ملخص الدرس / الثالثة ثانوي/رياضيات/الدوال العددية/النهايات و المقارنة -العمليات على النهايات

الملخص

شفعية دالة

الدالة الزوجية :

$f$ دالة معرفة على $D_{f}$ ، $f$ زوجية يكافئ من أجل كل عدد حقيقي

$f\left ( -x \right )=f\left ( x \right )$ : $x\in D_{f},-x\in D_{f}$

إذا كانت $f$ زوجية فيكفي دراستها على نصف مجموعة تعريفها و الجزء الثاني من بيان الدالة يرسم بالتناظر بالنسبة لمحور التراتيب .

الدالة الفردية :

$f$ دالة معرفة على $D_{f}$ ، $f$ فردية يكافئ من أجل كل عدد حقيقي

$f\left ( -x \right )=-f\left ( x \right )$ : $x\in D_{f},-x\in D_{f}$

إذا كانت $f$ فردية فيكفي دراستها على نصف مجموعة تعريفها و الجزء الثاني من بيان الدالة يرسم بالتناظر بالنسبة لمبدأ المعلم .

النهايات

1 - حالات عدم التعيين هي :

	الأصل	الفروع
1	$0\times \infty$	$0\times (-\infty)$
1	$0\times \infty$	$0\times (+\infty)$
2	$-\infty +\infty$ $+\infty -\infty$	$(-\infty )-(-\infty)$
		$(-\infty )+(+\infty)$
		$(+\infty )-(+\infty)$
		$(+\infty )+(-\infty)$
3	$\frac{\infty}{\infty }$	$\frac{+\infty}{+\infty}$
		$\frac{+\infty}{-\infty}$
		$\frac{-\infty}{+\infty}$
		$\frac{-\infty}{-\infty}$
4	$\frac{0}{0}$	/

2 - النهايات عند $(-\infty)$ و $(+\infty)$ :

- نهاية دالة كثير حدود تؤةل الى حساب نهاية أكبر حد درجة .

مثال :

$f(x)=7x^3-2x^2+3$

الدالة $f$ دالة كثير حدود فهي معرفة على : $]-\infty ;+\infty [$ نحسب مثلا $\lim _{x\rightarrow +\infty}$ :

$\lim _{x\rightarrow +\infty }f(x )=\lim _{x\rightarrow +\infty}(7x^3-2x+3)\\\\ =\lim (7x^3)=+\infty$

- نهاية دالة ناطقة تؤول الى حساب نهاية أكبر حد درجة في البسط على اكبر حد درجة في المقام

مثال :

$f(x)=\frac{x+1}{3-x}$

الدالة $f$ دالة ناطقة

الدالة $f$ معرفة على المجال $]-\infty ;3]\cup [3;+\infty [$

نحسب مثلا $\lim_{x\rightarrow -\infty} f(x)$ :

$\lim_{x\rightarrow -\infty} f(x)=\lim _{x\rightarrow -\infty}\left ( \frac{x+1}{3-x} \right )\\\\ =\lim _{x\rightarrow -\infty}\frac{(x)}{-x}=-1$

ملاحظة :

أثناء حساب النهايات يمكن الوقوع في حالة الوقوع في حالة عدم التعيين و لا توجد قاعدة عامة لإزالة حالة عدم التعيين فهناك عدة طرق مثل :

- الضرب في المرافق و القسمة عليه

- استخراج العامل المشترك

- استعمال الحصر

- استعمال المقارنة

- استعمال العدد المشتق

- استعمال النهايات الشهيرة

النهاية الحدية

النهاية الحدية العظمى :

إذا انعدمت ${f}'$ عند $x_{0}$ و حولت إشارتها من الموجب إلى السالب فإن بيان $f$

يقبل عند $x_{0}$ قيمة حدية عظمى عند $f\left ( x_{0} \right )$

$x$

$x_{0}$

${f}'\left ( x \right )$

$+$ $\phi$ $-$

$f\left ( x \right )$

$f\left ( x_{0} \right )$

$\nearrow$ $\searrow$

النهاية الحدية الصغرى :

إذا انعدمت ${f}'$ عند $x_{0}$ و حولت إشارتها من السالب إلى الموجب فإن بيان $f$

يقبل عند $x_{0}$ قيمة حدية صغرى عند $f\left ( x_{0} \right )$

$x$

$x_{0}$

${f}'\left ( x \right )$

$-$ $\phi$ $+$

$f\left ( x \right )$

$\searrow$ $\nearrow$

$f\left ( x_{0} \right )$

للمزيثد من التفاصيل اليك الفيديوهات التالية :

الفيديو الأول :

الفيديو الثاني :

الخطوط المقاربة و الفروع اللانهائية

أولا :

لما $\lim_{x\rightarrow a}\left | f\left ( x \right ) \right |=+\infty$ يوجد مستقيم مقارب يوازي $(y{y}')$ معادلته $x=a$

ثانيا :

لما $\lim_{\left | x \right |\rightarrow +\infty} f\left ( x \right )=a$ فإنه يوجد مستقيم مقارب يوازي $(x{x}')$ معادلته $y=a$

ثالثا :

لما $\lim_{ \left | x\right |\rightarrow +\infty }\left | f\left ( x \right ) \right |=+\infty$ المنحنى $\left ( C \right )$ يقبل فرع لا نهائي أو احتمال و جود مستقيم مقارب مائل معادلته من الشكل $y=ax+b$ حيث :

1- لما $\lim_{\left | x \right |\rightarrow +\infty }\frac{f\left ( x \right )}{x}=+\infty$ المنحنى $\left ( C \right )$ يقبل فرع قطع مكافئ اتجاه $(y{y}')$ .

2- لما $\lim_{\left | x \right |\rightarrow +\infty }\frac{f\left ( x \right )}{x}=0$ المنحنى $\left ( C \right )$ يقبل فرع قطع مكافئ اتجاه $(x{x}')$ .

3- لما $\lim_{\left | x \right |\rightarrow +\infty }\frac{f\left ( x \right )}{x}=a$ حيث $a\in \mathbb{R}^{\ast }$ ( $a$ عدد ثابت حقيقي غير معدوم ) معناه : $\lim_{\left |x \right |\rightarrow +\infty }\left \left [ f\left ( x \right ) -ax\right ]=b$

و منه : $\left | b \right |=+\infty$ المنحنى $\left ( C \right )$ يقبل فرع قطع مكافئ اتجاه المستقيم $y=ax$

و $b\in \mathbb{R}$ المستقيم الذي معادلته $y=ax+b$ مستقيم مقارب مائل .

للمزيد من التفاصيل اليك الفيديوهات التالية :

الفيديو الاول :

الفيديو الثاني :

الفيديو الثالث :

V0Uمشتقة دالة مركبة

إذا قبلت الدالة $U$ الاشتقاق على المجال $I$ من $\mathbb{R}$ و قبلت الدالة $V$ فإن الدالة $V0U$ تقبل الاشتقاق على $I$ و لدينا من اجل كل $x$ من $I$ :

${\left ( V0U \right )}'\left ( x \right )={V}'\left [ U\left ( x \right ) \right ]\times {U}'\left ( x \right )$

نهاية دالة مركبة

مبرهنة :

$c,b,a$ تمثل أعداد حقيقية أو $\left (+\infty \right )$ أو $\left (-\infty \right )$ و $f,U,V$ دوال عددية حيث :

$f=VoU$ إذا كانت $\lim_{x\rightarrow a}f\left ( x \right )=b$

و إذا كانت : $\lim_{x\rightarrow b}V\left ( x \right )=c$ فإن : $\lim_{x\rightarrow a}f\left ( x \right )=c$

النهايات بالمقاربة

مبرهنة 1 :

$h,g,f$ دوال عددية معرفة على المجال من الشكل $\left ] A,+\infty \right [$ ، $l$ عدد حقيقي إذا كانت $\lim_{x\rightarrow +\infty }g\left ( x \right )=l$ و $\lim_{x\rightarrow +\infty }h\left ( x \right )=l$

و إذا كان من أجل $x$ كبير بالقدر الكافي : $g\left ( x \right )\leq f\left ( x \right )\leq h\left ( x \right )$

فإن : $\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left ( x \right )=l$

مبرهنة 2 :

$g,f$ دالتان معرفتان على المجال من الشكل $\left ] A,+\infty \right [$ إذا كانت : $\lim_{x\rightarrow +\infty }g\left ( x \right )=l$

