ملخص الدرس / الثالثة ثانوي/رياضيات/الأعداد و الحساب/Z القسمة في

تعريف : 

a  و  b   عددان صحيحان و  a  غير معدوم

القول أن العدد a  يقسم العدد  b يعني وجود عدد صحيح حيث : 

من التعريف :

- نقول كذلك :  a  قاسم للعدد b

- أو نقول كذلك : b  مضاعف للعدد a

- نكتب    و نقرأ   a  يقسم b

ملاحظة : 

في    للعددين a  و  a- نفس القواسم 

خواص 

1)

a  و  b و   c  ثلاثة أعداد صحيحة غير معدومة 

إذا كان  a  يقسم  b و كان c   يقسم    فإن : 

a   يقسم c

2) 

a  و  b  عددان صحيحان و  a  غير معدوم 

إذا كان  a   يقسم  b  فإنه من أجل كل عدد صحيح m  :   

a  يقسم  mb

3) 

  a  و  b  عددان صحيحان و   a غير معدوم 

إذا كان  a  يقسم فإنه من أجل كل عدد صحيح غير معدوم   m :

ma   يقسم mb 

4-  

a  و  b و  c  ثلاثة أعداد صحيحة و a  غير معدوم 

إذا كان  a يقسم العددين  b  و  c  فإنه من أجل كل عددين صحيحين  m  و n :    a  يقسم  mb+nc

مبرهنة :

a عدد صحيح و   b عدد طبيعي غير معدوم 

توجد ثنائية وحيدة    من الاعداد الصحيحة حيث :

   و  

من المبرهنة :

- نسمى عملية البحث عن الثتائية     بالقسمة الاقليدية للعدد a   على العدد b

- يسمى q  و  r  بهذا الترتيب حاصل باقي القسمة الإقليدية للعدد  a على العدد b

- يمكن تمديد مفهوم القسمة الإفليدية لغدد صحيح  a  على عدد صحيح غير معدوم  b  فنحصل على :

  و  

القاسم المشترك الأكبر لعددين طبيعيين :

تعريف :

 a  و  b  عددان طبيعيان غير معدومين .    و     مجموعتا قواسم  a  و  b  على الترتيب   

     هي مجموعة القواسم المشتركة للعددين   a و  b

يسمى أكبر عنصر من المجموعة    بالقلسم المشترك الأكبر للعددين  a و b  و نركز له بـ 

  ( a غير معدوم ) 

مجموعة قواسم   0 هي 

- مجموعة قواسم المشتركة لعددين طبيعيين غير معدومين هي مجموعة قواسم قاسمهما المشترك الأكبر 

خواص القاسم المشترك الأكبر لعددين طبيعيين :  

1)   

   a  و  b   عددان طبيعيان غير معدومين حيث     و r  باقي قسمة   a على   b

2) 

القاسم المشترك الأكبر لعددين طبيعيين غير معدومين  a و  b هو آخر باقي غير معدوم في سلسلة قسمات خوارزمية إقليدس 

3) 

 a   و  b  عددان طبيعيان غير معدومين  . k عدد طبيعي غير معدوم 

4) 

 a  و  b عددان طبيعيان غير معدومين ,  d  قاسم مشترك للعددين  a و b

نضع : 

    و  

يكون   d  القاسم المشترك الأكبر للعددين  a و  b  إذا و فقط  إذا كان العددان الطبيعيان   'a و  'b  أوليين فيما بينهما 

تعريف : 

 a  و b  عددان طبيعيان غير معدومين

يكون العددان  a  و b  أوليين فيما بينها إذا و فقط إذا كان قسمهما المشترك الأكبر يساوي 1

تمديد القاسم المشترك الأكبر لعددين صحيحين : 

تعريف : 

a  و b  عددان صحيحان غير معدومين 

القاسم المشترك الاكبر للعددين  a  و  b  هو العدد الطبيعي الوحيد  d  حيث : 

خاصية :  

  a  و  b  عددان صحيحان غير معدومين  ,  k عدد صحيح غير معدوم 

 ملاحظة : 

  a  و b  عددان صحيحان غير معدومين . إذا كان  b  يقسم  a فإن : 

تعريف : 

n  عدد طبيعي غير معدوم , القول أن عددين صحيحين   a و b  متوافقان بترديد  n  يعني  أن   a  و b  لهما نفس الباقي في القسمة على n .

