ملخص الدرس / الثالثة ثانوي/رياضيات/الدوال العددية/المستقيمات المقاربة الموازية لأحد محوري الاحداثيات

الملخص

المستقيم المقارب العمودي

في كل ما يلي:يرمز $df$ الى مجموعة تعريف دالة $f$ , اما $cf$ فيرمز الى منحناها في معلم متعامد و متجانس ⟨o,i,j⟩

ملاحظة : اذا كتبنا ∞ فنقصد $\small +\infty$ او $\small -\infty$

اذا كان $\lim_{x\rightarrow a}f\left ( x )= \infty$ فان تفسيرها البياني او الهندسي هو:المنحنى $cf$ بقبل مستقيم مقاربا افقيا معادلته $x = a$ .

المستقيم المقارب الافقي

اذا كان $lim\lim_{x\rightarrow \infty }f\left ( x ) = a$ فان تفسيرها البياني او الهندسي هو : $cf$ يقبل مستقيم مقاربا افقيا معادلته ,y=a و ذلك بجوار ∞.

المستقيم المقارب المائل

لاثبات ان المستقيم $y= ax +b$ : (Δ) مقارب مائل ل $cf$ بجوار ∞ , يكفي ان نثبت ان : $lim\lim_{x\rightarrow \infty }(f(x)-(ax+b))= 0$ .

اذا لم تعطي لنا معادلة المستقيم المقارب المائل ,و طلب منا تعيينه , ننظر الى عبارة $f(x)$ ,فان كانت من الشكل التالي : $f(x)=a x +b +h(x)$ ,مع $\lim_{x\rightarrow \infty } h(x) =0$

فالمستقيم ذو المعادلة $y= a x+b$ مستقيم مقارب ل $cf$ عند ∞ .

اذا لم تتوفر الملاحظة السابقة , نعين المستقيم المقارب المائل باطريقة التالية :نحسب $\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{f(x)}{x}$ , فنجد عددا حقيقيا a غير معدوم , ثم نحسب $\lim_{x\rightarrow \infty }\left [ f(x) -ax]$ فنجد عددا حقيقيا b و تكون معادلة المستقيم المقارب المائل هي: $y= a x+b$

وفيما يلي تفاصيل اكثر في هذه الفيديوهات:

الفيديو الاول:

الفيديو الثاني:

الفيديو الثالث:

المنحني المقارب

اذا كان $\lim_{x\rightarrow \infty }(f(x)-g(x))=0$ فان تفسيرها الهندسي هو:المنحنيان $cf$ و $cg$ مقاربان بجوار $\small \infty$

نقطة النهاية

اذا كان $\lim_{x\rightarrow a}f(x)=b$ فان تفسيرها البياني (او الهندسي ) هو: النقطة التي احداثياتها (a,b) هي نقطة نهاية للمنحنى $cf$ .

الدالة الزوجية

$f$ دالة حيث $df$ متناظرة بالنسبة الى الصفر .لاثبات ان $f$ زوجية , نبرهن من اجل كل $x$ من $Df$ , ان : $f\left (- x ) =f\left ( x)$

ملاحظة هامة : اذا كانت $f$ زوجية , فيمكن انشاء القسم من $Cf$ على الجزء الموجب ( او السالب ) من $Df$ , ثم نكمل $Cf$ باتناظر بانسبة الى محور التراتيب

الدالة الفردية

$f$ دالة حيث $Df$ متناظرة بالنسبة الى الصفر . لاثبات ان $f$ فردية,نبرهن من اجل كل $x$ من $Df$ , ان : $f\left ( -x) =-f\left ( x)$ او $f\left ( -x)+f\left ( x ) =0$

ملاحظة هامة : اذا كانت $f$ فردية , يمكن انشاء القسم من $Cf$ على الجزء الموجب (او السالب) من $Df$ ,ثم نكمل $Cf$ بالتناظر بالنسبة الى مبدا المعلم .

