ملخص الدرس / الثالثة ثانوي/رياضيات/الدوال العددية/الدالة الأسية تغيرات و النهايات

الملخص

دراسة الأسية

اتجاه تغير الدالة الأسية :

من أجل كل عدد حقيقي $x$ : $e^{x}>0$

الدالة الأسية متزايدة تماما على $\mathbb{R}$

النهايات :

$\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{e^{x}}{x}=+\infty$	$\lim_{x\rightarrow +\infty }e^{x}=+\infty$
$\lim_{x\rightarrow -\infty }xe^{x}=0$	$\lim_{x\rightarrow -\infty }e^{x}=0$
$\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{e^{x}}{x^{k}}=+\infty$	$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\left (e^{x}-1 \right )}{x}=1$

جدول التغيرات :

$x$

$-\infty$ $0$ $+\infty$

${\exp }'\left ( x \right )$

$+$

$e^{x}$

$1$ $+\infty$

$\nearrow$

$0$

المشتقة :

إذا كانت $U$ قابلة للاشتقاق على المجال $I$ فإن $\exp U$ قابلة للاشتقاق على المجال و لدينا من أجل كل $x$ من $I$ :

${\left (\exp U \right )}'\left ( x \right )={U}'\left ( x \right )e^{U\left ( x \right )}$

التمثيل البياني :

$x$	$e^{^x}$
$0$	$1$
$1$	$e\approx 2.71$
$2$	$e^{2}\approx 7.40$
$-2$	$\frac{1}{e^{2}}\approx 0.14$

للمزيد من التفاصيل اليك الفيديوهات التالية :

الفيديو الأول :

الفيديو الثاني :

اتجاه تغير الدالة الأسية

خاصية 1:

من أجل كل عدد حقيقي $e^x>0, x$

البرهان :

من أجل كل $x$ من $\mathbb{R}$ , $e^x=e^{2\times \frac{x}{2}}=\left ( e^{\frac{x}{2}} \right )^2$ و بما أن $e^x\neq 0$ فإن من أجل كل $x$ من $e^x>0,\mathbb{R}$

خاصية 2 :

الدالة الأسية متزايدة تماما على $\mathbb{R}$ .

البرهان :

من أجل كل $x$ من $\mathbb{R}$ , $\exp'(x)=e^x$ و منه من أجل كل $x$ من $\exp'(x)>0,\mathbb{R}$

نتائج :

من أجل كل عددين حقيقيين $a$ و $b$ لدينا : $e^a<e^b$ يعني $a<b$ و $e^a=e^b$ يعني $a=b$ .

من أجل كل عدد حقيقي $x$ لدينا $0<e^x<1$ يعني $x<0$ و $e^x>1$ يعني $x>0$

النهايات

خواص :

$\cdot \lim_{x\rightarrow -\infty}e^x=0~~~~~~~~~~\cdot \lim_{x\rightarrow +\infty}e^x=+\infty$

البرهان :

- نعتبر الدالة $f$ المعرفة على $[0;+\infty[$ بـ $f(x)=e^x-x$ , من أجل كل $x$ من $[0;+\infty[$ , $f'(x)=e^x-1$

و بما أن من أجل كل $x$ من $[0;+\infty[$ فإن $f'(x)\geq 0$ و منه $f$ متزايدة تماما على $[0;+\infty[$ , $f(0)=1$

إذن من أجل كل $x$ من $f(x)\geq0 [0;+\infty[$ أي $e^x\geq 0$ لدينا $\lim_{x\rightarrow +\infty}x=+\infty$ و منه $\lim_{x\rightarrow +\infty}e^x=+\infty$

- من أجل كل عدد حقيقي $e^x=\frac{1}{e^{-x}};x$ و بما أن $(\lim_{x\rightarrow -\infty}-x=+\infty)\lim_{x\rightarrow -\infty}e^{-x}=+\infty$ فإن $\lim_{x\rightarrow -\infty}e^x=0$

وفيما يلي تفاصيل اكثر في هذه الفيديوهات:

الفيديو الاول:

الفيديو الثاني:

الفيديو الثالث:

الفيديو الرابع:

الفيديو الخامس:

لدراسة نهاية الدالة $\exp \circ u$ نستعمل المبرهنة الخاصة بنهاية دالة مركبة .

