ملخص الدرس / الثالثة ثانوي/رياضيات/الدوال العددية/مسائل حول دراسة دوال عددية

الدرس

المشتقة و اتجاه التغيرات

مبرهنة ( دون برهان ) : دالة قابلة للاشتقاق على مجال من $\mathbb{R}$

* إذا كانمن أجل كل من , ما عدا ممكن من أجل عدد محدود من القيم التي تنعدم الدالة من أجلها , فإن الدالة متزايدة تماما على .

* إذا كان من أجل كل من ماعدا ممكن من أجل عدد محدود من القيم التي تنعدم من أجلها الدالة متناقصة على .

* إذا كان من أجل من فإن الدالة ثابتة على .

مثال : نعتبر الدالة المعرفة على $\mathbb{R}$ بـ

دالة كثيرة حدود فهي إذن قابلة للاشتقاق على $\mathbb{R}$ و لدينا :

بعد التحليل نجد :

من أجل $x\in ]-\infty;0]$ , و من أجل $x\in [0;+\infty [$ ,

بالإضافة الى ما سبق لدينا : $\lim_{x\rightarrow -\infty }f(x)=+\infty$ و $\lim_{x\rightarrow -\infty }=+\infty$ و منه جدول تغيرات الدالة

	$-\infty$ $+\infty$
	$-$
	$-\infty$ $\searrow$ $\nearrow$ $\nearrow$ $+\infty$

القيم الحدية المحلية

تعاريف : دالة معرفة على مجال من $\mathbb{R}$ و عدد حقيقي من .

* القول أن قيمة حدية محلية عظمى للدالة يعني أنه يوجد مجال مفتوح محتوى في و يشمل بحيث من أجل كل من , $f(x)\leq f(x_0)$

* القول أن قيمة حدية محلية صغرى للدالة يعني أنه يوجد مجال مفتوح محتوى في و يشمل بحيث من أجل كل من , $f(x)\leq f(x_0)$

* القول أن قيمة حدية محلية لـ يعني أن قيمة حدية محلية عظمى أو صغرى .

مثال : نعتبر نفس معطيات المثال السابق .

* نلاحظ أن من جدول تغيرات الدالة أن هي قيمة حدية صغرى لـ لأنه يوجد على الأقل مجال مفنتوح ( مثلا ) محتوى في $\mathbb{R}$ و يشمل بحيث من أجل كل من , $f(x)\geq f(0)$

* ليس قيمة حدية للدالة .

اشتقاق دالة مركبة دالتين

1- مشتقة الدالة $v\circ u$ :

مبرهنة (دون برهان ) : إذا قبلت الدالة الاشتقاق على مجال من $\mathbb{R}$ و قبلت الدالة الاشتقاق على فإن الدالة $v\circ u$ تقبل الاشتقاق على و لدينا :

$(v\circ u)'(x)=v'[u(x)]\times u'(x)$

مثال : لتكن الدالة المعرفة على $\mathbb{R}$ بـ

نلاحظ $f=v\circ u$ حيث $u:x \mapsto x^2 +1$ و $v:x \mapsto 2x^3-3$ و منه $f'(x)=v'(x^2+1)\times u'(x)$

بعد الحساب نجد $f'(x)=6(x^2+1)\times 2x=12x(x^2+1)^2$

2- نتائج :

* مشتقة الدالة $x \mapsto \sqrt {u(x)}$

إذا كانت الدالة قابلة للاشتقاق على مجال من $\mathbb{R}$ و كانت موجبة تماما على فإن الدالة $\sqrt u$ تقبل الاشتقاق على و لدينا $(\sqrt u)'=\frac{u'}{2\sqrt u}$ .

مثال : لتكن الدالة المعرفة على $\mathbb{R}$ بـ $f(x)=\sqrt {x^2+2}$

نلاحظ أن $f=\sqrt u$ مع . و بما أن قابلة للاشتقاق على $\mathbb{R}$ و من أجل كل من $\mathbb{R}$ ,

فإن الدالة قابلة للاشتقاق على $\mathbb{R}$ و لدينا : $f'(x)=\frac{2x}{2\sqrt{x^2+2}}=\frac{x}{\sqrt {x^2+2}}$

* مشتقة الدالة $x \mapsto [u(x)]^n$ ( عدد طبيعي يحقق $n\geq 2$ )

إذا كانت الدالة قابلة للاشتقاق على مجال من $\mathbb{R}$ فإن الدالة تقبل الاشتقاق على و لدينا : $(u^n)'=nu'u^{n-1}$

مثال : لتكن الدالة المعرفة على $\mathbb{R}$ بـ

نلاحظ أن مع .و بما أن قابلة للاشتقاق على $\mathbb{R}$ فإن الدالة قابلة للاشتقلق على $\mathbb{R}$

و لدينا

* مشتقة دالة $x \mapsto \frac{1}{[u(x)^n]}$ ( عدد طبيعي يحقق $n\geq 1$ )

إذا كانت الدالة قابلة للاشتقاق على مجال من $\mathbb{R}$ و لا تنعدم على فإن الدالة $\frac{1}{u^n}$ تقبل الاشتقاق على و لدينا $\left ( \frac{1}{u^n} \right )'=\frac{nu'}{u^{n+1}}$