الدالة الدورية

$f$ دالة و $p$ عدد حقيقي غير معدوم , بحيث من اجل كل $x$ من $Df$ , $x+p$ ينتميالى $Df$ . لاثبات ان $p$ دور للدالة $f$ نبرهن من اجل كل $x$ من $Df$ , ان : $f(x+p) = f(x)$ .

ملاحظة 1: الدور $p$ للدالة $f$ هو اصغر عدد حقيقي موجب تماما يحقق العلاقة السابقة .

ملاحظة 2: اذا كانت $f$ دورية , فيمكن الاكتفاء بانشاء جزء من $Cf$ على مجال طوله الدور $p$ .

مركز تناظر

$\alpha$ عدد حقيقي و $f$ دالة , حيث $Df$ lمتناظرة بالنسبة الى $\alpha$ .

لاثبات ان النقطة $\omega \left ( \alpha ,\beta )$ مركز تناظر للمنحنى $Cf$ , يكفي ان نثبت , من اجل كل $x$ من $Df$ , ان :

$f(2\alpha -x) +f\left ( x)= 2\beta$ او $f\left ( \alpha -x)+f\left ( \alpha +x)= 2\beta$ .

نقطة انعطاف

بصفة عامة , اتعيين نقطة الانعطاف , نقوم بما يلي :نحسب المشتق الثاني $f'' \left ( x)$ , و ندرس اشارته , فاذا وجدنا $f'' (x)$ انعدم عنذ قيمة $x_{0}$ من $Df$ ,متغيرا اشارته ,فتكون النقطة ذات الفاصلة $x_{0}$ نقطة انعطاف ل $Cf$

حالة خاصة : في بعض الحالات , يمكن تعيين نقطة انعطاف دن اللجوء الى المشتق الثاني $f^{''}\left ( x )$ , و ذالك اذا انعدم المشتق الاول $f' (x)$ عند قيمة $x_{}0$ نقطة انعطاف ل $Cf$ .

حالة اخرى : اذا كانت $\lim_{x\rightarrow 0}(\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}) =\infty$ او $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}} = -\infty$ , فالتفسير الهندسي هنا هو ان النقطة ذات الفاصلة $x_{}0$ هي نقطة انعطاف ل $Cf$ .

فائدة: يكون المماس موازيا لمحور التراتيب

ملاحظة: في بعض الحالات ,يفرض علينا سياق التمرين ان نعين نقطة انعطاف بالكيفية التالية :

يطلب منا ان ندرس وضعية المنحني $Cf$ بانسبة الى المماس عند النقطة ذات الفاصلة $x_{0}$ , فاذا وجدنا ان $Cf$ غير وضعيته بالنسبة اى المماس ( قبل و بعد نقطة التماس ) نستنتج ان النقطة ذات الفاصلة $x_{0}$

نقطة انعطاف ل $Cf$

وفيما يلي تفاصيل اكثر في هذا الفيديو:

المماس

هناك ست صيغ -تقريبا - اطرح سؤال المماس , لكن تبقى معرفة فاصلة نقطة التماس $x_{0}$ هي المفتاح للاجابة على اى منها كما سنري .

الصيغة الاولى العادية : اكتب معادلة المماس للمنحنى $Cf$ عند النقطة ذات الفاصلة $x_{0}$ .

الاجابة: نكتب الدستور : $y= f'(x_{0}).(x-x_{0}) +f(x_{0})$

حيث نعوض $x_{0}$ بقيمتها المعطاة .

الصيغة الثانية : اكتب معادلة المماس $Cf$ عند النقطة ذات الترتيب $y_{}0$ .

الاجابة : نحل المعادلة $f(x) =y_{0}$ ,وعند تعيين الحل $x_{}0$ نكون قد عدنا الى الحالة الاولى .

الصيغة الثالثة : بين انه يوجد مماس -او اكثر - للمنحنى $Cf$ ميله ( او معامل التوجيه ) يساوي $a$ .

