ملخص الدرس / الثالثة ثانوي/رياضيات/الأعداد و الحساب/Z الموافقات في

الدرس

من الأستاذ(ة) وزارة التربية الوطنية

تعريف

تعريف

عدد طبيعي غير معدوم , القول أن عددين صحيحين و متوافقان بترديد يعني أن للعددين و نفس الباقي في القسمه الإقليديه على .

من التعريف

* نكتب $a\equiv b[n]$

* نقرأ يوافق بترديد

مثال

- العددان و متوافقان بترديد ونكتب $92 \equiv 27[5]$

-للعددين و نفس الباقي في القسمه على هو .

$92 \equiv 2[5]$ و $27 \equiv 2[5]$

ملاحظه

من أجل كل عدد صحيح : $x \equiv 0[1]$

مبرهنه

و عددان صحيحان , و عدد طبيعي غير معدوم . يكون للعددين و نفس الباقي في القسمه الإقليديه على إذا وفقط إذا كان مضاعفا للعدد

مثال

العدد مضاعف للعدد

ونكتب $21 \equiv 0[7]$

العددان و متوافقان بترديد

ونكتب $41 \equiv 20[7]$

للعددين و نفس الباقي في القسمه على هو

حيث $41 \equiv 6[7]$ و $20 \equiv 6[7]$

خاصيه

عدد طبيعي غير معدوم يختلف عن $(n\geq 2)$

كل عدد صحيح يوافق بترديد , باقي قسمته على n

$a \equiv r[n]$ و

حيث عدد صحيحي و

ملاحظه

إذا كان $a \equiv r[n]$ نقول عن أنه باقي قسمه على في حاله إذا كان

مثال

$16\equiv 6[5]$

ليس باقي قسمه على لأن $6\geq 5$

$16\equiv 1[5]$

باقي قسمه على هو لأن $0\leq 1\leq 5$

مبرهنة

مبرهنة:

و عددان صحيحان و عدد طبيعي غير معدوم . و لهما نفس الباقي في القسمة الاقليدية على ،إذا و فقط إذا كان مضاعف ل .

البرهان :

نفرض أن و لهما نفس الباقي في القسمة الاقليدية على .

و منه نضع و حيث و عددين صحيحين و $0\leq r<n$ .

ومنه

$=n\left ( q-{q}' \right )$

بما أن عدد صحيح فإن مضاعف ل .

عكسيا :

نفرض مضاعف ل . يوجد عدد صحيح حيث أن .

ليكن باقي قسمة على .

لدينا حيث عدد صحيح و $0\leq r<n$ .

ومنه : $a=b+kn=nq+r+kn=\left ( q+k \right )n+r$

بما أن عدد صحيح و $0\leq r<n$ فإن باقي القسمة الاقليدية للعدد على .

ومنه و لهما نفس الباقي في القسمة الاقليدية على .

نتيجة :

و عددان صحيحان و عدد طبيعي غير معدوم . و متوافقان بترديد إذا و فقط إذا كان مضاعف ل .

خواص

خاصية 1 :

عدد طبيعي غير معدوم يختلف عن $\left ( n\geq 2 \right )$ .

كل عدد صحيح يوافق باقي قسمته على ، بترديد .

البرهان :

عدد صحيح و باقي قسمته على ، $0\leq r<n$

نعلم أن حيث عدد صحيح . ومنه

و بالتالي مضاعف ل .

خاصية 2 :

عدد طبيعي غير معدوم . من أجل كل عدد صحيح لدينا $a\equiv a\left [ n \right ]$ .

البرهان :

عدد صحيح . و لهما نفس الباقي في القسمة الاقليدية على و منه $a\equiv a\left [ n \right ]$ .

خاصية 3 :

عدد طبيعي غير معدوم . و عددان صحيحان . إذا كان $a\equiv b\left [ n \right ]$ فإن $b\equiv a\left [ n \right ]$ .

البرهان :

و عددان صحيحان حيث $a\equiv b\left [ n \right ]$ .

$a\equiv b\left [ n \right ]$ يعني ( عدد صحيح ) ومنه . بما أن عدد صحيح فإن $b\equiv a\left [ n \right ]$ .

خاصية 4:

عدد طبيعي غير معدوم . ، و أعداد صحيحة . إذا كان ( $a\equiv b\left [ n \right ]$ و $b\equiv c\left [ n \right ]$ ) فإن $a\equiv c\left [ n \right ]$ .

البرهان :

، و أعداد صحيحة . حيث أن ( $a\equiv b\left [ n \right ]$ و $b\equiv c\left [ n \right ]$ ) .

( $a\equiv b\left [ n \right ]$ و $b\equiv c\left [ n \right ]$ ) يعني ( و ) ( و عددان صحيحان ) ومنه و بالجمع نحصل على $a-c=\left ( k+{k}' \right )n$

بما أن عدد صحيح فإن $a\equiv c\left [ n \right ]$ .

خاصية 5 :

عدد طبيعي غير معدوم . ، ، و أعداد صحيحة :

إذا كان ( $a\equiv b\left [ n \right ]$ و $c\equiv d\left [ n \right ]$ ) فإن $a+c\equiv b+d\left [ n \right ]$

البرهان :

، ، و أعداد صحيحة . حيث أن ( $a\equiv b\left [ n \right ]$ و $c\equiv d\left [ n \right ]$ )

( $a\equiv b\left [ n \right ]$ و $c\equiv d\left [ n \right ]$ ) يعني ( و ) ( و عددان صحيحان ) ومنه و بالجمع نحصل على

$\left (a+c \right )-\left ( b+d \right )=\left ( k+{k}' \right )n$ بما أن عدد صحيح فإن $a+c\equiv b+d\left [ n \right ]$ .

