ملخص الدرس / الثالثة ثانوي/رياضيات/الدوال العددية/الإستمرارية

الملخص

التفسير الهندسي	النهاية
الدالة مستمرة في النقطة	$\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=f(x_0)$
الدالة مستمرة على يسار النقطة	$\lim_{x\overset{<}{\rightarrow} x_0}f(x)=f(x_0)$
الدالة مستمرة على يمين النقطة	$\lim_{x\overset{>}{\rightarrow} x_0}f(x)=f(x_0)$

ملاحظة :

إذا كانت مستمرة على يمين و مستمرة على يسار فهي إذن مستمرة في النقطة

- تكون مستمرة على مجال مفتوح إذا كانت مستمرة في كل نقطة من المجال

- تكون مستمرة على مجال مغلق إذا كانت مستمرة على المجال المفتوح و مستمرة على يمين a و مستمرة على يسار b

لتكن و دالتين مستمرتين على مجال و عدد حقيقي

- الدوال $kf;f\times g;\times f+g$ مستمرة على المجال

- إذا كانت لا تنعدم على فإن الدالتين $\frac{k}{g}$ و $\frac{f}{g}$ مستمرتين على المجال

- نتائج :

- كل دالة كثير حدود مستمرة على $\mathbb{R}$

- كل دالة ناطقة مستمرة على مجال تعريفها

- الدالة $x \mapsto \sqrt x$ مستمرة على $\mathbb{R}^+$

- الدالتان $x \mapsto \sin x$ و $x \mapsto \cos x$ مستمرتان على $\mathbb{R}$

- الدالة $x \mapsto \tan x$ مستمرة على مجال تعريفها $\mathbb{R}-\left \{ \frac{\pi}{2}+k\pi /k\in \mathbb{Z}\right \}$

إذا كانت مستمرة على المجال و مستمرة على مجال ,بحيث : $f(I)\subset J$ فإن $g\circ f$ مستمرة على المجال

- صورة قطعة بدالة مستمرة هي قطعة

- صورةمجال بدالة مستمرة هي مجال

حالات خاصة :

لتكن دالة مستمرة و رتيبة تماما على مجال

الجدول التالي يوضح طبيعة المجال

المجال		المجال
متناقصة تماما على	متزايدة تماما على	المجال

$\left ] \lim_{x\rightarrow b^-}f(x),f(a) \right ]$	$\left [ f(a),\lim_{x\rightarrow b}f(x) \right [$
$\left [ f(b);\lim_{x\rightarrow a^+}f(x) \right [$	$\left ] \lim_{x\rightarrow a^+}f(x) ,f(b)\right ]$
$\left ]\lim_{x\rightarrow b^+}f(x),\lim_{x\rightarrow a^-}f(x) \right [$	$\left ]\lim_{x\rightarrow a^+}f(x),\lim_{x\rightarrow b^-}f(x) \right [$
$\left ]\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x) ;f(a) \right ]$	$\left [f(a),\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x) \right [$	$[a;+\infty[$
$\left ] \lim_{x\rightarrow +\infty}f(x);\lim_{x\rightarrow a^+ }f(x) \right [$	$\left ] \lim_{x\rightarrow a^+}f(x);\lim_{x\rightarrow +\infty }f(x) \right [$	$]a;+\infty[$
$\left ] \lim_{x\rightarrow a^-}f(x);\lim_{x\rightarrow -\infty }f(x) \right [$	$\left ] \lim_{x\rightarrow -\infty}f(x);\lim_{x\rightarrow a^- }f(x) \right [$	$]-\infty,a]$
$\left ] \lim_{x\rightarrow +\infty}f(x);\lim_{x\rightarrow -\infty }f(x) \right [$	$\left ] \lim_{x\rightarrow -\infty}f(x);\lim_{x\rightarrow +\infty }f(x) \right [$	$]-\infty,+\infty[$

إذا كانت مستمرة على مجال فإنه لكل عدد حقيقي k محصور بين العددين و يوجد على الاقل عدد حقيقي $\alpha$ من المجال بحيث : $f(\alpha )=k$

- التفسير البياني (الوثيقة 1)

نتيجة :

إذا كانت مستمرة على مجال و كان $f(a)\times f(b)<0$ فإن المعادلة تقبل على الاقل حلا $\alpha$ ينتمي الى المجال

إذا كانت مستمرة و رتيبة تماما على مجال و كان $f(a)\times f(b)<0$ فإن المعادلة تقبل حلا وحيدا $\alpha$ ينتمي الى المجال

- طريقة التفرع الثنائي :

لتكن دالة مستمرة و رتيبة تماما على مجال بحيث : $f(a)\times f(b)<0$

و لتكن $\alpha$ الحل الوحيد للمعادلة في المجال

$a<\alpha <\frac{a+b}{2}$	فإن	$f(a)\times f\left ( \frac{a+b}{2} \right )<0$	إذا كان
$\frac{a+b}{2}<\alpha <b$	فإن	$f(b)\times f\left ( \frac{a+b}{2} \right )<0$	إذا كان

ملاحظة :

مبرهنة القيم المتوسطة تؤكد فقط وجود حل على الاقل للمعادلة اما تعيين الحلول أو قيم مقربة لها فيتم باتباع خوارزميات مختلفة

الملاحظات	التفسير الهندسي	النهاية
نفترض ان ليست مستمرة عند من اليسار بل مستمرة عند من اليمين فقط	النقطة التى احداثياتها هي نقطة توقف للمنحنى	$\lim_{x\rightarrow a}f(x)=f(a)$
نفترض ان ليست مستمرة عند من اليمين بل مستمرة عند من اليسار فقط	النقطة التى احداثياتها هي نقطة توقف للمنحنى	$\lim_{x\rightarrow a}f(x)=f(a)$