ملخص الدرس / الثالثة ثانوي/رياضيات/الدوال العددية/الإستمرارية

الملخص

الاستمرارية في نقطة

التفسير الهندسي	النهاية
$x_0$ الدالة $f$ مستمرة في النقطة	$\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=f(x_0)$
$x_0$ الدالة $f$ مستمرة على يسار النقطة	$\lim_{x\overset{<}{\rightarrow} x_0}f(x)=f(x_0)$
$x_0$ الدالة $f$ مستمرة على يمين النقطة	$\lim_{x\overset{>}{\rightarrow} x_0}f(x)=f(x_0)$

ملاحظة :

إذا كانت $f$ مستمرة على يمين $x_0$ و مستمرة على يسار $x_0$ فهي إذن مستمرة في النقطة $x_0$

الاستمرارية على مجال

- تكون $f$ مستمرة على مجال مفتوح $]a;b[$ إذا كانت $f$ مستمرة في كل نقطة من المجال $]a;b[$

- تكون $f$ مستمرة على مجال مغلق $[a;b]$ إذا كانت $f$ مستمرة على المجال المفتوح $]a;b[$ و مستمرة على يمين a و مستمرة على يسار b

العلميات على الدوال المستمرة

لتكن $f$ و $g$ دالتين مستمرتين على مجال $I$ و $k$ عدد حقيقي

- الدوال $kf;f\times g;\times f+g$ مستمرة على المجال $I$

- إذا كانت $g$ لا تنعدم على $I$ فإن الدالتين $\frac{k}{g}$ و $\frac{f}{g}$ مستمرتين على المجال $I$

- نتائج :

- كل دالة كثير حدود مستمرة على $\mathbb{R}$

- كل دالة ناطقة مستمرة على مجال تعريفها

- الدالة $x \mapsto \sqrt x$ مستمرة على $\mathbb{R}^+$

- الدالتان $x \mapsto \sin x$ و $x \mapsto \cos x$ مستمرتان على $\mathbb{R}$

- الدالة $x \mapsto \tan x$ مستمرة على مجال تعريفها $\mathbb{R}-\left \{ \frac{\pi}{2}+k\pi /k\in \mathbb{Z}\right \}$

استمرارية مركب دالتين

إذا كانت $f$ مستمرة على المجال $I$ و $g$ مستمرة على مجال $J$ ,بحيث : $f(I)\subset J$ فإن $g\circ f$ مستمرة على المجال $I$

صورة قطعة و مجال بداية مستمرة

- صورة قطعة بدالة مستمرة هي قطعة

- صورةمجال بدالة مستمرة هي مجال

حالات خاصة :

لتكن $f$ دالة مستمرة و رتيبة تماما على مجال $I$

الجدول التالي يوضح طبيعة المجال $f(I)$

المجال $f(I)$		$I$ المجال
$I$ متناقصة تماما على $f$	$I$ متزايدة تماما على $f$	$I$ المجال
$[f(a);f(b)]$	$[f(a);f(b)]$	$[a,b]$
$\left ] \lim_{x\rightarrow b^-}f(x),f(a) \right ]$	$\left [ f(a),\lim_{x\rightarrow b}f(x) \right [$	$[a,b[$
$\left [ f(b);\lim_{x\rightarrow a^+}f(x) \right [$	$\left ] \lim_{x\rightarrow a^+}f(x) ,f(b)\right ]$	$]a;b]$
$\left ]\lim_{x\rightarrow b^+}f(x),\lim_{x\rightarrow a^-}f(x) \right [$	$\left ]\lim_{x\rightarrow a^+}f(x),\lim_{x\rightarrow b^-}f(x) \right [$	$]a,b[$
$\left ]\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x) ;f(a) \right ]$	$\left [f(a),\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x) \right [$	$[a;+\infty[$
$\left ] \lim_{x\rightarrow +\infty}f(x);\lim_{x\rightarrow a^+ }f(x) \right [$	$\left ] \lim_{x\rightarrow a^+}f(x);\lim_{x\rightarrow +\infty }f(x) \right [$	$]a;+\infty[$
$\left ] \lim_{x\rightarrow a^-}f(x);\lim_{x\rightarrow -\infty }f(x) \right [$	$\left ] \lim_{x\rightarrow -\infty}f(x);\lim_{x\rightarrow a^- }f(x) \right [$	$]-\infty,a]$
$\left ] \lim_{x\rightarrow +\infty}f(x);\lim_{x\rightarrow -\infty }f(x) \right [$	$\left ] \lim_{x\rightarrow -\infty}f(x);\lim_{x\rightarrow +\infty }f(x) \right [$	$]-\infty,+\infty[$

مبرهنة القيم المتوسطة

إذا كانت $f$ مستمرة على مجال $[a,b]$ فإنه لكل عدد حقيقي k محصور بين العددين $f(a)$ و $f(b)$ يوجد على الاقل عدد حقيقي $\alpha$ من المجال $[a,b]$ بحيث : $f(\alpha )=k$

- التفسير البياني (الوثيقة 1)

نتيجة :

إذا كانت $f$ مستمرة على مجال $[a,b]$ و كان $f(a)\times f(b)<0$ فإن المعادلة $f(x)=0$ تقبل على الاقل حلا $\alpha$ ينتمي الى المجال $[a,b]$

إذا كانت $f$ مستمرة و رتيبة تماما على مجال $[a,b]$ و كان $f(a)\times f(b)<0$ فإن المعادلة $f(x)=0$ تقبل حلا وحيدا $\alpha$ ينتمي الى المجال $[a,b]$

- طريقة التفرع الثنائي :

لتكن $f$ دالة مستمرة و رتيبة تماما على مجال $[a,b]$ بحيث : $f(a)\times f(b)<0$

و لتكن $\alpha$ الحل الوحيد للمعادلة $f(x)=0$ في المجال $[a,b]$

$a<\alpha <\frac{a+b}{2}$	فإن	$f(a)\times f\left ( \frac{a+b}{2} \right )<0$	إذا كان
$\frac{a+b}{2}<\alpha <b$	فإن	$f(b)\times f\left ( \frac{a+b}{2} \right )<0$	إذا كان

ملاحظة :

مبرهنة القيم المتوسطة تؤكد فقط وجود حل على الاقل للمعادلة $f(x)=k$ اما تعيين الحلول أو قيم مقربة لها فيتم باتباع خوارزميات مختلفة

نهايات تتعلق بالإستمرارية

الملاحظات	التفسير الهندسي	النهاية
نفترض ان $f$ ليست مستمرة عند $a$ من اليسار بل مستمرة عند $a$ من اليمين فقط	النقطة التى احداثياتها $(a,f(a))$ هي نقطة توقف للمنحنى $(Cf)$	$\lim_{x\rightarrow a}f(x)=f(a)$
نفترض ان $f$ ليست مستمرة عند $a$ من اليمين بل مستمرة عند $a$ من اليسار فقط	النقطة التى احداثياتها $(a,f(a))$ هي نقطة توقف للمنحنى $(Cf)$	$\lim_{x\rightarrow a}f(x)=f(a)$