ملخص الدرس / الثالثة ثانوي/رياضيات/الدوال العددية/الإشتقاقية 2

الملخص

تعريف

دالة عددية قابلة للإشتقاق على المجال المفتوح $\left ] a,b \right [$ و دالتها المشتقة الأولى ، إذا كانت قابلة للإشتقاق على المجال $\left ] a,b \right [$

فإن دالتها المشتقة تدعى الدالة المشتقة الثانية للدالة نرمز إليها بالرمز .

مثال :

$f\left ( x \right )=x^{4}$

قابلة للإشتقاق على $\mathbb{R}$ : ${f}'\left ( x \right )=4x^{3}$ و دالتها المشتقة الثانية ${f}''\left ( x \right )=12x^{2}$ .

للمزيد من التفاصيل اليك الفيديوهات التالية :

الفيديو الأول :

الفيديو الثاني :

الفيديو الثالث :

تطبيقات

للمزيد من التفاصيل اليك الفيديوهات التالية لتمارين و دروس شاملة :

الفيديو الأول :

الفيديو الثاني :

الفيديو الثالث :

الفيديو الرابع :

المشتقة و اتجاه تغير دالة

مبرهنة (دون برهان ) :

دالة قابلة للإشتقاق على المجال من $\mathbb{R}$ .

- إذا كان من أجل كل من ماعدا ممكن من أجل عدد محدود من القيم التي تنعدم االدالة من أجلها فإن الدالة متزايدة تماما على ,

- إذا كان من أجل كل من ماعدا ممكن من أجل عدد محدود من االقيم التي تنعدم الدالة من أجلها فإن الدالة متناقصة تماما على .

-إذا كان كم أجل كل من فإن الدالة ثابتة على .

ملاحظة :

لتكن الدالة المعرفة على $\mathbb{R}$ بــ الدالة قابلة للاشتقلق على $\mathbb{R}$ و لدينا و منه :

من أجل كل من $\mathbb{R}^*$ و إذن الدالة متزايدة تماما على $\mathbb{R}$ .

القيم الحدية المحلية

تعاريف :

دالة معرفة على مجال من $\mathbb{R}$ و عدد حقيقي من .

القول أن قيمة حدية محلية غظمى للدالة يعني أنه يوجد مجال مفتوح محتوى في و يشمل بحيث من أجل كل من $f(x)\leq f(x_0),J$ .

القول أن قيم حدية محلية صغرى للدالة يعني أنه يوجد مجال مفتوح محتوى في و يشمل بحيث من أجل كل من $f(x)\geq f(x_0),J$

القول أن قيمة حدية محلية لــــ يعني أن قيمة حدية محلية عظمى أو صغرى .

مثال :

لتكن الدالة المعرفة على بـــــ $f(x)=\frac{1}{5}(x^3+3x^2-9x)$

و ليكن في الشكل االمقابل تمثيلها البياني . $f(-3)=\frac{27}{5}$ قيمة حدية محلية عظمى للدالة و قيمة حدية محلية صغرى للدالة .

مبرهنة (دون برهان ) :

دالة معرفة و قابلة لل|إشتقاق على مجال مفتوح من $\mathbb{R}$ و عدد حقيقي من إذا انعدمت الدالة المشتقة عند مغيرة اشارتها فإن قيمة حدية محلية للدالة .


	$-$
	$\searrow$ $\nearrow$


	$-$
	$\nearrow$ $\searrow$

مشتقة الدالة u o v

مبرهنة (دون برهان )

إذا قبلت الدالة الاشتقاق على مجال من $\mathbb{R}$ و قبلت الدالة الاشتقاق على فإن الدالة $v\circ v$ تقبل الاشتقاق على و لدينا من أجل كل من :

$(v\circ u)'(x)=v'[u(x)]\times u'(x)$

مثال : لتكن الدالة المعرفة على $\mathbb{R}$ بـــ

نلاحظ ان $f=v\circ u$ حيث $u:x \mapsto x^2 +3$ و $v:x \mapsto 2x^2 +1$ و منه $f'(x)=v'(x^2+1)\times u'(x)$

بعد الحساب نجد $f'(x)=4(x^2+3)\times 2x=8x(x^2+3)$

مشتق الدالة $x \mapsto \sqrt{u(x)}$ :

إذا كانت الدالة قابلة للاشتقاق على مجال من $\mathbb{R}$ و كانت موجبة تماما على فإن الدالة $\sqrt u$ تقبل الاشتقاق على و لدينا : $(\sqrt u)'=\frac{u'}{2\sqrt u}$

البرهان :

نضع $f=\sqrt u$ و منه $f=v\circ u$ حيث $v:x \mapsto \sqrt x$

الدالة تقبل الاشتقاق على $]0;+\infty[$ و لدينا $v'(x)=\frac{1}{2\sqrt x}$ بما أن من أجل كل من , فإن تقبل الاشتقاق على و لدينا $f'=\frac{1}{2\sqrt u}\times u'=\frac{u'}{2\sqrt u}$

مشتقة الدالة $x \mapsto [u(x)]^n$ ( عدد طبيعي يحقق $n\geq 2$ )

إذا كانت الدالة قابلة للاشتقاق على مجال من $\mathbb{R}$ فإن الدالة تقبل الاشتقاق على و لدينا :

$(u^n)'=nu'n^{n-1}$

البرهان : نضع و منه $f=v\circ u$ حيث $v:x \mapsto x^n$

الدالة $(n\geq 2)~v$ تقبل الاشتقاق على $\mathbb{R}$ و لدينا $v'(x)=nx^{n-1}$ إذن الدالة تقبل الاشتقاق على و لدينا :

$f'=nu^{n-1}\times u'=nu'u^{n-1}$

مشتقة الدالة $x \mapsto \frac{1}{[u(x)^n]}$ ( عدد طبيعي يحقق $n\geq 1$ )

إذا كانت الدالة قابلة للاشتقاق على مجال من $\mathbb{R}$ و لاتنعدم على فإن الدالة $\frac{1}{u^n}$ تقبل الاشتقاق على و لدينا $\left ( \frac{1}{u^n} \right )'=-\frac{nu'}{u^{n+1}}$

التقريب التآلفي

خاصية :

دالة معرفة على مجال مفتوح .

إذا قبلت الاشتقاق عند من فإنه توجد دالة $\varepsilon$ بحيث من أجل كل عدد حقيقيي حيث ينتمي الى

لدينا $f(x+h)=f(x)+hf'(x)+h\varepsilon (h)$ مع $\lim_{h\rightarrow 0}\varepsilon (h)=0$

من أجل قريب من نكتب عند ئذ $f(x+h)\approx f(x)+hf'(x)$

يسمى التقريب التآلفي لـ من أجل قريب من المرفق بالدالة .

البرهان :

ليكن من من المعطياات لدينا قابلة للاشتقاق عند و منه $\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=f'(x)$

$\varepsilon (h)=\frac{f(x+h)-f(x)}{h}-f'(x)$ يكون لدينا $\lim_{h\rightarrow 0}=f'(x)-f'(x)=0$ إذن $\varepsilon (h)=\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

و منه $f(x+h)-f(x)=hf'(x)+h\varepsilon (h)$

الكتابة التفاضلية : بوضع $\Delta x=(x+h)-x$ و $\Delta y=f(x+h)-f(x)$ تكتب المساواة

$f(x+h)-f(x)=hf'(x)+h\varepsilon (h)$ كمايلي : $\Delta y=f'(x)\Delta x+ \Delta x \varepsilon (\Delta x)$

و منه التقريب $\Delta y\approx f'(x)\Delta x$ عندما يكون $\Delta x$ قريبا من

نصطلح الصياغة التفاضلية التالية : $f'(x)=\frac{dy}{dx}$ أو

يستعمل هذا الترميز في العلوم الفيزيائية و بصفة عامة نكتب : $\frac{df}{dx }$ من و $\frac{d^2f}{dx^2}$ بدلا من

و هكذا $\frac{d''f}{dx^n}$ بدلا من $f^{n}$ ,

طريقة أولر

تسمح طريقة أولر بإنشاء تمثيلات بيانية تقريبية لدالة بمعرفة و ترتكز هذه الطريقة على التقريب التآلفي للدالة بحيث من أجل قريب من لدينا : $f(x_0+h)\approx f(x_0)+hf'(x_0)$ .