الاجابة: نحل المعادلة $f'(x)=a$ , وعند تعيين الحل $x_{}0$ ( او الحلول ) نكون قد عدنا كذالك الى الحالة الاولى .

الصيغة الرابعة : بين انه يوجد مماس -او اكثر - للمنحنى $Cf$ , يوازى المستقيم ذا المعادلة $y = a x +b$ .

الاجابة : نحل المعادلة $f'(x) =a$ (عدنا الى الحالة الثالثة) .

الصيغة الخامسة : بين انه يوجد مماس - او اكثر - للمنحنى $Cf$ يعامد المستقيم ذا المعادلة $y= a x +b$ .

الاجابة : نحل المعادلة $f'(x) = - \frac{1}{a}$

الصيغة السادسة : بين انه يوجد مماس -او اكثر - للمنحنى $Cf$ ذات الاحداثيتين $(\alpha ,\beta )$ .

الاجابة : نحل المعادلة $\beta =f'(x_{0}).(\alpha -x_{0})+f(x_{0})$ .

عند تعيين الحل $x_{0}$ ( او الحلول ) نكون قد عدنا الى الحالة الاولى .

وفيما يلي تفاصيل اكثر في هذا الفيديو:

النقطة الزاوية

اذا كان :

$\lim_{x\rightarrow x_{0}} \frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}= l_{1}$ و $\lim_{x\rightarrow x_{0}} \frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}} = l_{2}$

حيث $l_{}1$ و $l_{_{2}}$ عدان حقيقيان ( $l_{1}\neq l_{2}$ ) , فالتفسير الهندسي هو ان النقطة ذات الفاصلة $x_{0}$ : نقطة زاوية للمنحنلى $Cf$ .

ملاحظة 1 : قد نكتب النهيتان السابقتان على الشكل التالي :

$\lim_{h\rightarrow 0} \frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}= l_{1}$ و $\lim_{h\rightarrow 0} \frac{f(x_{0} +h) -f(x_{0})}{h} = l_{2}$

ملاحظة 2: معادلتا نصفى المماسين عند النقطة الزاوية هما:

$y= f'_{d} (x_{0}) (x-x_{0}) +f(x_{0})$ حيث $x\geq x_{0}$

و $y=f'_{g}(x_{0}) (x-x_{0}) +f(x_{0})$ مع $x\leq x_{0}$

علما ان : $f'_{g}(x_{0}) =l_{1}$ و $f'_{d} (x_{0}) = l_{2}$

تنبيه : تبقى النقطة الزاوية موجودة حتى لو كانت احدي النهايتين السابقتين عددا حقيقيا $l$ و الاخرى $+\infty$ او $-\infty$

استنتاج تمثيل بياني من اخر

بعد انشاء $Cf$ قد يطلب منا ان نستنتج منحنى اخر $Ch$ -مثلا - للدالة $h$ , ويكون الاستنتاج حسب صيغة السؤال كما سياتى :

الصيغة الاولى : استنتج $h$ حيث : $h(x)= \left | f(x) \right |$ .

الاجابة :

على المجالات التى تكون فيها $f(x)\geq 0$ ( اي يكون فيها $Cf$ على محور الفواصل او فوقه ).

نحصل على $h(x)=f(x)$ , و منه $Ch$ نظير $Cf$

على المجالات التي تكون فيها $f(x)< 0$ ( اي يكون فيها $Cf$ تحت محور الفواصل )

نحصل على $h(x)=-f(x)$ , و منه يكون $Ch$ نظير $Cf$ بالنسبة الى محور الفواصل .

الصيغة الثانية : استنتج $Ch$ منحنى $h$ حيث : $h(x)= f(\left | x \right |)$

ملاحظة : غالبا ما يطلب منا اولا ان نثبت ان $h$ زوجية .

الاجابة

اذا كان $x\geq 0$ و $x\in Df$ ( الجزء الموجب من $Df$ ) نحصل على $h(x)= f(x)$ و منه $Ch$ ينطبق على $Cf$ .

