times 10^7$

لدينا : $10^7<x<10^8$ و منه $\log 10^7<\log x<\log 10^8$

نجد هكذاأن : $7<\log x<8$

ملاحظة :

لدالة اللوغاريتم العشري تطبيقات عديدة و هامة في مختلف المواد بصفة خاصة في الفيزياء و الكيمياء و الجغرافيا .

دراسة الدالة ln o u

1- النهايات:

لدراسة نهاية دالة $\ln \circ u$ نستعمل المبرهنة الخاصة بنهاية دالة مركبة .

مثال : نهتبر الدالة $f$ المعرفة على $]2;+\infty[$ بــ $f(x)=\ln (x-2)$

لدينا : $\lim_{x\rightarrow 2}(x-2)=0$ و بما أن $\lim_{X\rightarrow 0}X=-\infty$ فإن $\lim_{x\rightarrow 2}\ln (x-2)=-\infty$ أي $\lim_{x\rightarrow 2}f(x)=-\infty$

لدينا : $\lim_{x\rightarrow +\infty}(x-2)=+\infty$ و بما أن $\lim_{X\rightarrow +\infty}\ln X=+\infty$ فإن $\lim_{x\rightarrow +\infty}\ln (x-2)=+\infty$ أي $\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=+\infty$

2- اتجاه التغيرات :

خاصية : إذا كانت $u$ دالة معرفة و موجبة تماما على مجال $I$ فإن الدالتين $u$ و $\ln \circ u$ نفس اتجاه التنغيرات على المجال $I$ ,

البرهان :

نعلم أن الدالة متزايدة تماما على المجال $]0;+\infty [$ إذن حسب المبرهنة الخاصة باتجاه تغير دالة مركبة يكون للدالتين $u$ و $\ln \circ u$ نفس اتجاه التغيرات على المجال $I$ .

مثال نعتبرالدالة $f$ المعرفة على $]1;+\infty[$ بـ $f(x)=\ln \left ( \frac{3}{x-1} \right )$

نلاحظ أن $f=\ln \circ u$ حيث هي الدالة المعرفة على $]1;+\infty[$ بــ $u(x)=\frac{3}{x-1}$

بما أن الدالة $u$ متناقصة تماما على المجال $]1;+\infty[$ فإن الدالة $f$ متناقصة تماما على المجال $]1;+\infty[$

3- المشتقة :

خاصية : إذا كانت $u$ دالة قابلة للاشتقاق و موجبة تماما على مجال $I$ فإن الدالة $\ln \circ u$ قابلة للاشتقاق على $I$ و لدينا من أجل كل $x$ من $(\ln \circ u)'(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}$

البرهان :

إذا كانت الدالة $u$ قابلة للاشتقاق وموجبة تماما على $I$ وعلما ان الدالة قابلة للاشتقاق على $]0;+\infty[$ فإن الدالة المركبة $\ln \circ u$ قابلة للاشتقاق على $I$

و بتطبيق قاعدة حساب المشتقة يكون لدينا :

من أجل كل $x$ من $(\ln \circ u)'(x)=u'(x)\times (\ln )'[u(x)]=u'(x)\times \frac{1}{u(x)}$

أي من أجل كل $x$ من $(\ln\circ u )'(x)=\frac{u'(x)}{u(x)},I$

مثال :

مشتقة الدالة $f$ المعرفة على $\mathbb{R}$ بـ $f(x)=\ln (x^2+x+1)$ هي $f'(x)=\frac{2x+1}{x^2+x+1}$

مشتقة الدالة $g$ المعرفة على $\mathbb{R}$ بـ $g(x)=\ln (e^x+1)$ هي $g'(x)=\frac{e^x}{e^x+1}$

وفيما يلي تفاصيل اكثر في هذا الفيديو: