ملخص الدرس / الثالثة ثانوي/رياضيات/الدوال العددية/الدالة الأسية نظريات و تعاريف

الملخص

من الأستاذ(ة) berrouane kamel

تعريف

توجد دالة وحیدة قابلة للاشتقاق على $\mathbb{R}$ و تحقق : $f'(x)=f(x)$ و $f(0)=1$

تسمى هذه الدالة بالدالة الأسية ذات الأساس $e$ و نرمز لها بالرمز $f:x\rightarrow e^x$

حيث $e$ عدد حقيقي ثابت قيمته التقريبية $e\approx 2,71$

للمزيد من التفاصيل اليك الفيديوهات التالية :

الفيديو الأول :

الفيديو الثاني :

الخواص الجبرية

من أجل كل عددين حقيقيين $y,x$ و من أجل عدد صحيح نسبي $n$ لدينا :

$\exp \left ( x \right )\neq 0$

$\exp \left ( -x \right )=\frac{1}{\exp \left ( x \right )}$

$\exp \left ( x-y \right )=\frac{\exp \left ( x \right )}{\exp \left ( y \right )}$

$\exp \left ( x+y \right )=\exp \left ( x \right )\times \exp \left ( y \right )$

$\exp \left ( nx\right )=\left [\exp \left ( x \right ) \right ]^{n}$

العدد $e$ و الترميز $e^{x}$ ، العدد $e$ هو صورة العدد $1$ بالدالة الأسية أي $\exp \left ( x \right )=e^{x}$

حيث حسابيا $e\approx 2.71$

إصطلاحا :

من أجل كل عدد حقيقي $x$ : $\exp =e^{x}$

نقرأ $e^{x}$ : "أسية $x$ "

للمزيد من التفاصيل اليك الفيديوهات التالية :

الفيديو الاول :

الفيديو الثاني :

الفيديو الثالث :

قواعد الحساب

قواعد الحساب :

من أجل كل عددين حقيقيين $y,x$ و من أجل كل عدد صحيح نسبي $n$ لدينا :

$e^{-x}=\frac{1}{e^{x}}$ $e^{0}=1$

$e^{x-y}=\frac{e^{x}}{e^{y}}$ $e^{x+y}=e^{x}e^{y}$

$e^{nx}=\left ( e^{x} \right )^{n}$

x:exp(kx)الدوال الأسية

حلول المعادلة : ${f}'=kf$

مبرهنة 1 :

ليكون $k$ عددا حقيقيا ، توجد دالة وحيدة $f$ قابلة للاشتقاق على $\mathbb{R}$ بحيث : ${f}'=kf$ و $f\left ( 0 \right )=1$

$f$ هي دالة $x \mapsto e^{kx}$ دوال تحول المجموع إلى جداء .

مبرهنة 2 :

الدوال غير المعدومة $f$ و القابلة للاشتقاق على $\mathbb{R}$ بحيث : من أجل كل عددين حقيقيين $y,x$

$f\left ( x+y \right )=f\left ( x \right )f\left ( y \right )$

هي دوال $x \mapsto e^{kx}$ حيث $k$ عدد حقيقي .

للمزيد من التفاصيل اليك الفيديوهات التالية :

الفيديو الأول :

الفيديو الثاني :

خواص و نتائج

من أجل كل عددين حقيقين $x$ و $y$ و $n$ عدد صحيح كيفي

* $e^{x+y}=e^x\times e^{y}$ * $e^{-x}=\frac{1}{e^x}$ * $e^{x-y}=\frac{e^x}{e^y}$

* $(e^x)^n=e^{nx}$ * $e^0=1$ * $(e^x)'=e^x$

* $e^x>0$ من أجل كل عدد حقيقي $x$ تعميم $e^{\Delta}$ معناه (سالب $e^\Delta\neq$ )

* $e^x=e^y$ معناه $x=y$ * $e^x<e^y$ معناه $x<y$ * $e^x>e^y$ معناه $x>y$

* $e^x=a$ يكافئ $x=\ln a$ حيث $a$ عدد حقيقي موجب تماما

النهايات الشهيرة

الحالة العامة	الحالة الخاصة
$e^{+\infty }=+\infty$	$\lim_{x\rightarrow +\infty}e^x=+\infty$
$e^{-\infty}=0$	$\lim_{x\rightarrow -\infty}e^x=0$
$\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{e^x}{x}=+\infty$	$\lim_{x\rightarrow -infty}\frac{e^x}{x}=+\infty$
$\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{x}{e^x}=0$	$\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{x}{e^x}=0$
$\lim_{x\rightarrow -\infty}x^n.e^x=0$	$\lim_{x\rightarrow -\infty}x.e^x=0^-$
$\lim_{u\rightarrow 0}\frac{e^u-1}{u}=1$	$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^x-1}{x}=1$ و أيضا $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^{ax}-1}{u}=1=a$

للمزيد من التفاصيل اليك الفيديوهات التالية :

الفيديو الأول :

قانون الإنشقاق

$f(x)=e^{g(x)}$

إذا كانت $g$ قابلة للإشتقاق على مجال $I$ فإن $f'(x)=(e^{g(x)})'=g'(x)/e^{g(x)}$

* ملاحظة : تبقى قواعد الإشتقاق المعروفة سابقا صحيحة حسب شكل الدالة المعطاة

دراسة إشارة بعض العبارات الأسية

* أولا : [ $\times e^{\Delta}$ ( دالة )] هما الإشارة من إشارة الدالة

* ثانيا : في كل ممايلي , ترمز $\beta ,\alpha ,c,b,a$ إلى أعداد حقيقية

* ثالثا : طريقة لدراسة إشارة عبارة من الشكل $a.e^{\alpha x+\beta}+b$ حيث $a.\alpha \neq 0$

- إذا كان $a$ و $b$ موجبان فإن $a.e^{\alpha x +\beta }+b$

- إذا كان $a$ و $b$ سالبان فإن $a.e^{\alpha x+\beta }+b<0$

- إذا كان $a$ و $b$ مختلفين في الإشارة أي $a.b<0$

فإن للمعادلة حل $x_0$ يمكن إيجاد بكل بساطة ( نتمرن على ذلك التمارين ) و الإشارة بالكيفية التالية :

	$x_0$
$a.\alpha ^{\alphax+\beta }+b$	$a.\alpha$ عكس إشارة $a.\alpha$ $0$ حسب إشارة

* رابعا : طريقة لدراسة إشارة من الشكل $ae^{2x}+be^x+c$ حيث $a.b.c\neq 0$

لدراسة إشارة العبارة $ae^{2x}+be^x+c$ على $\mathbb{R}$ نقوم بمايلي :

الخطوة الأولى : نضع $e^x=X$ , فتصبح العبارة من الشكل $a.X^2+b.X+c$

الخطوة الثانية : نعين قيم $X$ التي تعدمها , إن قبلت طبعا

الخطوة الثالثة : نستنتج قيم $x$ و في الأخير نشكل جدولا ندرس فيه إشارة العبارة مستخدمين الاقواعد الىمعروفة لإشارة كثيرات الحدود من الدرجة الثانية

* ملاحظة : للعبارة $ae^{2x}+b^x+c$ تحليل من الشكل $a(e^x-X_1)(e^x-X_2)$ حيث $X_2,X_1$ حلي المعادلة $a.X^2+b.X+c$

خواص جبرية

خواص :

من أجل كل عددين حقيقين $y,x$ و من أجل كل عدد صحيح نسبي $n$ لدينا :

$\exp (x+y)=\exp (x)\times \exp (y) ~~~(3) ~~~ \exp (-x)=\frac{1}{\exp x }~~(2)~~~~ \exp (x)\neq 0~~(1)$

$\exp(nx)=[\exp(x)]^n~~(5)~~~~~\exp(x-y)=\frac{\exp(x)}{\exp (y)}~~(4)$

وفيما يلي تطبيق لتفاصيل اكثر في هذه الفيديوهات:

الفيديو الاول:

الفيديو الثاني:

الفيديو الثالث:

الفيديو الرابع:

العدد e و الترميز e

* العدد $e$ هو صورة العدد $1$ بالدالة الأسية أي $e=\exp(1)$ تعطينا الحاسبة $e\approx 2,718281828$

* من أجل كل عدد ىصحيح نسبي $\exp (n)=\exp(n\times 1)=[\exp(1)]^n ~~,n$

لدينا إذن : من أجل كل عدد صحيح نسبي $\exp (n)=e^n$

اصطلاحا نرمز من أجل كل عدد حقيقي $x$ الى $\exp (x)$ بـ $e^x$

من أجل كل عدد حقيقي $x$ , $\exp (x)=e^x$

نقرأ $e^x$ : " أسية $x$ "

ملاحظة : الترميز السابق متلائم مع خواص القوى في الحالة التي يكون فيها الأس عددا صحيحا باستعمال الاصطلاح السابق تكتب خواص الدالة الأسية كمايلي :

قواعد الحساب :

من أجل كل عددين حقيقيين $y,x$ و من أجل كل عدد صحيح نسبي $n$ لدينا :

$e^0$ $\exp'(x)=e'$ $e^{-x}=\frac{1}{e^x}$

حلول المعادلة f'=kf

مبرهنة :

ليكن $k$ عددا حقيقيا .