خاصية 6 :

عدد طبيعي غير معدوم . ، ، و أعداد صحيحة :

إذا كان ( $a\equiv b\left [ n \right ]$ و $c\equiv d\left [ n \right ]$ ) فإن $ac\equiv bd\left [ n \right ]$

البرهان :

، ، و أعداد صحيحة . حيث أن ( $a\equiv b\left [ n \right ]$ و $c\equiv d\left [ n \right ]$ ) .

( $a\equiv b\left [ n \right ]$ و $c\equiv d\left [ n \right ]$ ) يعني ( و ) ( و عددان صحيحان ) ومنه

لدينا $ac-bd=ac-ad+ad-bd=a\left ( c-d \right )+d\left ( a-b \right )$

$=a{k}'n+dkn =\left (a{k}'+dk \right )n$

بما أن عدد صحيح فإن $ac\equiv bd\left [ n \right ]$ .

خاصية 7 :

عدد طبيعي غير معدوم . و عددان صحيحان .

من أجل كل عدد صحيح . إذا كان $a\equiv b\left [ n \right ]$ فإن $ka\equiv kb\left [ n \right ]$ .

البرهان :

و عددان صحيحان .حيث أن $a\equiv b\left [ n \right ]$ ليكن عدد صحيح .

$k\equiv k\left [ n \right ]$ إذن بتطبيق الخاصية 6 نحصل على $ka\equiv kb\left [ n \right ]$ .

خاصية 8 :

و عددان طبيعيان غير معدومين . و عددان صحيحان .إذا كان $a\equiv b\left [ n \right ]$ فإن $a^{p}\equiv b^{p}\left [ n \right ]$ .

البرهان :

و عددان صحيحان حيث $a\equiv b\left [ n \right ]$ .(نستعمل البرهان بالتراجع)

من أجل لدينا $a\equiv b\left [ n \right ]$ ترديدة صحيحة (من المعطيات )

نفرض $a^{k}\equiv b^{k}\left [ n \right ]$ صحيحة من أجل عدد طبيعي $k\geq 1$ .

بتطبيق الخاصية 7 ، $a^{k}\times a\equiv b^{k}\times b\left [ n \right ]$ أي $a^{k+1}\equiv b^{k+1}\left [ n \right ]$ إذن الخاصية وراثية ابتداءا من .

إذن من أجل كل عدد طبيعي غير معدوم . إذا كان $a\equiv b\left [ n \right ]$ فإن $a^{p}\equiv b^{p}\left [ n \right ]$ .

الإستدلال بالتراجع

1- مبدأ الإستدلال بالتراجع :

مسلمة : خاصية متعلقة بعدد طبيعي و عدد طبيعي .

للبرهان على صحة الخاصية من أجل كل عدد طبيعي أكبر أو يساوي يكفي أن :

1- نتأكد من صحة الخاصية من أجل أي

2- نفرض أن خاصية صحيحة من أجل عدد طبيعي كيفي أكبر أو يساوي أي (فرضية التراجع ) و نبرهن صحة الخاصية من أجل أي .

لاحظ المخطط المرفق :

الخلاصة : من أجل كل عدد طبيعي أكبر من أو يساوي صحيحة

ملاحظة : بصفة عامة المرحلة الأولى تتمثل في عملية تحقق بسيطة لا تطرح أي مشل إلا أنها تبقى ضرورية لأنه يمكن لخاصية أن تكون وراثية و لكن خاطئة .

مثال : الخاصية : " من أجل كل عدد طبيعي , مضاعف للعدد "خاطئة رغم أنها وراثية . بالفعل :

إذا كان مضاعقا للعدد فإنه يوجد عدد صحيح بحيث .

لدينا إذن $3^{n+1}=3\times 3^n=3(5k)=5(3K)$ و منه $3^{3+1}$ هو الآخر مضاعف للعدد .

2- مثال :

لنثبت صحة الخاصية التالية : من أجل كل عدد طبيعي غير معدوم $1++3+.....+n=\frac{n(n+1)}{2}$

المرحلة الأولى : من أجل لدينا $1=\frac{1\times 2}{2}$ و منه الخاصية صحيحة من أجل

المرحلة التالية (الوراثة ) :

نفرض صحة الخاصية من أجل عدد طبيعي حيث $n\geq 1$ أي $1+2+3+.....+n=\frac{n(n+1)}{2}$

لنبرهن صحةالخاصي من أجل أي : $1+2+3+.....+n+(n+1)=\frac{(n+1)(n+2)}{2}$

لدينا $1+2+3+...+n+(n+1)=(1+2+3+...+n)+(n+1)=\frac{n(n+1)}{2}+(n+1)$

و منه $1+2+3+.....+n+(n+1)=\frac{n(n+1)+2(n+1)}{2}=\frac{(n+1)(n+2)}{2}$

الخلاصة : من اجل كل عدد طبيعي غير معدوم $1+2+3+....+n=\frac{n(n+1)}{2}$