ملخص الدرس / الثالثة ثانوي/رياضيات/الدوال العددية/المعادلة التفاضلية

الدرس

من الأستاذ(ة) وزارة التربية الوطنية

تعاريف

معادلة تفاضلية هي معادلة :

1- المجهول فيها دالة غالبا ما نرمز اليها بالرمز $z,y$ أو حرف آخر .

2- تظهر فيها بعض المشتقات $y$ (المشتقة الأولى $y'$ أو مشتقات من رتبة أكبر $y''$ .... )

3- نسمي حلا لمعادلة تفاضلية $(E)$ في مجال $I$ كل دالة $\varphi$ تحقق $(E)$ في $I$ .

مثال : الدالة $y:x \mapsto 1+\sin x$ هي حل في $\mathbb{R}$ للمعادلة التفاضلية $y'=\cos x$

المعادلات التفاضلية من الشكل y'=f(x)

مبرهنة :

إذا كانت $f$ دالة مستمرة على مجال $I$ وكانت $F$ دالة أصلية لها على $I$ فإن حلول المعادلة التفاضلية $y'=f(x)$ هي الدوال $y$ حيث $y=F(x)+c$ مع $c$ عدد حقيقي ثابت .

البرهان :

من الواضح أن الدوال $y$ التي تحقق $y'=f(x)$ هي الدوال الأصلية للدالة $f$ على $I$ و منه إذا كانت $F$ دالة أصلية لـ $f$ على $I$ فإن الذوال الأصلية لـ $f$ على $I$ هي الدوال $x \mapsto F(x)+c$ حيث $c$ عدد حقيقي .

مثال : حلول المعادلة التفاضلية $y'=\frac{1}{x^2}$ في $]0;+\infty[$ هي الدوال $y$ حيث $y=-\frac{1}{x}+c$ مع $c$ ثابت حقيقي .

المعادلات التفاضلية من الشكل y''=f(x)

مبرهنة :

إذا كانت $f$ دالة مستمرة على مجال $I$ و إذا كانت $F$ دالة أصلية لها على $I$ و كانت $G$ دالة أصلية للدالة $F$ على $I$ فإن حلول المعادلة التفاضلية $y''=f(x)$ هي الدوال $y$ حيث : $y=G(x)+c_1x+c_2$ مع $c_1$ و $c_2$ حقيقيان ثابتان .

البرهان :

نعلم أن $y''=(y')'$ و منه $y''=f(x)$ تعني $(y')'=f(x)$ أي $y'=F(x)+c_1$ حيث :

$F$ دالة أصلية للدالة $f$ على $I$ و $c_1$ عدد حقيقي ثابت ,لدينا من جهة ثانية :

$y'=F(x)+c_1$ تعني $y=G(x)+c_1x+c_2$ حيث $G$ دالة أصلية للدالة $F$ على $c_1, I$ و $c_2$ عددان حقيقيان ثابتان .

(الدالة $F$ قابلة للاشتقاق على $I$ فهي إذن مستمرة على هذا المجال و بالتالي فهي تقبل دوال أصلية على $I$ )

مثال : حلول المعادلة التفاضلية $y''=\sin x$ في $\mathbb{R}$ هي الدوال $y$ حيث : $b,a.y=-\sin x +ax+b$ ثابتان .

المعادلات التفاضلية من الشكل y''=-w²y

مبرهنة (دون برهان ) :

إذا كان $\omega$ عددا حقييقيا غير معدوم فإن حلول المعادلة التفاضلية $y''=-\omega ^2 y$ هي الدوال $y$ حيث : $y=c_1\cos \omegax+c_2\sin \omega x$ مع $c_1$ و $c_2$ عددان حقيقيان ثابتان .

ملاحظة :

يمكننا أن نتأكد من أن الدوال $y$ حيث : $y=c_1\cos \omega x+c_2\sin \omega x$ مع $c_1$ و $c_2$ عددان حقيقيان ثابتان , حلول للمعادلة التفاضلية $y''=-\omega ^2y$ و ذلك باشتقاق الدالة $y$ مرتين .

مثال : حلول المعادلة التفاضلية $y''=-2y$ في $\mathbb{R}$ الدوال $y$ حيث : $y=c_1\cos (x\sqrt 2)+c_2\sin (x\sqrt 2)$ مع $c_1$ و $c_2$ عددان حقيقيان ثابتان .