توجد دالة وحيدة $f$ قابلة للاشتقاق على $\mathbb{R}$ بحيث $f'=kf$ و $f.f(0)=1$ هي الدالة $x \rightarrow e^{kx }$

البرهان :

الوجود : لتكن $f$ الدالة المعرفة على $\mathbb{R}$ بـــ $f(x)=e^{kx}$

الدالة $f$ قابلة للاشتقاق على $\mathbb{R}$ و لدينا من أجل كل $x$ من $\mathbb{R}$ , $f'(x)=ke^{kx}=ke^{kx}=kf$ كما أن $f(0)=e^0=1$

و بالتالي الدالة $f$ تحقق $f'=kf$ و $f(0)=1$ .

الوحدانية : نفرض وجود دالة ثانية $g$ قابلة للاشتقاق على $\mathbb{R}$ بحيث $g'=kg$ و $g'(0)=1$

نعتبر الدالة $h$ المعرفة على $\mathbb{R}$ بــ $h(x)=\frac{g(x)}{f(x)}$

الدالة $h$ قابلة للاشتقاق على $\mathbb{R}$ و لدينا من أجل كل $x$ من $\mathbb{R}$

$h'(x)=\frac{g'(x)f(x)-f'(x)g(x)}{[f(x)]^2}=\frac{kg(x)f(x)-kf(x)g(x)}{[f(x)]^2}=0$

إذن $h$ ثابتة على $\mathbb{R}$ مع $h(0)=\frac{g(0)}{e^0}=1$

و منه من أجل كل $x$ من $\mathbb{R}$ , $h(x)=1$ إذن من أجل كل $x$ من $\mathbb{R}$ , $g(x)=f(x)$

دوال تحول المجموع الى جداء

مبرهنة :

الدوال غير المعدومة $f$ و القابلة للاشتقاق على $\mathbb{R}$ بحيث :

من أجل كل عددين حقيقيين $x$ و $y$ , $f(x+y)=f(x)f(y)$

هي الدوال $x \mapsto e^{kx}$ حيث $k$ عدد حقيقي

البرهان :

- لتكن $f$ دالة غير معدومة و قابلة للاشتقاق على $\mathbb{R}$ بحيث : من أجل كل $x$ من $\mathbb{R}$ , $f(x+y)=f(x)f(y)$

بـأخذ $x=0$ و $y=0$ نحصل على $f(0)=[f(0)]^2$ أي $f(0)[1-f(0)]=0$ أي $f(0)=0$ أو $f(0)=1$

إذا كان $f(0)=0$ فإن من أجل كل $x$ من $\mathbb{R}$ , $f(x)=f(x+0)=f(x)f(0)=f(x)\times0=0$ مما يعني أن $f$

معدومة و هذا مرفوض و بالتالي $f(0)=1$ .

من أجل كل $y$ ثابت لدينا من أجل كل $x$ من $\mathbb{R}$ , $f(x+y)=f(x)f(y)$ باشتقاق الطرفين بالنسبة الى $x$

نحصل على : من أجل كل $x$ من $\mathbb{R}$ من أجل $x=0$ لدينا : $f'(y)=f'(0)f(y)$

بوضع $k=f'(0)$ يكون لدينا من أجل كل $y$ من $\mathbb{R}$ , $f'(y)=kf(y)$ إذن $f'=kf$ و $f(0)=1$

و منه حسب المبرهنة السابقة لدينا من أجل كل $x$ من $\mathbb{R}$ , $f(x)=e^{kx }$ .

عكسيا :

لتكن $f$ الدالة المعرفة على $\mathbb{R}$ بـــ $f(x)=e^{kx }$ باستعمال الخواص الجبرية للدالة الأسية نحصل على :

من أجل كل عددين حقيقيين $x$ و $y$ , $f(x+y)=e^{k(x+y)}=e^{kx+ky}=e^{kx}\times e^{ky}=f(x)f(y)$

درس شامل

فيما يلي درس شامل حول الدالة الاسية في هذا الفيديو:

تطبيقات

للمزيد من التفاصيل اليك الفيديوهات التاللية :

الفيديو الأول

مثال تطبيقي حول حل المساواة والمتراجحات لدالة اسية في هذا الفيديو: