ملخص الدرس / الثالثة ثانوي/رياضيات/الدوال العددية/الدوال كثيرات الحدود من الدرجة الثالثة

الدرس

من الأستاذ(ة) وزارة التربية الوطنية

الدوال الكثيرات الحدود من الدرجة الأولى

1- دراسة مثال :

نعتبر الدالة المعرفة على $\mathbb{R}$ بـ :

و ليكن تمثيلها البياني في معلم $(O;\vec i;\vec j)$ .

* النهاييت : لدينا $\lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)=-\infty$ و $\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=+\infty$ :

*المشتقة : الدالة قابلة للاشتقاق على $\mathbb{R}$ و لدينا من أجل كل من $\mathbb{R}$ ,

* إشارة المشتقة : من أجل كل من $\mathbb{R}$ , و منه الدالة متزايدة تماما على $\mathbb{R}$ .

*جدول التغيرات :

	$-\infty$ $+\infty$

	$-\infty$ $\nearrow$ $+\infty$

* التمثيل البياني :

التقاطع مع المحورين :

* يعني أي $x=\frac{2}{3}$ و منه يتقاطع مع محور الفواصل في النقطة التي فاصلتها $\frac{2}{3}$ .

* و منه يتقاطع مع محور التراتيب في النقطة التي ترتيبها في النقطة التي ترتيبها .

2- النتائج :

*التمثيل البياني للدالة $f:x \mapsto ax+b$ هو المستقيم الذي معادلته , لتمثيله يكقي رسم نقطتين منه .

* نلاحظ أن : $\lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)=\lim_{x\rightarrow -\infty}(3x)$ و $\lim_{x\rightarrow +\infty }f(x)=\lim_{x\rightarrow +\infty}(3x)$

نقبل بصفة عامة أن :

$\lim_{x\rightarrow -\infty}(ax+b )=\lim_{x\rightarrow -\infty}(ax )$ و $\lim_{x\rightarrow +\infty}(ax+b)=\lim_{x\rightarrow +\infty}(ax )$

* نستنتج هكذا أنه :

- إذا كان فإن $\lim_{x\rightarrow -\infty}(ax+b)=-\infty$ و $\lim_{x\rightarrow +\infty}(ax+b)=+\infty$

- إذا كان فإن $\lim_{x\rightarrow -\infty}(ax+b)=+\infty$ و $\lim_{x\rightarrow +\infty}(ax+b)=-\infty$

مثال : $\lim_{x\rightarrow -\infty}(3x+1)=\lim_{x\rightarrow -\infty}(3x)=-\infty$ و $\lim_{x\rightarrow +\infty}(3x+1)=\lim_{x\rightarrow +\infty}(3x)=+\infty$

الدوال كثيرات الحدود من الدرجة الثانية

1- دراسة مثال :

نعتبرالدالة المعرفة على $\mathbb{R}$ بـ : و ليكن تمثيلها البياني في معلم $(O;\vec i;\vec j)$

- النهايات : لدينا $\lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)=+\infty$ و $\lim_{x\rightarrow +\infty}=+\infty$

- المشتقة : الدالة قابلة للإشتقاق على $\mathbb{R}$ لدينا من أجل كل من $\mathbb{R}$ ,

- إشارة المشتقة : من أجل كل من $\mathbb{R}$ إشارة هي من نفس إشارة

$x-1\leq 0$ يعني $x\leq 1$ و منه الدالة متناقصة تماما على المجال $]-\infty;1]$ .

يعني $x\geq 1$ و منه الدالة متزايدة تماما على المجال $[1;+\infty[$ .

جدول التغيرات : لدينا :

	$-\infty$ $+\infty$
	$-$
	$+\infty$ $\searrow$ $\nearrow$ $+\infty$

التمثيل البياني : عندالرسم يمكن الإستعانة بنقط مساعدة .

* يعني أو و منه يتقاطع مع محور الفواصل في النقطتين اللتين فاصلتهما هما و

* يتقاطع مع في النقطة التي ترتيبها

2- النتائج :

- يسمى التمثيل البياني للدالة $(a\neq 0)x \mapsto ax^2 +bx +c$ قطعا مكافئا .

- نلاحظ أن $\lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)=\lim_{x\rightarrow -\infty}(2x^2)$ و $\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=\lim_{x\rightarrow +\infty}(2x^2)$

نقبل بصفة عامة أن :

$\lim_{x\rightarrow -\infty}(ax^2+bx +c)=\lim_{x\rightarrow -\infty}(ax^2)$ و $\lim_{x\rightarrow +\infty}(ax^2+bx +c)=\lim_{x\rightarrow +\infty}(ax^2)$

- نستنتج هكذا أنه :

* إذا كان فإن $\lim_{x\rightarrow -\infty}(ax^2+bx+c)=+\infty$ و $\lim_{x\rightarrow +\infty}(ax^2+bx +c)=+\infty$

* إذا كان فإن $\lim_{x\rightarrow -\infty}(ax^2+bx +c)=-\infty$ و $\lim_{x\rightarrow +\infty}(ax^2+bx +c)=-\infty$

مثال : $\lim_{x\rightarrow -\infty}(3x^2+x-2)=\lim_{x\rightarrow -\infty}(3x^2)=+\infty$ و $\lim_{x\rightarrow +\infty }(3x^2+x-)=\lim_{x\rightarrow +\infty}(3x^2)=+\infty$

$\lim_{x\rightarrow -\infty }(-2x^2+x-2)=\lim_{x\rightarrow -\infty}(-2x^2)=-\infty$ و $\lim_{x\rightarrow +\infty }(-2x^2+x-2)=\lim_{x\rightarrow +\infty}(-2x^2)=-\infty$

الدوال كثيرات الحدود من الدرجة الثالثة

1- دراسة مثال :

نعتبر الدالة المعرفة على $\mathbb{R}$ بـ :

ليكن تمثيلها البياني في معلم متعامد $(O;\vec i;\vec j)$

* النهايات : لدينا $\lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)=-\infty$ و $\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=+\infty$

* المشتقة : الدالة قابلة للاشقاق على $\mathbb{R}$ و لدينا من أجل كل من $f'(x)=3x^2+1;\mathbb{R}$

*إشارة المشتقة : من أجل كل من $\mathbb{R}$ , و منه الدالة متزايدة تماما على $\mathbb{R}$ .

* جدول التغيرات :

	$-\infty$ $+\infty$

	$-\infty$ $\nearrow$ $+\infty$

* التمثيل البياني : مثلنا في الشكل المقابل و مماسه $(\Delta )$ عند الانعطاف , النقطة التي فاصلتها و ترتيبها .

2- النتاشج :

* التمثيل البياني للدالة $(a\neq 0)x \mapstoa x^3+bx^Z2+cx+d$ يقبل نقطة انعطاف فاصلتها بحيث هي القيمة التي تنعدم عندها المشتقة الثانية للدالة مغيرة إشارتها .

* نلاحظ أن : $\lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)=\lim_{x\rightarrow -\infty}(x^3)$ و $\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=\lim_{x\rightarrow +\infty}(x^3)$

نقبل بصفة عامة أن :

$\lim_{x\rightarrow -\infty}(ax^3+bx^2+cx+d)=\lim_{x\rightarrow -\infty}(ax^3)$ و $\lim_{x\rightarrow +\infty}(ax^2+bx^2+cx +d)=\lim_{x\rightarrow +\infty}(ax^3)$

نستنتج هكذا أنه :

* إذا كان فإن $\lim_{x\rightarrow -\infty }(ax^3+bx^2+cx +d )=-\infty$ و $\lim_{x\rightarrow +\infty }(ax^3+bx^2+cx +d )=+\infty$

* إذا كان فإن $\lim_{x\rightarrow -\infty }(ax^3+bx^2+cx +d )=+\infty$ و $\lim_{x\rightarrow +\infty }(ax^3+bx^2+cx +d )=-\infty$

مثال :

$\lim_{x\rightarrow -\infty }(2x^3-x^2-3x+1 )=\lim_{x\rightarrow -\infty}(2x^3)=-\infty$ و $\lim_{x\rightarrow +\infty }(2x^3-x^2-3x+1 )=\lim_{x\rightarrow +\infty}(2x^3)=+\infty$

$\lim_{x\rightarrow -\infty }(-3x^3+3x-4 )=\lim_{x\rightarrow -\infty}(-3x^3)=+\infty$ و $\lim_{x\rightarrow +\infty }(-3x^3+3x-4 )=\lim_{x\rightarrow +\infty}(-3x^3)=-\infty$

وفيما يلي مثتال اخر في هذا الفيديو:

مقترحات شاملة

للمزيد من التفاصيل اليك بعض التمارين الشاملة في الفيديوهات التالية :

الفيديو الأول :