انطلاقا من النقطة بحيث $f'(x_0)\neq 0$ ننشئ النقطة ذات الفاصلة و التي تنتمي الى المستقيم الذي معامل توجيهه و المار من و بالتالي :

بما أن $f(x_0+h)\approx f(x_0)+hf'(x_0)$ من أجل قريب من فإن النقطة قريبة من منحنى .

بنفس الطريقة يمكن إنشاء انطلاقا من النقطة و هذا يمكن على التوالي إنشاء النقط حيث $x_n=x_{n-1}+h$ و $y_n=f(x_{n-1})+hf'(x_{n-1})$ مع $n\geq 1$ بربط النقط

نحصل على تمثيل بياني تقريبي لـــ مرتبط باختيار الذي يسمى الخطوة و نحصل على أكثر دقة كلما كان أقرا الى .

دراسة دالة مثلثية

1- تذكير حول الدالتين "جيب " و "جيب تمام " :

- الدالتان $x \mapsto \cos x$ و $x \mapsto \sin x$ معرفتان على $\mathbb{R}$ .

من أجل كل من $\mathbb{R}$ ينتمي الى $x+2\pi$ ينتمي $\mathbb{R}$ و لدينا $\cos (x+\pi)=\cos x$ و $\sin(x+2\pi)=\sin x$

نقول أن الدالتين $x\mapsto \cos x$ و $x \mapsto \sin x$ دوريتان دورهما $2\pi$

- من أجل كل من $\mathbb{R}$ ; $\cos (-x)=\cos x$ و $\sin (-x)=-\sin x$

2- الدالة "ظل " :

تعريف :

الدالة "ظل " و التي نرمز اليها بالرمز معرفة بــ $\tan x=\frac{\sin x }{\cos x}$ من أجل كل عدد حقيقي يختلف عن $\frac{\pi}{2}+k\pi$ حيث عدد صحيح $(k\in \mathbb{Z})$ .

خواص :

*من أجل كل يختلف عن $\frac{\pi}{2}+k\pi$ ; $\tan(x+\pi)=\tan x$ إذن المنحني الممثل للدالة "ظل "دورية دورها $\pi$ .

* من أجل كل يختلف عن $-\tan (-x)=-\tan x,\frac{\pi}{2}+k\pi$ إذن المنحني الممثل للدالة "ظل" متناظر يالنسبة الى مبدأ المعلم

دراسة الدالة ظل :

*من الخاصيتن السابقتين يمكن اقتصار دراسة الدالة "ظل " على المجال $\left [ 0;\frac{\pi}{2} \right [$ .

* من أجل كل يختلف عن $(\tan)'(x)=\frac{\cos^2 x+\sin^2 x}{\cos^2 x}=\frac{1}{\cos^2 x}=+\tan^2 x;\frac{\pi}{2}+k\pi$

بما أن فإن الدالة "ظل " متزايدة تماما على كل مجال معرفة فيه .

* لدينا $\lim_{x\rightarrow \frac{\pi}{2}}\sin x=1$ و $\lim_{x\rightarrow \frac{\pi}{2}}\cos x=0$ و بما أن من أجل كل من $\cos x>0 ; \left [ 0;\frac{\pi}{2} \right [$ فإن : $\lim_{x\overset{<}{\rightarrow}\frac{\pi}{2}}\tan x=+\infty$

نستنتج أن المستقيم ذو المعادلة $x=\frac{\pi}{2}$ مستقيم مقارب للمنحنى الممثل للدالة "ظل " :

	$\frac{\pi}{2}$
$(\tan )'(x)$
$\tan x$	$\nearrow$ $+\infty$