ملخص الدرس / الثالثة ثانوي/رياضيات/الأعداد و الحساب/Z الموافقات في

الدرس

تعريف

تعريف

$n$ عدد طبيعي غير معدوم , القول أن عددين صحيحين $a$ و $b$ متوافقان بترديد $n$ يعني أن للعددين $a$ و $b$ نفس الباقي في القسمه الإقليديه على $n$ .

من التعريف

* نكتب $a\equiv b[n]$

* نقرأ $a$ يوافق $b$ بترديد $n$

مثال

- العددان $92$ و $27$ متوافقان بترديد $5$ ونكتب $92 \equiv 27[5]$

-للعددين $92$ و $27$ نفس الباقي في القسمه على $5$ هو $2$ .

$92 \equiv 2[5]$ و $27 \equiv 2[5]$

ملاحظه

من أجل كل عدد صحيح $x$ : $x \equiv 0[1]$

مبرهنه

$a$ و $b$ عددان صحيحان , و $n$ عدد طبيعي غير معدوم . يكون للعددين $a$ و $b$ نفس الباقي في القسمه الإقليديه على $n$ إذا وفقط إذا كان $a-b$ مضاعفا للعدد $n$

مثال

$41-20=21$

العدد $21$ مضاعف للعدد $7$

ونكتب $21 \equiv 0[7]$

العددان $41$ و $20$ متوافقان بترديد $7$

ونكتب $41 \equiv 20[7]$

للعددين $41$ و $20$ نفس الباقي في القسمه على $7$ هو $6$

حيث $41 \equiv 6[7]$ و $20 \equiv 6[7]$

خاصيه

$n$ عدد طبيعي غير معدوم يختلف عن $1$ $(n\geq 2)$

كل عدد صحيح $a$ يوافق بترديد $n$ , باقي قسمته على n

$a \equiv r[n]$ و $a=nq+r$

حيث $q$ عدد صحيحي و $0< r< n$

ملاحظه

إذا كان $a \equiv r[n]$ نقول عن $r$ أنه باقي قسمه $a$ على $n$ في حاله إذا كان $0< r< n$

مثال

$16\equiv 6[5]$

$6$ ليس باقي قسمه $16$ على $5$ لأن $6\geq 5$

$16\equiv 1[5]$

باقي قسمه $16$ على $5$ هو $1$ لأن $0\leq 1\leq 5$

مبرهنة

مبرهنة:

$a$ و $b$ عددان صحيحان و $n$ عدد طبيعي غير معدوم . $a$ و $b$ لهما نفس الباقي في القسمة الاقليدية على $n$ ،إذا و فقط إذا كان $a-b$ مضاعف ل $n$ .

البرهان :

نفرض أن $a$ و $b$ لهما نفس الباقي $r$ في القسمة الاقليدية على $n$ .

و منه نضع $a= nq+r$ و $b=n{q}'+r$ حيث $q$ و ${q}'$ عددين صحيحين و $0\leq r<n$ .

ومنه $a-b=nq+r-n{q}'-r$

$=n\left ( q-{q}' \right )$

بما أن $q-{q}'$ عدد صحيح فإن $a-b$ مضاعف ل $n$ .

عكسيا :

نفرض $a-b$ مضاعف ل $n$ . يوجد عدد صحيح $k$ حيث أن $a-b=kn$ .

ليكن $r$ باقي قسمة $b$ على $n$ .

لدينا $b=nq+r$ حيث $q$ عدد صحيح و $0\leq r<n$ .

ومنه : $a=b+kn=nq+r+kn=\left ( q+k \right )n+r$

بما أن $q+k$ عدد صحيح و $0\leq r<n$ فإن $r$ باقي القسمة الاقليدية للعدد $a$ على $n$ .

ومنه $a$ و $b$ لهما نفس الباقي في القسمة الاقليدية على $n$ .

نتيجة :

$a$ و $b$ عددان صحيحان و $n$ عدد طبيعي غير معدوم . $a$ و $b$ متوافقان بترديد $n$ إذا و فقط إذا كان $a-b$ مضاعف ل $n$ .

خواص

خاصية 1 :

$n$ عدد طبيعي غير معدوم يختلف عن $1$ $\left ( n\geq 2 \right )$ .

كل عدد صحيح $a$ يوافق باقي قسمته على $n$ ، بترديد $n$ .

البرهان :

$a$ عدد صحيح و $r$ باقي قسمته على $n$ ، $0\leq r<n$

نعلم أن $a= nq+r$ حيث $q$ عدد صحيح . ومنه $a-r=nq$

و بالتالي $a-r$ مضاعف ل $n$ .

خاصية 2 :

$n$ عدد طبيعي غير معدوم . من أجل كل عدد صحيح $a$ لدينا $a\equiv a\left [ n \right ]$ .

البرهان :

$a$ عدد صحيح . $a$ و $a$ لهما نفس الباقي في القسمة الاقليدية على $n$ و منه $a\equiv a\left [ n \right ]$ .

خاصية 3 :

$n$ عدد طبيعي غير معدوم . $a$ و $b$ عددان صحيحان . إذا كان $a\equiv b\left [ n \right ]$ فإن $b\equiv a\left [ n \right ]$ .

البرهان :

$a$ و $b$ عددان صحيحان حيث $a\equiv b\left [ n \right ]$ .

$a\equiv b\left [ n \right ]$ يعني $a-b=kn$ ( $k$ عدد صحيح ) ومنه $b-a=-kn$ . بما أن $-k$ عدد صحيح فإن $b\equiv a\left [ n \right ]$ .

خاصية 4:

$n$ عدد طبيعي غير معدوم . $a$ ، $b$ و $c$ أعداد صحيحة . إذا كان ( $a\equiv b\left [ n \right ]$ و $b\equiv c\left [ n \right ]$ ) فإن $a\equiv c\left [ n \right ]$ .

البرهان :

$a$ ، $b$ و $c$ أعداد صحيحة . حيث أن ( $a\equiv b\left [ n \right ]$ و $b\equiv c\left [ n \right ]$ ) .

( $a\equiv b\left [ n \right ]$ و $b\equiv c\left [ n \right ]$ ) يعني ( $a-b=kn$ و $b-c={k}'n$ ) ( $k$ و ${k}'$ عددان صحيحان ) ومنه و بالجمع نحصل على $a-c=\left ( k+{k}' \right )n$

بما أن $k+{k}'$ عدد صحيح فإن $a\equiv c\left [ n \right ]$ .

خاصية 5 :

$n$ عدد طبيعي غير معدوم . $a$ ، $b$ ، $c$ و $d$ أعداد صحيحة :

إذا كان ( $a\equiv b\left [ n \right ]$ و $c\equiv d\left [ n \right ]$ ) فإن $a+c\equiv b+d\left [ n \right ]$

البرهان :

$a$ ، $b$ ، $c$ و $d$ أعداد صحيحة . حيث أن ( $a\equiv b\left [ n \right ]$ و $c\equiv d\left [ n \right ]$ )

( $a\equiv b\left [ n \right ]$ و $c\equiv d\left [ n \right ]$ ) يعني ( $a-b=kn$ و $c-d={k}'n$ ) ( $k$ و ${k}'$ عددان صحيحان ) ومنه و بالجمع نحصل على

$\left (a+c \right )-\left ( b+d \right )=\left ( k+{k}' \right )n$ بما أن $k+{k}'$ عدد صحيح فإن $a+c\equiv b+d\left [ n \right ]$ .

خاصية 6 :

$n$ عدد طبيعي غير معدوم . $a$ ، $b$ ، $c$ و $d$ أعداد صحيحة :

إذا كان ( $a\equiv b\left [ n \right ]$ و $c\equiv d\left [ n \right ]$ ) فإن $ac\equiv bd\left [ n \right ]$

البرهان :

$a$ ، $b$ ، $c$ و $d$ أعداد صحيحة . حيث أن ( $a\equiv b\left [ n \right ]$ و $c\equiv d\left [ n \right ]$ ) .

( $a\equiv b\left [ n \right ]$ و $c\equiv d\left [ n \right ]$ ) يعني ( $a-b=kn$ و $c-d={k}'n$ ) ( $k$ و ${k}'$ عددان صحيحان ) ومنه

لدينا $ac-bd=ac-ad+ad-bd=a\left ( c-d \right )+d\left ( a-b \right )$

$=a{k}'n+dkn =\left (a{k}'+dk \right )n$

بما أن $a{k}'+dk$ عدد صحيح فإن $ac\equiv bd\left [ n \right ]$ .

خاصية 7 :

$n$ عدد طبيعي غير معدوم . $a$ و $b$ عددان صحيحان .

من أجل كل عدد صحيح $k$ . إذا كان $a\equiv b\left [ n \right ]$ فإن $ka\equiv kb\left [ n \right ]$ .

البرهان :

$a$ و $b$ عددان صحيحان .حيث أن $a\equiv b\left [ n \right ]$ ليكن $k$ عدد صحيح .

$k\equiv k\left [ n \right ]$ إذن بتطبيق الخاصية 6 نحصل على $ka\equiv kb\left [ n \right ]$ .

خاصية 8 :

$n$ و $p$ عددان طبيعيان غير معدومين . $a$ و $b$ عددان صحيحان .إذا كان $a\equiv b\left [ n \right ]$ فإن $a^{p}\equiv b^{p}\left [ n \right ]$ .

البرهان :

$a$ و $b$ عددان صحيحان حيث $a\equiv b\left [ n \right ]$ .(نستعمل البرهان بالتراجع)

من أجل $p=1$ لدينا $a\equiv b\left [ n \right ]$ ترديدة صحيحة (من المعطيات )

نفرض $a^{k}\equiv b^{k}\left [ n \right ]$ صحيحة من أجل عدد طبيعي $k\geq 1$ .

بتطبيق الخاصية 7 ، $a^{k}\times a\equiv b^{k}\times b\left [ n \right ]$ أي $a^{k+1}\equiv b^{k+1}\left [ n \right ]$ إذن الخاصية وراثية ابتداءا من $p=1$ .

إذن من أجل كل عدد طبيعي غير معدوم $p$ . إذا كان $a\equiv b\left [ n \right ]$ فإن $a^{p}\equiv b^{p}\left [ n \right ]$ .

الإستدلال بالتراجع

1- مبدأ الإستدلال بالتراجع :

مسلمة : $P(n)$ خاصية متعلقة بعدد طبيعي $n$ و $n_0$ عدد طبيعي .

للبرهان على صحة الخاصية $P(n )$ من أجل كل عدد طبيعي $n$ أكبر أو يساوي $n_0$ يكفي أن :

1- نتأكد من صحة الخاصية من أجل $n_0$ أي $P(n_0)$

2- نفرض أن خاصية صحيحة من أجل عدد طبيعي كيفي $n$ أكبر أو يساوي $n_0$ أي $P(n)$ (فرضية التراجع ) و نبرهن صحة الخاصية من أجل $n+1$ أي $P(n+1)$ .

لاحظ المخطط المرفق :

الخلاصة : من أجل كل عدد طبيعي $n$ أكبر من أو يساوي $n_0$ $P(n)$ صحيحة

ملاحظة : بصفة عامة المرحلة الأولى تتمثل في عملية تحقق بسيطة لا تطرح أي مشل إلا أنها تبقى ضرورية لأنه يمكن لخاصية أن تكون وراثية و لكن خاطئة .

مثال : الخاصية : " من أجل كل عدد طبيعي $n$ , $3^n$ مضاعف للعدد $5$ "خاطئة رغم أنها وراثية . بالفعل :

إذا كان $3^n$ مضاعقا للعدد $5$ فإنه يوجد عدد صحيح $k$ بحيث $3^n=5k$ .

لدينا إذن $3^{n+1}=3\times 3^n=3(5k)=5(3K)$ و منه $3^{3+1}$ هو الآخر مضاعف للعدد $5$ .

2- مثال :

لنثبت صحة الخاصية التالية : من أجل كل عدد طبيعي $n$ غير معدوم $1++3+.....+n=\frac{n(n+1)}{2}$

المرحلة الأولى : من أجل $n=1$ لدينا $1=\frac{1\times 2}{2}$ و منه الخاصية صحيحة من أجل $n=1$

المرحلة التالية (الوراثة ) :

نفرض صحة الخاصية من أجل عدد طبيعي $n$ حيث $n\geq 1$ أي $1+2+3+.....+n=\frac{n(n+1)}{2}$

لنبرهن صحةالخاصي من أجل $n+1$ أي : $1+2+3+.....+n+(n+1)=\frac{(n+1)(n+2)}{2}$

لدينا $1+2+3+...+n+(n+1)=(1+2+3+...+n)+(n+1)=\frac{n(n+1)}{2}+(n+1)$

و منه $1+2+3+.....+n+(n+1)=\frac{n(n+1)+2(n+1)}{2}=\frac{(n+1)(n+2)}{2}$

الخلاصة : من اجل كل عدد طبيعي $n$ غير معدوم $1+2+3+....+n=\frac{n(n+1)}{2}$