ملخص الدرس / الثالثة ثانوي/رياضيات/الأعداد و الحساب/مبرهنة بيزو - مبرهنة غوص

الدرس

من الأستاذ(ة) وزارة التربية الوطنية

الأعداد الأولية

تعريف :

القول أن العدد الطبيعي عدد أولي معناه أن يقبل قاسمين بالضبط في $\mathbb{N}$ : و نفسه .

ملاحظات و نتائج :

غير أولي لأنه يقبل مالانهاية من القواسم .

غير أولي لأنه يقبل قاسم واحد هو .

هو العدد الأولي الزوجي الوحيد .

هي الأعداد الأولية الأصغر من .

خواص :

خاصية 1:

كل عدد طبيعي أكبر تماما من $\left (n\geq 2 \right )$ يقبل على الأقل قاسما أوليا .

خاصية 2 :

كل عدد طبيعي غير أولي أكبر تماما من $\left (n\geq 2 \right )$ يقبل على الأقل قاسما أوليا حيث $a\leq \sqrt{n}$ .

خاصية 3 :

مجموعة الأعداد الأولية غير منتهية .

تحليل عدد طبيعي إلى جداء عوامل أولية

مبرهنة :

كل عدد طبيعي غير أولي حيث $n\geq 2$ يمكن تحليله إلى جداء عوامل أولية .

خاصية :

و عددان طبيعيان كلاهما أكبر تماما من .

يكون العدد قاسما للعدد إذا وفقط إذا كان كل عامل أولي في تحليل موجودا في تحليل و باس إما مساو و إما أصغر من أسه في تحليل .

المضاعف المشترك الأصغر لعددين

عدد طبيعي غير معدوم ، نرمز ب $M_{a}$ إلى مجموعة مضاعافات .

مثال :

مجموعة مضاعفات هي $M_{6}=\left \{ 0;6;12;18;24;... \right \}$ .

ملاحظة :

المضاعف الوحيد ل هو .

1.تعريف :

و عددان طبيعيان غير معدومين . $M_{a}$ مجموعة مضاعافات ، $M_{b}$ مجموعة مضاعافات .

$M_{a}\cap M_{b}$ هي مجموعة المضاعافات المشتركة للعددين و .

يسمى أصغر عنصر غير معدوم من المجموعة $M_{a}\cap M_{b}$ المضاعف المشترك الأصغر للعددين و .

ونرمز له $PPCM\left ( a;b \right )$ .

ملاحظات :

$PPCM\left ( a;a \right )=a$ و $PPCM\left ( 1;a \right )=a$

مجموعة المضاعفات المشتركة لعددين طبيعيين غير معدومين هي مجموعة المضاعفات المضاعف المشترك الأصغر لهما .

مثال:

مجموعة مضاعفات هي $M_{6}=\left \{ 0;6;12;18;24;30;36;42;48;... \right \}$ .

مجموعة مضاعفات هي $M_{8}=\left \{ 0;8;16;24;32;40;48;... \right \}$ .

$M_{6}\cap M_{8}=\left \{ 24;48;72;96;... \right \}$ إذن $PPCM\left ( 6;8 \right )=24$

2.تمديد المضاعف المشترك الأصغر لعددين صحيحين :

تعريف :

و عددان صحيحان غير معدومين .

المضاعف المشترك الأصغر للعددين و هو أصغر عدد طبيعي غير معدوم حيث $m=PPCM\left ( \left | a \right | ;\left | b \right |\right )$

3.خاصية للمضاعف المشترك الأصغر لعددين طبيعيين :

خاصية :

و عددان طبيعيان غير معدومين . عدد صحيح غير معدوم .

$PPCM \left ( ka;kb \right )=\left | k \right |PPCM\left ( a;b \right )$

4.حساب القاسم المشترك الأكبر باستعمال التحليل إلى جداء عوامل أولية :

خاصية :

القاسم المشترك الأكبر لعددين طبيعيين و كلاهما أكبر تماما من هو جداء العوامل الأولية المشتركة في تحليلي العددين و بحيث يؤخذ كل عامل مرة واحدة و بأصغر أس .