و إذا كان من أجل $x$ كبير بالقدر الكافي : $f\left ( x \right )\geq g\left ( x \right )$

فإن : $\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left ( x \right )=l$

مبرهنة 3 :

$g,f$ دالتان معرفتان على المجال من الشكل $\left ] A,+\infty \right [$ ، $l$ عدد حقيقي إذا كانت $\lim_{x\rightarrow +\infty }g\left ( x \right )=-\infty$

و إذا كان من أجل $x$ كبير بالقدر الكافي : $f\left ( x \right )\leq g\left ( x \right )$

فإن : $\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left ( x \right )=-\infty$

ملاحظة :

يمكن استعمال المبرهنات $\left (1,2,3 \right )$ إذا كانت النهايات عند $-\infty$ أو عند عدد حقيقي .

ة للمزيد من الشرح اليك الفيديوهات التالية :

الفيديو الأول :

الفيديو الثاني :

الفيديو الثالث :

الفيديو الرابع :

النهاية بالمقارنة

مبرهنة 1 :

$g,f$ و $h$ دوال و $l$ عدد حقيقي إذا كانت $\lim_{x\rightarrow +\infty}g(x)=l$ و $\lim_{x\rightarrow +\infty}h(x)=l$ و إذا كان من أجل $x$ كبير بالقدر الكافي $g(x)\leq f(x)\leq h(x)$ فإن $\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=l$

مثال :

نعتبر الدالة $f$ المعرفة على $\mathbb{R}^*$ بـ $f(x)=\frac{\sin x}{x}$ نعلم أنه من أجل كل $x$ من $\mathbb{R}$ . $-1\leq \sin x\leq 1$ و منه فإن من أجل كل $x$ من $]0;+\infty[$

و بما أن $\lim_{x\rightarrow +\infty}\left ( -\frac{1}{x} \right )=\lim_{x\rightarrow +\infty}\left ( \frac{1}{x} \right )=0$ فإن $\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{\sin x}{x}=0$

مبرهنة 2 :

$g,f$ دالتان إذا كانت $\lim_{x\rightarrow +\infty}g(x)=+\infty$ و إذا كان من أجل $x$ كبير بالقدر الكافي $f(x)\geq g(x)$ فإن $\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=+\infty$

مبرهنة 3 :

$g,f$ دالتان إذا كانت $\lim_{x\rightarrow +\infty}g(x)=-\infty$ و إذا كان من أجل $x$ كبير بالقدر الكافي $f(x)\leq g(x)$ فإن $\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)-\infty$

ملاحظة: تمدد هذه المبرهنات الى حالتي النهاية عند $-\infty$ و عند عدد حقيقي .

مثال : نعتبر الدالة $f$ المعرفة على $\mathbb{R}$ بـ $f(x)=x+\sin x$ نعلم أنه من أجل كل $x$ من $\mathbb{R}$ $-1\leq \sin x\leq 1$ و منه فإن من أجل كل $x$ من $\mathbb{R}$

بما أن $\lim_{x\rightarrow +\infty}(x-1)=+\infty$ فإن $\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=+\infty$

بما أن $\lim_{x\rightarrow -\infty}(x+1)=-\infty$ فإن $\lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)=-\infty$

نهايات الدوال المرجعية

	$\lim _{x\rightarrow -\infty}f(x)$	$\lim _{x\rightarrow +\infty}f(x)$	$\lim _{x\overset{<}{\rightarrow0 } 0}f(x)$	$\lim _{x\overset{>}{\rightarrow0 } 0}f(x)$
$x$	$-\infty$	$+\infty$	0	0
	$+\infty$	$+\infty$	0	0
$x^2$	$-\infty$	$+\infty$	0	0
$x^3$	0	0	$-\infty$	$+\infty$
$\frac{1}{x}$	0	0	$-\infty$	$+\infty$
$\frac{1}{x^2}$	0	0	$+\infty$	$+\infty$
$\frac{1}{x^3}$	0	0	$-\infty$	$+\infty$
$\sqrt x$	/	$+\infty$	/	0

نهاية الدوال المثلثية المرجعية

1- الضرب في المرافق و القسمة عليه :