نكمل الجزء المتبقى من $Ch$ بالتناظر بالنسبة الى محور التراتيب لان $h$ زوجية.

الصيغة الثالثة : استنتج $Ch$ منحنى $h$ حيث : $h(x)= f(-\left \left | x \right |)$ .

ملاحظة : غالبا ما يطلب منا اولا ان نثبت ان $h$ زوجية .

الاجابة :

اذا كان $x\leq 0$ و $x\epsilon Df$ ( الجزء السالب من $Df$ ) نحصل على $h(x)= f(x)$ ; و منه $Ch$ ينطبق على $Cf$ .

نكمل الجزء المتبقى من $Ch$ بالتناظر بالنسبة الى محور التراتيب لان $h$ زوجية .

الصيغة الرابعة :استنتج $Ch$ منحنى $\boldsymbol{h}$ حيث : $h(x)= -f(x)$

الاجابة :

$Ch$ هو نظير $Cf$ بالنسبة الى محور الفواصل .

الصيغة الخامسة :استنتج $Ch$ منحنى الدالة $h$ حيث : $h(x)= f(-x)$

الاجابة : $Ch$ هو نظير $Cf$ بالنسبة الى محور التراتيب .

الصيغة السادسة : استنتج $Ch$ منحنى الدالة $h$ التى تحقق $h(x)= -f(-x)$

الاجابة : $Ch$ هو نظير $Cf$ بانسبة الى مبدا المعلم .

الصيغة السابعة :استنتج $Ch$ منحنى الدالة $h$ التى تحقق :

$h(x)= f(x+a)+b$ حيث $a$ و $b$ عددان حقيقيان

الاجابة : نستنتج ان $Ch$ من $Cf$ بالانسحاب ذى الشعاع $\vec{v\binom{-a}{+b}}$

الصيغة الثامنة :استنتج $Ch$ حيث : $h(x)= f(2\alpha -x)$

الاجابة : $Ch$ هو نظير $Cf$ بالنسبة الى المستقيم ذي المعادلة $x=a$

الصيغة التاسعة : استنتج $Ch$ حيث: $h(x)+f(2\alpha -x)= 2\beta$

الاجابة : $Ch$ هو نظير $Cf$ بالنسبة الى النقطة $\omega (\alpha ,\beta )$

فيما يلي تفاصيل اكثر في هذا الفيديو:

مع حامل محور الفواصل Cf تعيين نقطة تقاطع

لتعيين احداثيات نقطة تقاطع $Cf$ مع حامل محور الفواصل ,نعدم $y$ , فنحل المعادلة $f(x)=0$ , حيث $x\epsilon Df$

مع حامل محور التراتيب Cf تعيين نقطة تقاطع

$f$ دالة حيث $x\epsilon Df$ , لتعيين احداثيتي نقطة تقاطع $Cf$ مع حامل محور التراتيب, نعدم $x$ , ومن ثم نحسب $y = f(0)$ .

دراسة الوضعية النسبية لمنحنى و مستقيم

لدراسة وضعية المنحنى $Cf$ بالنسبة للمستقيم $D$ ذي لبمعادلة $y= a x +b$ , نحسب العبارة $f(x)-y$ اي $f(x)-(a x +b)$ و ندرس اشارتها , ونشكل جدول الوضعية

بحيث اذا كان $f(x)-y> 0$ فان $Cf$ فوق $(D)$

اذا كان $f(x)-y < 0$ فان $Cf$ تحت $(D)$

اذا كان $f(x)-y =0$ فان $Cf$ يقطع $(D)$

وفيما يلي تفاصيل اكثر في هذا الفيديو:

دراسة الوضعية النسبية لمنحنيين

لدراسة وضعية المنحنى $Cf$ بالنسبة الى المنحنى $Cg$ , نحسب العبارة $f(x)- g(x)$ , و ندرس اشارتها ,ثم نشكل جدول الوضعية :

بحيث اذا كان $f(x) -g(x)> 0$ فان $Cf$ فوق $Cg$

اذا كان $f(x)-g(x)< 0$ فان $Cf$ تحت $Cg$

اذا كان $f(x)-g(x) =0$ فان $Cf$ يقطع $Cg$

نقطة التوقف

اذا كانت $^{f}$ مستمرة عند $a$ من اليمين فقط ,او من اليسار فقط

فالتفسير الهندسي هو: ان النقطة ذات الفاصلة $a$ , نقطة توقف ل $Cf$

مثال : في الرسم المقابل النقطة $A$ نقطة توقف ل $Cf$

نقطة الرجوع

$f$ دالة مجموعة تعريفها $Df$ , و $x_{}0$ عدد حقيقي غير معزول من $Df$ و منحناها في معلم $\left ( o,\bar{i},\bar{j})$ اذا كانت :

$\lim_{x\overset{< }{\rightarrow}x_{0}}\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}=+\infty$ و $\lim_{x\overset{> }{\rightarrow}x_{0}}\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}=-\infty$

او العكس بحيت تكون النهاية الاولى $-\infty$ و الثانبة $+\infty$ فان $f$ تقبل الاشتقاق عند $x_{0}$ .

و التفسيلر الهندسي هو ان النقطة ذات الفاصلة $x_{0}$ نقطة رجوع للمنحنى $(Cf)$ .

مثال في الرسم المقابل النقطتان A و B نقطتا رجوع ل $(Cf)$

المناقشة البيانية

هناك ثلاثة انواع اساسية للمناقشة البيانية حسب قيم الوسيط الحقيقي m , و نذكر ها فيما يلي :

*المناقشة البيانية بمستقيم افقي :

و تكون المعادلة في هذه الحالة من الشكل : $f(x)=g(m)$

مثل : $f(x)=m$ او $f(x)=-2m$ او $f(x)= m^{2}$ او $f(x)=\left | m \right |$ او $f(x)=f(m)$ ... الى اخره

لاحظ هنا : لا يوجد للمتغير $x$ في الطرف الايمن من المعادلة

*المناقشة البيانية بميثقيم مائل :

و تكون المعادلة في هذه الحالة كالاتى : $f(x)=a x+m$

حيث عدد $a$ حقيقي ثابت غير معدوم

مثل $f(x)=x+m$ او $f(x)=-2x+m$ ..... الى اخره

*المناقشة البيانية بمستقيم يدور حول نقطة :

و تكون المعادلة في هذه الحالة من الشكل $f(x)=mx+ \alpha m+\beta$

متل $f(x)=mx+ 1$ او $f(x)= mx +2m -3$ ...الى اخره

ملاحظات :

*اقتصرنا هنا على ذكر الشكال الشهيرة

* تفاصيل كل مناقشة تعالج في التطبيقات

وفيما يلي تفاصيل اكثر في هذه الفيديوهات:

الفيديو الاول:

الفيديو الثاني:

الفيديو الثالث:

الفيديو الرابع:

الفيديو الخامس:

التنبيه في بعض الاخطاء الشائعة

اخطاء مرتكبة في مفهوم نقطة الانعطاف

يعرف البعض نقطة الانعطاف بانها النقطة التى ينعدم فيها المشتق الثانى في فاصلتها متغيرا اشارته , و هذا تعريف غير صحيح , لان انعدام المشتق الثاني مع تغير اشارته هو شرط كافى لوجود نقطة انعطاف, و ليس شرطا لازما , فقد يوجد احيانا نقطة الانعطاف, مع ان الدالة غير قابلة للاشتقاق عند فاصلة هذه النقطة ( انظر -مثلا -" حالة اخري " من الفقرة 11 في الصفحة الاولى ) اما التعريف الصحيح لنقطة الانعطاف هو: نقطة االانعطاف هى النقطة التي يخترق فيها المماس المنحنى .

