ملخص الدرس / الثالثة ثانوي/رياضيات/الدوال العددية/التزايد المقارن

تمهيد : ليكن    عددا حقيقيا موجبا تماما و ليكن     عددا صحيحا نسبيا 

نعلم أن :      و بالتالي      

 و بما أن      فإن من أجل كل عدد حقيقي     

1- تعاريف :

تعريف 1: نضع     من أجل كل عددين حقيقيين    و   حيث    و    كيفي 

ملاحظة : يقرأ     :     أس         أو    قوى 

مثال : 

تعريف 2:     عدد حقيقي موجب تماما .

تسمى الدالة    المعرفة على     بـ       الدالة الأسية ذات الاساس 

خواص :

من أجل كل عددين حقيقيين موجبين تماما     و من أجل كل عددين حقيقيين      لدينا :

تمهيد :

الدالة     حيث     عدد طبيعي غير معدوم ,

مستمرة و متزايدة تماما على المجال     كما أن     و 

    إذن من إجل كل عدد حقيقي موجب     المعادلة      تقبل حلا وحيدا على المجال    

مبرهنة و تعريف : 

من أجل كل عد حقيقي موجب     من أجل كل عدد طبيعي غير معدوم     يوجد عدد حقيقي موجب وحيد    يحقق      يسمى الجذر الىنوني للعدد   و نرمز اليه بالرمز    

تسمى الدالة المعرفة على      حيث       الدالة الجذر النوني . 

مثال : 

خاصية 1 : من أجل كل عدد حقيقي موجب تماما      و من أجل كل عدد طبيعي غير معدوم    

البرهان : نعلم أن    و بما أن     هو الحل الموجب الوحيد للمعادلة     فإن    

ملاحظة : نضع اصطلاحا : 

1- الدالة  

نضع من أجل كل عدد حقيقي موجب تماما    و ختلف عن    و من أجل    من   

* إتجاه التغير : الدالة     هي مركب الدالة      متبوعة بالدالة الأسية . و بما أن الدالتين    و    قابلتان للاشتقاق على    فإن الدالة   قابلة للاشتقلق على    و لدينا      .

نعلم أنه من أجل كل     من  ,    و بالتالي فإشارة    من نفس إشارة     و منه النتائج التالية : 

- إذا كان    فإن     و منه الدالة    متناقصة تماما على  .

- إذا كان     فإن     ومنه الدالة    متزايدة تماما على   .

* النهايات : نميز حالتين حسب إشارة    

- إذا كان     فإن    و بماأن    نستنتج أن 

- إذا كان    فإن     و بما أن     نستنتج أن  

- إذا كان     فإن     و بما أن      نستنتج أن 

- إذا كان     فإن     و بما أن     نستنتج أن     

* جدول التغيرات و التمثيل البياني : 

ملاحظة : إذا كان     فإن    و منه الدالة   ثابتة . 

 2- الدالة     : 

نضع من أجل كل عدد طبيغي غير معدوم     و من أجل     من    

    قابلة للاشتقاق على       و      و منه       إذن      متزايدة تماما على 

ملاحظة : 

الدالة    غير قابلة للاشتقاق عند    

1- التزايد المقارن للدالتين      و    : 

خواص :     و    

البرهان : 

1- نعتبر الدالة     المعرفة على المجال     بـ     لدينا من أجل كل     من    

  و    و بما أن من أجل كل   من    ;   فإن الدالة     متزايدة  تماما على  و علما أن       فإن من أجل كل   من     و منه فالدالة    متزايدة تماما  على   و علما أن      فإن من أجل كل    من     نستنتج أنه ممن أجل كل من    و بالتالي فإن من اجل كل     من     باستعمال النهايات بالمقارنة  و علما أن     فإن     كما نستنتج    

2- نضع     اذن    و منه      

2- التزايد المقارن للدالتين     و    :

خواص :     و     

البرهان : 

1- من أجل     نضع    و منه     مع    وبالتالي     

2- نضع     و منه     و بالتالي        

3- التزايد المقارن مع الدالة     :

خواص :        

خلاصة : كل الدوال    ,    و   

لما يؤول الى    لما يؤول   الى     إلا أن سلوكها مختلف عند اللانهاية تتفوق الدالة الأسية على الدالة قوة و تتفوق الدالة قوة على الدالة اللوغاريتمية النيبيرية .