مثال :

نعتبر الدالة المعرفة على $\mathbb{R}$ بــ $f(x)=e^{-x+2}$

لدينا $\lim_{x\rightarrow -\infty}(-x+2)=+\infty$ و بما أن $\lim_{x\rightarrow +\infty}e^x=+\infty$ فإن $\lim_{x\rightarrow +\infty}e^{-x+2}=+\infty$ أي $\lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)=+\infty$

لدينا $\lim_{x\rightarrow +\infty}(-x+2)=-\infty$ و بما أن $\lim_{x\rightarrow -\intfy}e^x=0$ فإن $\lim_{x\rightarrow +\infty}e^{-x+2}=0$ أي $\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=0$

وفيما يلي تفاصيل اكثر في هذا الفيديو:

جدول تغيرات - التمثيل البياني

$x$	$-\infty$ $0$ $+\infty$
$\exp'(x)$	$+$
$e^x$	$+\infty$ $0$ $\nearrow$

- المنحنى $(C)$ الممثل للدالة الأسية يقبل محور الفواصل كمستقيم مقارب لما يؤول $x$ الى $-\infty$

- لدينا $\exp'(0)=1$ و $e^0=1$ إذن يقبل المنحني $(C)$ عند النقطة ذات الفاصلة $(\Delta):y=x+1$ مماسا

- من تعريف العدد المشتق لدينا : $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\exp(0+x)-\exp (0)}{x}=\exp'(0)=1$ إذن $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^x-1}{x}=1$

نتيجة :

الدالة $x \mapsto 1+x$ هي أحسن تقريب تآلفي للدالة $x \mapsto e^x$ بجوار $0$

أي من أجل $x$ قريب من $0$ لدينا $e^x=1+x$

وفيما يلي تفاصيل اكثر غفي هذه الفيديوهات:

الفيديو الاول:

الفيديو الثاني:

الفيديو الثالث:

الفيديو الرابع:

اتجاه التغير ات

خاصية :

إذا كانت $u$ دالة معرفة على مجال $I$ فإن للدالتين $u$ و $exp \circ u$ نفس اتجاه التغيرات على المجال $I$ .

البرهان :

نعلم أن الدالة متزايدة تماما على $\mathbb{R}$ . إذن حسب المبرهنة الخاصة باتجاه تغير دالة مركبة يكون للدالتين $u$ و $\exp \circ u$ نفس اتجته التغيرات على المجال $I$

مثال :

نعتبر الدالة $f$ المعرفة على $\mathbb{R}$ بـ $f(x)=e^{x^2-1}$

نلاحظ أن $f=\exp\circ u$ حيث $u$ هي الدالة المعرفة على $\mathbb{R}$ بـ $u(x)=x^2-1$

بما أن الدالة $u$ متناقصة تماما على المجال $]-\infty;0]$ فإن الدالة $f$ متناقصة تماما على المجال $]-\infty;0]$

و بما أن الدالة $u$ متزايدة تماما على المجال فإن الدالة $[0;+\infty[$ فإن الدالة $f$ متزايدة تماما على المجال $[0;+\infty[$

المشتقة

خاصية :

إذا كانت $u$ دالة قابلة للاشتقاق على المجال $I$ فإن الدالة $\exp \circ u$ قابلة للاشتقاق على $I$ و لدينا من أجل كل $x$ من $(\exp \circ u)'(x)=u'(x)e^{u(x)};I$

البرهان :

إذا كانت الدالة $u$ قابلة للاشتقاق على $I$ و غلما أن الدالة قابلة للاشتقاق على $\mathbb{R}$ فإن الدالة المركبة $\exp \circ u$ قابلة للاشتقاق على $I$ و بتطبيق قاعدة حساب مشتقة دالة مركبة يكون لدينا :

من أجل كل $x$ من $(\exp \circ u)'(x)=u'(x)\times (\exp)'[u(x)]=u'(x)\times (\exp)[u(x)]:I$