ملخص الدرس / الثالثة ثانوي/رياضيات/الدوال العددية/التزايد المقارن

الدرس

من الأستاذ(ة) وزارة التربية الوطنية

قوى عدد حقيقي موجب تماما

تمهيد : ليكن عددا حقيقيا موجبا تماما و ليكن عددا صحيحا نسبيا

نعلم أن : $\ln (a^n)=n\ln a$ و بالتالي $a^n=e^{n\ln a}$

و بما أن $\ln e=1$ فإن من أجل كل عدد حقيقي $e^x=e^{x\ln e}$

1- تعاريف :

تعريف 1: نضع $a^b=e^{b\ln a}$ من أجل كل عددين حقيقيين و حيث و كيفي

ملاحظة : يقرأ : أس أو قوى

مثال : $2^{\sqrt3}=e^{\sqrt 3\ln 2}\approx 3,3219$

تعريف 2: عدد حقيقي موجب تماما .

تسمى الدالة المعرفة على $\mathbb{R}$ بـ $f(x)=a^x=e^{x\ln a}$ الدالة الأسية ذات الاساس

قواعد الحساب

خواص :

من أجل كل عددين حقيقيين موجبين تماما و من أجل كل عددين حقيقيين لدينا :

$\frac{a^x}{a^y}=a^{x-y}(4)~~~~a^{-y}=\frac{1}{a^y}(3)~~~~a^xa^y=a^{x+y}(2)~~~~\ln (a^x)=x\ln a(1)\\\\ \left ( \frac{a}{b} \right )^x=\frac{a^x}{b^y}(7)~~~~~~(ab)^x=a^xb^x(6)~~~~~~(a^x)^y=a^{xy}(5)$

الدالة "الجذر النوني "

تمهيد :

الدالة $f_n:x \mapsto x^n$ حيث عدد طبيعي غير معدوم ,

مستمرة و متزايدة تماما على المجال $[0;+\infty[$ كما أن و $\lim_{x\rightarrow +\infty}f_n(x)=+\infty$

إذن من إجل كل عدد حقيقي موجب المعادلة تقبل حلا وحيدا على المجال $[0;+\infty[$

مبرهنة و تعريف :

من أجل كل عد حقيقي موجب من أجل كل عدد طبيعي غير معدوم يوجد عدد حقيقي موجب وحيد يحقق يسمى الجذر الىنوني للعدد و نرمز اليه بالرمز $\sqrt[n]{a}$

تسمى الدالة المعرفة على $[0;+\infty[$ حيث $x \mapsto \sqrt[n]{a}$ الدالة الجذر النوني .

مثال : $\sqrt[4]{4}=\sqrt 2;\sqrt[4]{81}=3;\sqrt[3]{8}=2;\sqrt[n]{1}=1;\sqrt[n]{0}=0$

خاصية 1 : من أجل كل عدد حقيقي موجب تماما و من أجل كل عدد طبيعي غير معدوم $\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{a}};n$

البرهان : نعلم أن $\left ( a^\frac{1}{a} \right )^n=a$ و بما أن $\sqrt[n]{a}$ هو الحل الموجب الوحيد للمعادلة فإن $\sqrt[n]{a}=a^\frac{1}{n}$

ملاحظة : نضع اصطلاحا : $0^\frac{1}{n}=0$

دراسة الدوال

1- الدالة $x \mapsto a^x$

نضع من أجل كل عدد حقيقي موجب تماما و ختلف عن و من أجل من $f_a(x)=a^x=e^{x\ln a}; \mathbb{R}$

* إتجاه التغير : الدالة هي مركب الدالة $u:x \mapsto x\ln a$ متبوعة بالدالة الأسية . و بما أن الدالتين و قابلتان للاشتقاق على $\mathbb{R}$ فإن الدالة قابلة للاشتقلق على $\mathbb{R}$ و لدينا $f'_a(x)=\ln a\times e^{x\ln a}=(\ln a)a^x$ .

نعلم أنه من أجل كل من $\mathbb{R}$ , و بالتالي فإشارة من نفس إشارة $\ln a$ و منه النتائج التالية :

- إذا كان فإن $\ln a<0$ و منه الدالة متناقصة تماما على $\mathbb{R}$ .

- إذا كان فإن $\ln a>0$ ومنه الدالة متزايدة تماما على $\mathbb{R}$ .