نستعمل المرافق في حالة تساوي معاملات $x$ داخل الجذر و خارجه

مثال :

$f$ الدالة المعرفة على $]-\infty ;+\infty[$ كمايلي :

$f(x)=\sqrt{x^2+1}-x$

نحسب $\lim _{x\rightarrow +\infty}f(x)$ :

بالتعويض نجد حالة عدم التعيين من الشكل $+\infty -\infty$ لاحظ تساوي معاملات $x$ داخل الجذر و خارجه

فلنضرب في النرافق و نقسم عليه

$\lim _{x \rightarrow +\infty}=\lim_{x\rightarrow +\infty}(\sqrt{x^2+1}-1)\\\\ =\lim_{x\rightarrow +\infty}\left [ \frac{(\sqrt{x^2+1}-x)(\sqrt{x^2+1})+x}{\sqrt{x^2+1}+x} \right ]\\\\ =\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{\sqrt {x^2+1}\times \sqrt{x^2+1}-x^2}{\sqrt{x^2+1}+x}\\\\ =\lim_{x\rightarrow +\infty}\left [ \frac{x^2+1-x^2}{\sqrt{x^2+1}+x} \right ]\\\\ =\lim_{x\rightarrow +\infty}\left [ \frac{1}{\sqrt{x^2+1}+x} \right ]\\\\ =0$

لأن : $\lim_{x\rightarrow +\infty}(\sqrt{x^2+1}+x)=+\infty$

2- استخراج العامل المشترك :

نستخرج العامل المشترك في حالة عدم تساوي معاملات $x$ داخل الجذر و خارجه

مثال :

$f$ الدالة المعرفة على $]-\infty;+\infty[$ كمايلي :

$f(x)=\sqrt{x^2-x+1}+2x$

نحسب $\lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)$ :

يالتعويض مجد حالة عدم اتعيين من الشكل $+\infty-\infty$

لاحظ عدم تساوي معاملات x داخل الجذر و خارجه

فلنستخرج العامل المشترك

$\lim_{x\rightarrow -\infty}=\lim_{x\rightarrow -\infty}\left [ \sqrt{x^2-x+1}+2x \right ]\\\\ =\lim_{x\rightarrow -\infty}\left [ \sqrt{x^2\left ( 1-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2} \right )}+2x \right ]\\\\ =\lim_{x\rightarrow -\infty}\left [ x\sqrt{\left ( 1-\frac{1}{x} +\frac{1}{x}\right )} -2\right ]\\\\ =\lim_{x\rightarrow -\infty}\left [ -x\left ( \sqrt{\left ( 1-\frac{1}{x} +\frac{1}{x^2}\right )}-2 \right ) \right ]\\\\ =-\infty$

لأن : $\lim_{x\rightarrow -\infty}\frac{1}{x}=0$ و $\lim_{x\rightarrow -\infty}\frac{1}{x^2}=0$

3- استعمال العدد المشتق و القسمة عليه :

لاستعمال هذه الطريقة يجب ان تكون النهاية من الشكل :

$\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$

و هذه النهاية تساوي $f'(a)$

و يسمى $f'(a)$ العدد المشتق

و نكتب :

$\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=f'(a)$

مثال :

لتكن h الدالة المعرفة على المجال $[1;2[\cup ]2;+\infty [$

كمايلي :

$h(x)=\frac{\sqrt{x-1}-1}{x-2}$

نحسب $\lim_{x\rightarrow 2}h(x)$ :

بالتعويض نجد حالة عدم التعيين من الشكل $\frac{0}{0}$

$\lim_{x\rightarrow 2} h(x)=\lim_{x\rightarrow 2}\frac{\sqrt{x-1}-1}{x-2}\\\\ =\lim_{x\rightarrow 2}\frac{f(x)-f(2)}{x-2}\\\\ =f'(2) \\\\ =\frac{1}{2}$

حيث :

$f(x)$	$\sqrt{x-1}$
$f(2)$	1
$f'(x)$	$\frac{1}{2\sqrt x-1}$
$f'(2)$	$\frac{1}{2}$

4- استعمال الحصر :

نستعمل طريقة الحصر (غالبا ) لحساب النهايات على الدوال المثلثية عند $\pm \infty$ فنقوم بحصر الدالة بين دالتين لهما نفس النهاية ة بالتالي فإن نهايتها من نهاية الدالتين .

$\left.\begin{matrix} h(x)\leq f(x)\leq g(x)\\ \lim_{x\rightarrow +\infty}h(x)=l\\ \lim_{x\rightarrow +\infty}g(x)=l \end{matrix}\right\} \lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=l$

مثال :

$f$ الدالة المعرفة على $]-\infty ;-1[\cup ]-;+\infty[$ كما يلي :

$f(x)=\frac{2x+\cos x}{1+x}$

نحسب : $\lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)$ و $\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)$

نتبع الخطوات التالية :

نعلم أن : $-1\leq \cos x\leq 1$

نضيف $2x$ لكل طرف من أطراف المتباينة فنحصل على :

$2x-1\leq 2x+\cos x\leq 2x+1$

قبل قسمة كل أطراف المتباينة على $1+x$ يجب دراسة إشارة $1+x$ على المجال $]-\infty;-1[\cup]-1;+\infty[$

x	$-\infty$ -1 $+\infty$
1+x	- 0 $\|$ +

- إذا كان $x\rightarrow -\infty$ فإن : $1+x\leq 0$

و بالتالي المتباينة تغير إشارتها قسمة كل طرف على $1+x$

فينتج :

$\frac{2x-1}{1+x}\geq \frac{2x+\cos x}{1+x}\geq \frac{2x+1}{1+x}$

و نكتب

$\frac{2x+1}{1+x}\leq \frac{2x+\cos x}{1+x}\leq \frac{2x-1}{1+x}$

و منه :

$h(x)\leq f(x)\leq g(x)$

فتكون :

$\lim _{x\rightarrow -\infty}h(x)\leq \lim _{x\rightarrow -\infty}f(x)\leq \lim _{x\rightarrow -\infty}g(x)$

نجد :

$2\leq \lim _{x\rightarrow -\infty}f(x)\leq 2$

و منه :

$\lim _{x\rightarrow -\infty}f(x)=2$

إذا كان $+\infty$ فإن $1+x\geq 0$

و بالتالي المتباينة لا تغير إشارتها عند قسمة كل طرف على : 1+x

فينتج :

$\frac{2x-1}{1+x}\leq \frac{2x+\cos x}{1+x}\leq \frac{2x+1}{1+x}$

و منه :

$h(x)\leq f(x)\leq g(x)$

فتكون :

$\lim_{x\rightarrow +\infty}h(x)\leq \lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)\leq \lim_{x\rightarrow +\infty}g(x)$

نجد : $2\leq \lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)\leq 2$

و منه $\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=2$

5- استعمال المقارنة :

نستعمل طريقة المقارنة (غالبا) لحساب النهايات على الدوال المثلثية عند $\pm \infty$ حيث أن هذه الدوال لا تقبل نهاية عند

و ننطق من حصر الدالة المثلثية بين $(-1)$ و $(+1)$

الحالة الأولى :

$\left.\begin{matrix} f(x)\geq g(x)\\ \lim_{x\rightarrow +\infty}g(x)=+\infty \end{matrix}\right\} \lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=+\infty$

مثال :

$f$ الدالة المعرفةعلى $]-\infty ;+\infty[$ كمايلي :

$f(x)=\frac{x}{2-\sin x}$

نحسب $\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)$

نعلم أن

$-1\leq \sin x\leq 1\\\\ 1\geq -\sin x \geq 1\\\\ \frac{1}{3}\leq \frac{1}{2-\sin x}\leq 1\\\\ \frac{x}{3}\leq \frac{x}{2-\sin x}\leq x\\\\$

ونكتب :

$\frac{x}{2-\sin x}\geq \frac{x}{3}$

و منه :

$f(x)\geq g(x)$

فتكون :

$\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)\geq \lim_{x\rightarrow +\infty}g(x)$

بما أن :

$\lim_{x\rightarrow +\infty}g(x)=\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{x}{3} =+\infty$

فإن :

$\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=+\infty$

الحالة الثالثة :

$\left.\begin{matrix} f(x)\leq g(x)\\ \lim_{x\rightarrow +\infty}g(x)=-\infty \end{matrix}\right\}\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=-\infty$