اخطاء مرتكبة في مفهومي نقطتي التوقف و النهاية :

يخلط البعض بين مفهومي نقطتي التوفق و النهاية, و في الحقيقة هناك فرق شاسع بينهما , و اهم ما يميزهما عن بعضهما البعض, نقطة التوقف تنتمى الى المنحنى و يتوقف عندها ,اما نقطة النهايىة فلا تنتمي الى المنحنى بل يقترب منها .

ملاحظة: اذا اردت ان تعرف متى توجد كل نقطة منهما فانظر فقرة 5- صفحة الاولى و الفقرة 19 -الصفحة الثالثة

اخطاء مرتكبة في مفهوم القيمة الحدية :

يعرف البعض القيمة الحدية على انها صورة القيمة التى ينعدم فيها المشتق و يتغير اشارته ,و هذا تعريف غير صحيح لان انعدام المشتق مع تغيير اشارته هو شرط غير كافي لوجود قيمة حدية , و ليس شرطا لازما, بمعنى قد تقبل $f$ قيمة حدية عند $x_{0}$ دون ان تكون $f$ قابلة للاشتقاق عند القيمة $x_{0}$ كحالة نقطة الرجوع - مثلا .

جدول يلخص التفسيرات الهندسية للنهايات

نهايات تتعلق بلفروع اللانهائية و نقطة النهاية :

النهاية	التفسير الهندسي	الملاحظات
$\lim_{x\rightarrow a}f(x)=0$	المستقيم ذي المعادلة $x=a$ lمقارب عمودي للمنحنى $(Cf)$ عند $a$
$\lim_{x\rightarrow \infty }f(x)=a$	المستقيم ذو المعادلة $y=a$ مقارب افقى للمنحنى $(Cf)$ عند $\infty$	$a\neq 0$
$\lim_{x\rightarrow \infty }(f(x)-(ax+b))=0$	المستقيك ذو المعادلة $y=ax+b$ مقارب مائل ل $(Cf)$ عند ∝	$a\neq 0$
$\lim_{x\rightarrow \infty }(f(x)-ax)=b$	المستقيم ذو المعادلة مقارب مائل $y=ax+b$ مقارب مائل ل $(Cf)$ عند ∝	$a\neq 0$
$f(x)=ax+b+h(x)$ و $\lim_{x\rightarrow \infty }h(x)=0$	المستقيم ذو المعادلة $y=ax+b$ مقارب مائل ل $(Cf)$ عند ∝	$a\neq 0$
$\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{f(x)}{x}=a$ و $\lim_{x\rightarrow \infty }(f(x)-ax)=b$	المستقيم ذو المعادلة $y=ax+b$ مقارب مائل ل $(Cf)$ عند ∝	$a\neq 0$
$\lim_{x\rightarrow \infty }(f(x)-g(x))=0$	المنحنيان $(Cf)$ و $(Cg)$ متقاربان عند ∝	يمكن ان نقول ايضا :المنحنى $(Cg)$ مقارب للمنحنى $(Cf)$ عند∝
$\lim_{x\rightarrow a}f(x)=b$	النقطة التى احداثياتها $(a,b)$ هي نقطة نهاية للمنحنى $(Cf)$	انتبه الى ان النقطة النهابة لا تنتمى الى المنحنى $(Cf)$ بل يقترب منها فقط

