ملخص الدرس / الثالثة ثانوي/رياضيات/الهندسة في الفضاء/المعادلة الديكارتية لمستوى في الفضاء

الملخص

المعادلة الديكارتية لمستو

كل مستو في الفضاء له معادلة ديكارتية من الشكل :

حيث : لا تنعدم في آن واحد , علما أن : $\vec n\begin{bmatrix} a\\ b\\ c \end{bmatrix}$ هو الشعاع الناظمي له ( عموديا عليه )

تعيين معادلة ديكارتية لمستو بثلاث نقط

المستوي يشمل ثلاث نقط :

أ / لإثبات أن النقط و تعرف ( تعيتن - تشكل ) مستو :

- يعني النقط : و ليست في إستقامية

- يعني الشعاعان : $\overrightarrow{AB}$ و $\overrightarrow{AC}$ غير مرتبطين خطيا ( غير متوازيين )

ب / لإيجاد معادلة ديكارتية للمستوي :

- نبحث عن شعاعا ناظميا $\vec n \begin{bmatrix} a\\ b\\ c \end{bmatrix}$ له و ذلك بحل الجملة التالية : $\begin{cases} \vec n\perp \overrightarrow{AB} \\ \vec n\perp \overrightarrow{AC} \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} n\bullet \overrightarrow{AB}=0\\ \vec n \bullet \overrightarrow{AC} =0 \end{cases}$

ثم نطبق التعريف التحليلي للجداء السلمي فنجد عادة ثلاث مجاهيل بمعادلتين فقط مما يجعلنا مثلا نثبت و نبحث عن و بدلالة فمجد الشعاع الناظمي العام $\vec n_a$ و نختار قيمة مبسطة لـ :

و عليه نجد الشعاع الناظمي الخاص $\vec n$

- بعد إيجاد و أعداد معلومة يبقى مجهول فعلينا أن نعوض إحداثيات أحد النقط : أو أو في المعادلة فنجد القيمة

*تنبيه : إذا أعطيت المعادلة الديكارتية للمستوى و طلب منا التأكد من أنها للمستوي يكفي أن نبين :

أ / $\overrightarrow{AB}$ و $\overrightarrow{AC}$ غير مرتبطين خطيا

ب / إحداثيات كل من النقط الثلاث و تحقق المعادلة

بمعنى

$\begin{cases} A\in(ABC) \\ B\in(ABC) \\ C\in (ABC) \end{cases}$

مستويات خاصة

* هي معادلة ديكارتية للمستوي $(O;\vec j;\vec k)$

* هي معادلة ديكارتية للمستوي $(O;\vec i;\vec k)$

* هي معادلة ديكارتية للمستوي $(O;\vec i;\vec j)$

بعد نقطة عن مستو

بعد النقطة عن المستوي : تعطى بالقانون التالي :

$d(A;(P))=\frac{\left | ax_A+by_A+cz_A+d \right |}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$

التمثيل الوسيطي لمستو معين بثلاث نقط

يشمل ثلاث نقط :

لإيجاد التمثيل الوسيطي للمستوي حيث : $\overrightarrow{AB}$ و $\overrightarrow{AC}$ غير مرتبطين خطيا

$M(x,y,z)\in (ABC)$ يعني : $\overrightarrow{AM}=t\overrightarrow{AB}+t'\overrightarrow{AC}$ (حيث : و من $\mathbb{R}$ )

يعني :

$\begin{cases} x=(x_B-x_A)t+(x_C-x_A)t'+x_A \\ y=(y_B-y_A)t+(y_C-y_A)t'+y_A \\ z=(z_B-z_A)t+(z_C-z_A)t'+z_A \end{cases!}$

تعامد مستويين

يتعامد مستويان في الفضاء إذا تعامدا شعاعهما الناظميان :

إذا كان $\begin{cases} (P_1):ax+by+cz+d=0 \\ \\ (P_2):a'x+b'y+c'z+d'=0 \end{cases}$ فلدينا : $(P_1)\perp (P_2)$ يعني : $\vec n_{(P_1)}\perp \vec n_{(P_2)}$

أي : $\vec n_{(P_1)}.\vec n_{(P_2)}=a\times a'+b\times b'+c\times c'=0$

المسقط العمودي لنقطة على مستوي

لتكن النقطة هي المسقط العمودي للنقطة على المستوي , لتعيين إحداثيات النقطة :

أ / نبحث عن التمثيل الوسيطي للمستقيم الذي يشمل النقطة و عمودي على المستوي في النقطة أي : " $\overrightarrow{AH}||\vec n_{(P)}$ يعني $\overrightarrow{AH}=t.\vec n_{(P)}$ "

ب / نعوض إحداثيات التمثيل الوسيطي للمستقيم في معادلة المستوي فنجد قيمة و نعوض عن في التمثيل الوسيطي فنجد إحداثيات المسقط العمودي

معادلة سطح الكرة

سطح الكرة التي مركزها $\left (a,b,c \right )$ و نصف قطرها هي مجموعة النقطة $m\left ( x,y,z \right )$ بحيث :

المعادلة الديكارتية لسطح هذه الكرة :

$\left ( x-a \right )^{2}+\left ( y-b \right )^{2}+\left ( z-c \right )^{2}=R$