مثال :

$f$ الدالة المعرفة على $]-\infty ;+\infty [$ كمايلي :

$f(x)=-2x^2+x\cos x$

نحسب : $\lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)$

نعلم أن :

$-1\leq \cos x\leq 1$

و لدينا جدول إشارة $x$ على $]-\infty;+\infty[$ كمايلي :

x	$-\infty$ 0 $+\infty$
x	- 0 +

ومنه :

$-x\geq x\cos x \geq x\\\\ -2x^2-x\geq -2x^2+x\cos x \geq -2x^2-x\\\\ -2x^2+x\leq -2x^2+x\cos x \leq -2x^2+x\\\\ -2x^2+x\leq f(x) \leq g(x)$

يما أن :

$\lim_{x\rightarrow -\infty }g(x)=\lim _{x\rightarrow -\infty }(2x^2-x)=-\infty$

فإن : $\lim _{x\rightarrow -\infty }f(x)=+\infty$

5- إزالة حاة عدم التعيين من الشكل: $\frac{0}{0}$

1- إذا كانت الدالة هي حاصلة قسمة كثير حدود علة كثير حدود مقوم بتحليلي كلا من البسط و المقام باستعمال القسمة الاقليدية او المطابقة او أي طريقة أخرى ثم نختزل العامل المشترك في البسط و المقام ونحسب النهاية

مثال :

$f$ الدالة المعرفة على المجال :

$]-\infty;-3[\cup ]-3;1[\cup ]1;+\infty[$

كمايلي :

$f(x)=\frac{x^2-3x+2}{x^2+2x-3}$

نحسب : $\lim _{x\rightarrow2 }f(x)$

بالتغويض نجد حالة عدم التعيين من الشكل $\frac{0}{0}$

نقوم بتحليلي البسط و المقام باستعمال القسمة الاقليدية :

و منه : $x^2-3x+2=(x-1)(x-2)$

و منه : $x^2+2x-3=(x-1)(x+3)$

فنكتب :

$\lim _{x\rightarrow1 }f(x)=\lim _{x\rightarrow1 }\left ( \frac{x^2-3x+2}{x^2+2x-3} \right ) \\\\ =\lim _{x\rightarrow1 }\frac{(x-1)(x-2)}{(x-1)(x+3)}\\\\ =\lim _{x\rightarrow1 }\frac{x-2}{x+3}\\\\ =-\frac{1}{4}$

2- إذا كانت الدالة تحتوي على الجذر نقوم بالضرب في المرافق ونقسم عليه .

مثال :

$f$ الدالة المعرفة على المجال :

$[0;4[\cup ]4;+\infty[$

كمايلي :

$f(x)=\frac{\sqrt x-2}{x-4}$

نحسب : $\lim _{x\rightarrow4 } f(x)$

بالتعويض نجد حالة عدم تعيين منالشكل $\frac{0}{0}$

نقوم بالضرب في المرافق و القسمة عليه :

$\lim _{x\rightarrow 4 }f(x)=\lim _{x\rightarrow4 }\left (\frac{\sqrt x-2}{x-4} \right )\\\\ =\lim _{x\rightarrow4 }\frac{(\sqrt x-2)(\sqrt x+2)}{(x-4)(\sqrt x+2)}\\\\ =\lim _{x\rightarrow4 }\frac{(x-4)}{(x-4)(\sqrt x+2)}\\\\ =\lim _{x\rightarrow4 }\frac{1}{\sqrt x+2}\\\\ =\frac{1}{4}$

العمليات على النهايات

$f$ و $g$ دالتان . $a$ يمثل عدد حقيقي أو $+\infty$ أو $-\infty$ نقبل دون المبرهنات التالية :

- نهاية مجموع دالتين :

$\lim_{x\rightarrow a}f(x)$	$l\in \mathbb{R}$	$l\in \mathbb{R}$	$l\in \mathbb{R}$	$+\infty$	$+\infty$	$+\infty$
$\lim_{x\rightarrow a}g(x)$	$l'\in \mathbb{R}$	$+\infty$	$-\infty$	$+\infty$	$-\infty$	$-\infty$
$\lim_{x\rightarrow a}(f(x)+g(x))$	$l+l'$	$+\infty$	$-\infty$	$+\infty$	ح ع ت	$-\infty$