* النهايات : نميز حالتين حسب إشارة $\ln a$

- إذا كان فإن $\lim_{x\rightarrow -\infty}x\ln a=+\infty$ و بماأن $\lim_{X\rightarrow +\infty}e^X=+\infty$ نستنتج أن $\lim_{x\rightarrow -\infty}f_a(x)=+\infty$

- إذا كان فإن $\lim_{x\rightarrow +\nfty}x\ln a=-\infty$ و بما أن $\lim_{X\rightarrow -\infty}e^X=0$ نستنتج أن $\lim_{x\rightarrow +\infty}f_a(x)=0$

- إذا كان فإن $\lim_{x\rightarrow -\infty}x\ln a=-\infty$ و بما أن $\lim_{X\rightarrow -\infty}e^X=0$ نستنتج أن $\lim_{X\rightarrow -\infty}f_a(x)=0$

- إذا كان فإن $\lim_{x\rightarrow +\infty}x\ln a=+\infty$ و بما أن $\lim_{X\rightarrow +\infty}x\ln a=+\infty$ نستنتج أن $\lim_{x\rightarrow +\infty}f_a(x)=+\infty$

* جدول التغيرات و التمثيل البياني :

	$-\infty$ $+\infty$
$f_a(x)\\ 0<a<1$	$+\infty$ $\searrow$
	$-\infty$ $+\infty$
$f_a(x)\\ a>1$	$\nearrow$ $+\infty$

ملاحظة : إذا كان فإن و منه الدالة ثابتة .

2- الدالة $x \mapsto \sqrt[n]{x}$ :

نضع من أجل كل عدد طبيغي غير معدوم و من أجل من $g_n (x)=\sqrt[n]{x}=x^\frac{1}{n}; [0;+\infty[$

قابلة للاشتقاق على $]0;+\infty[$ و $g'_n(x)=\frac{1} {n}\times x^{\frac{1}{n}-1}$ و منه إذن متزايدة تماما على $[0;+\infty[$

ملاحظة :

	$+\infty$
	$\|\|$
	$\nearrow$ $+\infty$

الدالة غير قابلة للاشتقاق عند $\lim_{x\rightarrow +\infty }\sqrt[n]{x}=\lim_{x}e^{\frac{1}{n}\ln x}=+\infty$

التزايد المقارن

1- التزايد المقارن للدالتين $x \mapsto e^x$ و $x \mapsto x$ :

خواص : $\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{e^x}{x}=+\infty~~(1)$ و $\lim_{x\rightarrow -\infty}xe ^x=0~~(2)$

البرهان :

1- نعتبر الدالة المعرفة على المجال $[0;+\infty[$ بـ $f(x)=e^x-\frac{x^2}{2}$ لدينا من أجل كل من $[0;\infty[$

و و بما أن من أجل كل من $[0;+\infty[$ ; $f''(x)\geq 0$ فإن الدالة متزايدة تماما على $[0;+\infty[$ و علما أن فإن من أجل كل من $f'(x)\geq 0;[0;+\infty[$ و منه فالدالة متزايدة تماما على $[0:+\infty[$ و علما أن فإن من أجل كل من $f(x)\geq 0;[0;+\infty[$ نستنتج أنه ممن أجل كل من $e^x-\frac{x^2}{2}\geq 0;]0;+\infty[$ و بالتالي فإن من اجل كل من $\frac{e^x}{x}\geq \frac{x}{2};]0;+\infty[$ باستعمال النهايات بالمقارنة و علما أن $\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{x}{2}=+\infty$ فإن $\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{e^x}{x}=+\infty$ كما نستنتج $\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{x}{e^x}=0$

2- نضع اذن $\lim_{x\rightarrow -\infty}xe^x=\lim_{X\rightarrow +\infty}-\frac{X}{e^X}=0$ و منه

2- التزايد المقارن للدالتين $x\rightarrow \ln x$ و $x\rightarrow x$ :

خواص : $\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{\ln x}{x}=0~~~(1)$ و $\lim_{x\rightarrow 0}x\kn x =0~~~~~(2)$

البرهان :

1- من أجل نضع $X=\ln x$ و منه مع $\lim_{x\rightarrow +\infty}X=+\infty$ وبالتالي $\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{\ln x}{x}=\lim_{X\rightarrow +\infty}\frac{X}{e^X}=0$

2- نضع $X=\farc{1}{x}$ و منه $\lim_{x\overset{>}{\rightarrow}0}X=\frac{1}{x}$ و بالتالي $\lim_{x\rightarrow 0}\ln x=\lim_{X\rightarrow +\infty}\frac{1}{X}\ln \frac{1}{X}=\lim_{X\rightarrow +\infty} \frac{\ln X}{X}=0$

3- التزايد المقارن مع الدالة $(n\in \mathbb{N}^*)x \mapsto x^n$ :

خواص : $\lim_{x\rightarrow 0}x^n\ln x=0 ~~(2)\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{\ln x}{x}=0~~~(2)\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{e^x}{x^n}=+\infty~~(1)$

خلاصة : كل الدوال $x \mapsto e^x$ , $x \mapsto \ln x$ و $(n\in \mathbb{N}^*)x \mapsto x^n$

لما يؤول الى $+\infty$ لما يؤول الى $+\infty$ إلا أن سلوكها مختلف عند اللانهاية تتفوق الدالة الأسية على الدالة قوة و تتفوق الدالة قوة على الدالة اللوغاريتمية النيبيرية .