تابع لجدول التفسيرات الهندسية للنهايات

الملاحظات	التفسير الهندسي	النهاية
النهاية تعنى ان الدالة $f$ تقبل الاشتقاق عند القيمة $x_{0}$ من اليمين	المنحنى $(Cf)$ يقبل -عند النقطة ذات الفاصلة $x_{0}$ - نصف مماس ( من اليمين) معامل توجيهه $l$	$\lim_{h\overset{> }{\rightarrow}0}\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}=l$ ;او $\lim_{x\overset{> }{\rightarrow}x_{0}}\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}=l$ $l\epsilon R$
النهاية تعنى ان الدالة $f$ تقبل الاشتقاق عند القيمة $x_{0}$ من اليسار	المنحنى $(Cf)$ يقبل عند النقطة ذات الفاصلة $x_{0}$ نصف مماس ( من اليسار )معامل توجيههه $l$	$\lim_{x\overset{< }{\rightarrow}x_{0}}\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}=l$ او $\lim_{x\overset{< }{\rightarrow}x_{0}}\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}=l$ $l\epsilon R$
النهاية تعنى ان الدالة $f$ لا تقبل الاشتقاق عند القيمة $x_{0}$ من اليمين	المنحنى $(Cf)$ يقبل عند النقطة ذات الفاصلة $x_{0}$ نصف مماس يوازي محور التراتيب	او $\lim_{x\overset{> }{\rightarrow}x_{0}}\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}=-\infty$ $\lim_{x\overset{> }{\rightarrow}x_{0}}\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}=+\infty$
النهاية تعني ان الدالة $f$ لا تقبل الاشتقاق عند القيمة $x_{0}$ من اليسار	لمنحنى $(Cf)$ يقبل عند النقطة ذات الفاصلة $x_{0}$ نصف مماس يوازي محولر التراتيب	$\lim_{x\overset{< }{\rightarrow}x_{0}}\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}=-\infty$ او $\lim_{x\overset{< }{\rightarrow}x_{0}}\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}=+\infty$
النهايتان تعنيان ان الدالة $f$ تقبل الاشتقاق عند القيمة $x_{0}$	المنحنى $(Cf)$ يقبل عند النقطة ذات الفاصلة $x_{0}$ مماسا معامل توجيهه $l$	$\lim_{x\overset{< }{\rightarrow}x_{0}}\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}=l$ و $\lim_{x\overset{> }{\rightarrow}x_{0}}\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}=l$ $l\epsilon R$
النهايتان تعنيان ان الدالة $f$ لا تقبل الاشتقاق عند $x_{0}$ لاحظ هنا ان $(Cf)$ يقبل عند النقطة ذات الفاصلة $x_{0}$ نصفى مماسين معاملا توجيههما $l_{1}$ , $l_{2}$ على الترتيب لاحظ ايضا اننا حصلنا على نقطة زاوية حتى لو كانت احدي النهايتين عددا حقيقيا $l$ و الاخري $+\infty$ او $-\infty$	النقطة ذات الفاصلة $x_{0}$ هي نقطة زاوية للمنحنى $(Cf)$	; $\lim_{x\overset{< }{\rightarrow}x_{0}}\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}=l_{1}$ $\lim_{x\overset{> }{\rightarrow}x_{0}}\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}=l_{2}$ حيث $l_{1}$ , $l_{2}$ عددان من $R$ مع $l_{1}\neq l_{2}$
النهيتان تعنيان ان الدالة $f$ تقبل الاشتقاق عند القيمة $x_{0}$ لاحظ ان النقطة ذات الفاصلة $x_{0}$ نقطة انعطاف ل $(Cf)$ $-\infty$ , نحصل على نفس التفسير الهندسي و نفس الملاحظات .	المنحنى $(Cf)$ يقبل عند النقطة ذات الفاصلة $x_{0}$ مماسا يوازي محور التراتيب	$\lim_{x\overset{< }{\rightarrow}x_{0}}\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}=+\infty$ $\lim_{x\overset{> }{\rightarrow}x_{0}}\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}=-\infty$
نهايتان تعنيان ان الدالة $f$ لا تقبل الاشتقاق عند القيمة $x_{0}$ لاحظ هنا ان $(Cf)$ يقبل عند النقطة ذات الفاصلة $x_{0}$ نصف مماس يوازي محور التراتيب اذا كانت النهاية الاولى $-\infty$ و الثانية $+\infty$ نحصل على نفس التفسير و نفس الملاحظات	لنقطة ذات الفاصلة $x_{}$ هي نقطة رجوع ل $(Cf)$	$\lim_{x\overset{< }{\rightarrow}x_{0}}\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}=+\infty$ * $\lim_{x\overset{> }{\rightarrow}x_{0}}\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}= -\infty$