و نرمز بـ :     و نقرأ :   a يولفق b بترديد n

ملاحظة : 

- من أجل كل عدد صحيح   x : 

مبرهنة : 

a   و b  عددان صحيحان و n    عدد طبيعي غير معدوم 

 a  و  b   لهما نفس الباقي في القسمة الإقليدية على  n و إذا وفقط إذا كان :     مضاعف لـ n

نتيجة : 

  a و   b عددان صحيحان و  n  عدد طبيعي غير معدوم 

 a  و b   متوافقان بترديد n   إذا و فقط إذا كان    مضاعف لـ n

خواص :

1) 

  n عدد طبيعي غير معدوم يختلف عن 1

كل عدد صحيح  a  يوافق باقي قسمته على  n  بتريد n

2) 

 n  عدد طبيعي غير معدوم . من اجل كل عدد صحيح  a  لدينا : 

3) 

 n  عدد طبيعي غير معدوم .  a و b   عددان صحيحان , إذا كان     فإن :  

4) 

  n  عدد طبيعي غير معدوم  . a  وb  و c  أعدادد صحيحة 

إذا كان    و    فإن : 

5) 

  n عدد طبيعي غير معدوم . a  و  b و  c و d أعداد صحيحة 

إذا كان     و    فإن : 

6)    

 n عدد طبيعي غير معدوم .  a  و  b  و  c و  d   أعداد صحيحة 

إذا كان      و   فإن :  

7) 

 n  عدد طبيعي غير معدوم .  a و b  عددان صحيحان  .

من أجل كا عدد صحيح  k   إذا كان     فإن : 

8) 

 n  و  p  عددان طبيعيان غير معدومين .   a  و b   عددان صحيحان . 

إذا كان    فإن :  

مبرهنة : 

    عدد طبيعي غير معدوم أكبر تماما من 1, كل عدد طبيعي  a أكير من أو يساوي      يكتب بطريقة وحيدة على الشكل : 

حيث : 

    و    مع 

التعداد ذو الاساس   : 

قاعدة : 

   عدد طبيعي غير معدوم أكبر تماما من 1

يعتمد التعداد ذو الاساس    على الاصطلاحين التاليين : 

1) إذا كان     (a   عدد طبيعي ) :   a يمثل برمز وحيد يسمى وقما 

2) إذا كان    (a عدد طبيعي ) :   من المبرهنة  a  ينشر بطريقة وحيدة وفق العدد   

حيث : 

   و    مع 

يمثل العدد a   كمايلي :  

الكتابة :     هي كتابة العدد a   في النظام ذي الاسلس x

ملاحظة : 

- إذا كان    نكتب   

الاعداد الأولية : 

تعريف : 

القول أن العدد الطبيعي  n  عدد أولي معناه أن  n  يقبل قاسمين بالضبط في   :   1  و n  نفسه 

ملاحظات :

 0 غير أولي لأنه يقبل ما لا نهاية من القواسم 

 1  غير أواي لأنه قاسم واحد هو العدد 1

2 هو العدد الأولي الزمجي الوحيد 

2, 3, 5, 7, 11, 13 ,17 ,19 ,23  هي الأعداد الأولية الأصغر من 25 

خواص :

1) 

كل عدد طبيعي  n  أكبر تماما من 1     يقبل على الأقل قاسما أوليا 

2) 

كل عدد طبيعي غير أولي  n  أكبر تماما من 1    يقبل قاسما أوليا  a  حيث : 

3) 

مجموعة الأعداد الأولية غير منتهية 

طريقة : 

لمعرفة إذا كان عدد  n  أكبر تماما من 1    أوليا أم لا , نحسب 

-إذا كان    عددا طبيعيا أي  n مربع تام فإن n   غير أولي 

-إذا كان    غير طبيعي , نقسم  n  على الأعداد الأولية الأصغر من   على الترتيب 

- إذا وجدنا أحد البواقي معدوما نتوقف , و نقر أن  n  أولي 

- إذا كانت كل البولقي غير معدومة , نقر أن n  أولي . 

تحليل عدد طبيعي  إلى جداء عوامل أولية : 

مبرهنة : 

كل عدد طبيعي غير أولي  n  حيث    يمكن نحليله إلى جداء عوامل أولية .

ملاحظة : 

- نقبل بدون برهان أن كل عدد طبيعي  n  يقبل تحليلا وحيدا الى جداء عوامل أولية .

 خاصية : 

   a و  b  عددان طبيعيان كلاهما أكبر تماما من 1 

يكون العدد   b  قاسما للعدد  a  إذا و فقط إذا كان كل عامل أولي في تحليل  b  موجودا في تحليل a   و بأس إما مساو و إما أصغر من أسه في تحليل a

طريقة : 

لإيجاد عدد قواسم عدد طبيعي  a  نحلل  a  الى جداء عوامل أولية 

الى كل أس في التحليل نضيف 1 ثم نحسب جداء الأعداد المحصل عليها 

المضاعف المشترك الأصغر لعددين : 

تعريف : 

  a  و  b عددان طبيعيان غير معدومين    و    مجموعتا مضاعفات  a  و  b  على الترتيب 

    هي مجموعة المضاعفات المشتركة للعددين  a  و   b

يسمى أصغر عنصر غير معدوم من المجموعة      المضاعف النمشترك الاصغر للعددين a  و  b

و نرمز له بـ 

  المضاعف الوحيد لـ   0 هو 0

-مجموعة المضاعفات المشتركة لعددين طبيعيين غير معدومين هي مجموعة مضاعفاتت المضاعف المشترك الأصغر لهما 

تمديد المضاعف المشترك الأصغر لعددين صحيحين  : 

تعريف : 

a  و  b  عددان صحيحان غير معدومين 

المضاعف المشترك الاصغر للعددين a  و b  مو أصغر عدد طبيعي m  غير معدوم حيث: 

خاصية للمضاعف المشترك الأصغر لعددين طبيعيين : 

خاصية : 

 a  و  b  عددان طبيعيان غير معدومين  .  k  عدد صحيح غير معدوم 

حساب القاسم المشترك الأكبر باستعمال التحليل الى جداء عوامل أولية : 

خاصية : 

القاسم المشترك الأكبر لعددين طبيعيين  a و  b كلاهما أكبر تماما من   1 هو : 

جداء العوامل الأولية المشتركة في تحليلي العددين  a و  b  بحيث يؤخذ كل عامل من هذه العوامل مرة واحدة و بأصغر أس 

حساب المضاعف المشترك الأصغر باستعمال التحليل الى جداء عوامل أولية :

خاصية : 

المضاعف المشترك الأصغر لعددين طبيعيين a  و b   كللاهما أكبر تماما من 1 هو : 

جداء العوامل الأولية المشتركة في تحليل العددين  a و b  بحيث يؤخد كل عامل من هذه العوامل مرة واحدة و بأكبر أس . 

العلاقة بين المضاعف المشترك الأصغر و القاسم الأكبر : 

خاصية : 

جداء عددين طبييين  a و b   كلاهما أكبر تماما من 1 مساو لجداء قاسمهما المشترك الأكبر و مضاعفهما المشترك الأصغر . 

مبرهنة بيزو : 

مبرهنة : 

يكون عددان صحيحان a  و b   أوليين فيما بينهما إذا و فقط إذا وجد عددان صحيحان u  و  v حيث : 

خواص : 

1) 

إذا كان   d القاسم المشترك الأكبر لعددين صحيحين a  و  b   فإنه يوجد عددان صحيحان  u  و  v حيث : 

2) 

إذا كان   a عددا أوليا فإن   a أولي مع كل الأعداد التي لا يقسمها 

3) 

إذا كان  a عدد أوليا مع عددين صحيحين  b وc  فإن  a  أولي مع جدائهما 

مبرهنة غوص : 

مبرهنة : 

 a  و  b  و  c  ثلاثة أعداد صحيحة غير معدومة 

إذا كان  a  يقسم الجداء   bc و كان a أوليا  مع b   فإن :    a  يقسم c

خواص : 

1) 

 a   و  b  عددان طبيعيان غير معدومين و p  عدد أولي 

إذا كان   p  يقسم الجداء  ab  فإن :   p يقسم  a  أو p  يقسم b

2) 

 a  و b  و c ثلاثة أعداد صحيحة غير معدومة 

إذا كان  a  مضاعفا للعددين  b  و  c و كان  b  و  c   أوليين فيما بينهما فإن :  a    مضاعف للجداء bc