- نهاية جداء دالتين :

$\lim_{x\rightarrow a}f(x)$	$l\in \mathbb{R}$	$l>0$	$l>0$	$l<0$	$l<0$	$+\infty$	$+\infty$	$-\infty$	$0$	$0$
$\lim_{x\rightarrow a}g(x)$	$l'\in \mathbb{R}$	$+\infty$	$-\infty$	$+\infty$	$-\infty$	$+\infty$	$-\infty$	$-\infty$	$+\infty$	$-\infty$
$\lim_{x\rightarrow a}(f(x)\times g(x))$	$l\times l'$	$+\infty$	$-\infty$	$-\infty$	$+\infty$	$+\infty$	$-\infty$	$+\infty$	ح ع ت	ح ع ت

- نهاية حاصل قسمتين :

$\lim_{x\rightarrow a}f(x)$

$l\in \mathbb{R}$

$l$

$+\infty$

$-\infty$

$0$

$+\infty$

$-\infty$

$\lim_{x\rightarrow a}g(x)$

$l'\in \mathbb{R}$

$+\infty$

$-\infty$

$l'>0$

$l'<0$

$l'>0$

$l'<0$

$0$

$+\infty$

$-\infty$

$+\infty$

$-\infty$

$\lim_{x\rightarrow a}\left (\frac{f(x)}{g(x)} \right )$

$\frac{l}{l'}$

$0$

$+\infty$

$-\infty$

$+\infty$

ح ع ت

ملاحظة:

تسمى الحالات التي لاتسمح فيها النظريات السابقة من استنتاج النهاية بحالات "عدم التعيين " (ح ع ت )

فيما يلي طريق ازالة حالة عدم التعيين في هذه الفيديوهات:

الفديو الاول: باستعمال المشتق

الفيديو الثاني: باستعمال المرافق

الفيديو الثالث: باستخراج العامل المشترك الاكبر

نهاية دالة كثير حدود أو دالة ناطقة عند + ∞ أو - ∞

قواعد إجرائية :

- النهاية عند $+\infty$ و عند $-\infty$ لدالة كثير حدود هي نهاية حدها على الأعلى عند $+\infty$ $(-\infty)$

- النهاية عند $+\infty$ و عند $-\infty$ لدالة ناطقة هي نهاية حاصل قسمة الحدين اللأعلى درجة عند $+\infty$ $(-\infty)$

مثال :

لتكن الدالة الناطقة المعرفة على $\mathbb{R}-\left \{ -1;1 \right \}$ بــ $f(x)=\frac{2x^2+3x+1}{x^2-1}$

لدينا حالة عدم التعيين بالنسبة لنهاية $f$ عند $+\infty$ إلا أنه بتطبيق القاعدة $2$ نتحصل على $\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{2x^2}{x^2}=2$

نهاية دالة مركبة

مبرهنة :

$b,a$ و $c$ تمثل أعداد حقيقية أو $+\infty$ أو $-\infty$ . $v.u$ و $f$ دوال حيث $f=v\circ u$ .

إذا كانت $\lim_{x\rightarrow a}u(x)=b$ و إذا كانت $\lim_{x\rightarrow b}v(x)=c$ فإن $\lim_{x\rightarrow a}f(x)=c$

مثال :

نعتبر الدالة $f$ المعرفة على المجال $\mathbb{R}^*$ بـ $f(x)=\sin \left ( \frac{\pi}{2}+\frac{1}{x} \right )$ و نريد حساب $\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)$

نلاحظ أن $f$ هي مركب الدالتين $u$ و $v$ بهذا الترتيب حيث $u(x)=\frac{\pi}{2}+\frac{1}{x}$ و $v(x)=\sin x$ $(f=v\circ u)$

بما أن $\lim_{x\rightarrow +\infty}u(x)=\frac{\pi}{2}$ و $\lim_{x\rightarrow \frac{\pi}{2}}v(x)=1$ فإن $\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=1$

وفيما يلي تفاصيل اكثر في هذا الفيديو:

الفيديو الاول:

الفيديو الثاني:

تطبيق

فيما يلي تطبيق لطرق حساب النهايات في هذا الفيديو: