ملخص الدرس / الثالثة ثانوي/رياضيات/الدوال العددية/الإشتقاقية 2

الملخص

تعريف

$f$ دالة عددية قابلة للإشتقاق على المجال المفتوح $\left ] a,b \right [$ و ${f}'$ دالتها المشتقة الأولى ، إذا كانت ${f}'$ قابلة للإشتقاق على المجال $\left ] a,b \right [$

فإن دالتها المشتقة تدعى الدالة المشتقة الثانية للدالة $f$ نرمز إليها بالرمز ${f}''$ .

مثال :

$f\left ( x \right )=x^{4}$

$f$ قابلة للإشتقاق على $\mathbb{R}$ : ${f}'\left ( x \right )=4x^{3}$ و دالتها المشتقة الثانية ${f}''\left ( x \right )=12x^{2}$ .

للمزيد من التفاصيل اليك الفيديوهات التالية :

الفيديو الأول :

الفيديو الثاني :

الفيديو الثالث :

تطبيقات

للمزيد من التفاصيل اليك الفيديوهات التالية لتمارين و دروس شاملة :

الفيديو الأول :

الفيديو الثاني :

الفيديو الثالث :

الفيديو الرابع :

المشتقة و اتجاه تغير دالة

مبرهنة (دون برهان ) :

$f$ دالة قابلة للإشتقاق على المجال $I$ من $\mathbb{R}$ .

- إذا كان من أجل كل $x$ من $f'(x)<0 ,I$ ماعدا ممكن من أجل عدد محدود من القيم التي تنعدم االدالة $f$ من أجلها فإن الدالة $f$ متزايدة تماما على $I$ ,

- إذا كان من أجل كل $x$ من $f'(x)<0,I$ ماعدا ممكن من أجل عدد محدود من االقيم التي تنعدم الدالة $f$ من أجلها فإن الدالة متناقصة تماما على $I$ .

-إذا كان كم أجل كل $x$ من $f'(x)=0, I$ فإن الدالة $f$ ثابتة على $I$ .

ملاحظة :

لتكن $f$ الدالة المعرفة على $\mathbb{R}$ بــ $f(x)=x^3$ الدالة $f$ قابلة للاشتقلق على $\mathbb{R}$ و لدينا $f'(x)=3x^2$ و منه :

من أجل كل $x$ من $\mathbb{R}^*$ $f'(x)>0,$ و $f'(0)=0$ إذن الدالة $f$ متزايدة تماما على $\mathbb{R}$ .

القيم الحدية المحلية

تعاريف :

$f$ دالة معرفة على مجال $I$ من $\mathbb{R}$ و $x_0$ عدد حقيقي من $I$ .

القول أن $f(x_0)$ قيمة حدية محلية غظمى للدالة $f$ يعني أنه يوجد مجال مفتوح $J$ محتوى في $I$ و يشمل $x_0$ بحيث من أجل كل $x$ من $f(x)\leq f(x_0),J$ .

القول أن $f(x_0)$ قيم حدية محلية صغرى للدالة $f$ يعني أنه يوجد مجال مفتوح $J$ محتوى في $I$ و يشمل $x_0$ بحيث من أجل كل $x$ من $f(x)\geq f(x_0),J$

القول أن $f(x_0)$ قيمة حدية محلية لــــ $f$ يعني أن $f(x_0)$ قيمة حدية محلية عظمى أو صغرى .

مثال :

لتكن $f$ الدالة المعرفة على $[-6;4]$ بـــــ $f(x)=\frac{1}{5}(x^3+3x^2-9x)$

و ليكن في الشكل االمقابل تمثيلها البياني . $f(-3)=\frac{27}{5}$ قيمة حدية محلية عظمى للدالة $f$ و $f(1)=-1$ قيمة حدية محلية صغرى للدالة $f$ .

مبرهنة (دون برهان ) :

$f$ دالة معرفة و قابلة لل|إشتقاق على مجال مفتوح $I$ من $\mathbb{R}$ و $x_0$ عدد حقيقي من $I$ إذا انعدمت الدالة المشتقة $f'$ عند $x_0$ مغيرة اشارتها فإن $f(x_0)$ قيمة حدية محلية للدالة $f$ .

$x$	$x_0$
$f'(x)$	$-$ $0$ $+$
$f(x)$	$\searrow$ $f(x_0)$ $\nearrow$

$x$	$x_0$
$f'(x)$	$+$ $0$ $-$
$f(x)$	$\nearrow$ $f(x_0)$ $\searrow$

مشتقة الدالة u o v

مبرهنة (دون برهان )

إذا قبلت الدالة $u$ الاشتقاق على مجال $I$ من $\mathbb{R}$ و قبلت الدالة $v$ الاشتقاق على $u(I)$ فإن الدالة $v\circ v$ تقبل الاشتقاق على $I$ و لدينا من أجل كل $x$ من $I$ :

$(v\circ u)'(x)=v'[u(x)]\times u'(x)$

مثال : لتكن $f$ الدالة المعرفة على $\mathbb{R}$ بـــ $f(x)=2(x^2+3)^2+1$

نلاحظ ان $f=v\circ u$ حيث $u:x \mapsto x^2 +3$ و $v:x \mapsto 2x^2 +1$ و منه $f'(x)=v'(x^2+1)\times u'(x)$

بعد الحساب نجد $f'(x)=4(x^2+3)\times 2x=8x(x^2+3)$

مشتق الدالة $x \mapsto \sqrt{u(x)}$ :

إذا كانت الدالة $u$ قابلة للاشتقاق على مجال $I$ من $\mathbb{R}$ و كانت موجبة تماما على $I$ فإن الدالة $\sqrt u$ تقبل الاشتقاق على $I$ و لدينا : $(\sqrt u)'=\frac{u'}{2\sqrt u}$

البرهان :

نضع $f=\sqrt u$ و منه $f=v\circ u$ حيث $v:x \mapsto \sqrt x$

الدالة $v$ تقبل الاشتقاق على $]0;+\infty[$ و لدينا $v'(x)=\frac{1}{2\sqrt x}$ بما أن من أجل كل $x$ من $I$ , $u(x)>0$ فإن $f$ تقبل الاشتقاق على $I$ و لدينا $f'=\frac{1}{2\sqrt u}\times u'=\frac{u'}{2\sqrt u}$

مشتقة الدالة $x \mapsto [u(x)]^n$ ( $n$ عدد طبيعي يحقق $n\geq 2$ )

إذا كانت الدالة $u$ قابلة للاشتقاق على مجال $I$ من $\mathbb{R}$ فإن الدالة $u^n$ تقبل الاشتقاق على $I$ و لدينا :

$(u^n)'=nu'n^{n-1}$

البرهان : نضع $f=u^n$ و منه $f=v\circ u$ حيث $v:x \mapsto x^n$

الدالة $(n\geq 2)~v$ تقبل الاشتقاق على $\mathbb{R}$ و لدينا $v'(x)=nx^{n-1}$ إذن الدالة $f$ تقبل الاشتقاق على $I$ و لدينا :

$f'=nu^{n-1}\times u'=nu'u^{n-1}$

مشتقة الدالة $x \mapsto \frac{1}{[u(x)^n]}$ ( $n$ عدد طبيعي يحقق $n\geq 1$ )

إذا كانت الدالة $u$ قابلة للاشتقاق على مجال $I$ من $\mathbb{R}$ و لاتنعدم على $I$ فإن الدالة $\frac{1}{u^n}$ تقبل الاشتقاق على $I$ و لدينا $\left ( \frac{1}{u^n} \right )'=-\frac{nu'}{u^{n+1}}$

التقريب التآلفي

خاصية :

$f$ دالة معرفة على مجال مفتوح $I$ .

إذا قبلت $f$ الاشتقاق عند $x$ من $I$ فإنه توجد دالة $\varepsilon$ بحيث من أجل كل عدد حقيقيي $h$ حيث $x+h$ ينتمي الى $I$

لدينا $f(x+h)=f(x)+hf'(x)+h\varepsilon (h)$ مع $\lim_{h\rightarrow 0}\varepsilon (h)=0$

من أجل $h$ قريب من $0$ نكتب عند ئذ $f(x+h)\approx f(x)+hf'(x)$

يسمى $f(x)+hf'(x)$ التقريب التآلفي لـ $f(x+h)$ من أجل $h$ قريب من $0$ المرفق بالدالة $f$ .

البرهان :

ليكن $x$ من $I$ من المعطياات لدينا $f$ قابلة للاشتقاق عند $x$ و منه $\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=f'(x)$

$\varepsilon (h)=\frac{f(x+h)-f(x)}{h}-f'(x)$ يكون لدينا $\lim_{h\rightarrow 0}=f'(x)-f'(x)=0$ إذن $\varepsilon (h)=\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

و منه $f(x+h)-f(x)=hf'(x)+h\varepsilon (h)$

الكتابة التفاضلية : بوضع $\Delta x=(x+h)-x$ و $\Delta y=f(x+h)-f(x)$ تكتب المساواة

$f(x+h)-f(x)=hf'(x)+h\varepsilon (h)$ كمايلي : $\Delta y=f'(x)\Delta x+ \Delta x \varepsilon (\Delta x)$

و منه التقريب $\Delta y\approx f'(x)\Delta x$ عندما يكون $\Delta x$ قريبا من $0$

نصطلح الصياغة التفاضلية التالية : $f'(x)=\frac{dy}{dx}$ أو $dy=f'(x)dx$

يستعمل هذا الترميز في العلوم الفيزيائية و بصفة عامة نكتب : $\frac{df}{dx }$ من $f'$ و $\frac{d^2f}{dx^2}$ بدلا من $f''$

و هكذا $\frac{d''f}{dx^n}$ بدلا من $f^{n}$ ,

طريقة أولر

تسمح طريقة أولر بإنشاء تمثيلات بيانية تقريبية لدالة $f$ بمعرفة $y_0=f(x_0)$ و ترتكز هذه الطريقة على التقريب التآلفي للدالة $f$ بحيث من أجل $h$ قريب من $0$ لدينا : $f(x_0+h)\approx f(x_0)+hf'(x_0)$ .

انطلاقا من النقطة $A_0(x_0;y_0)$ بحيث $f'(x_0)\neq 0$ ننشئ النقطة $A_1(x_1;y_1)$ ذات الفاصلة $x_1=x_0+h$ و التي تنتمي الى المستقيم الذي معامل توجيهه $f'(x_0)$ و المار من $A_0$ و بالتالي :

$y_1=f(x_0)+hf'(x_0)$ بما أن $f(x_0+h)\approx f(x_0)+hf'(x_0)$ من أجل $h$ قريب من $0$ فإن النقطة $A_1(x_1;y_1)$ قريبة من $(C_f)$ منحنى $f$ .

بنفس الطريقة يمكن إنشاء انطلاقا من $A_1$ النقطة $A_2(x_1+h;f(x_1)+hf'(x_1))$ و هذا يمكن على التوالي إنشاء النقط $A_n(x_n;y_n)$ حيث $x_n=x_{n-1}+h$ و $y_n=f(x_{n-1})+hf'(x_{n-1})$ مع $n\geq 1$ بربط النقط $......A_2,A_1,A_0$

نحصل على تمثيل بياني تقريبي لـــ $f$ مرتبط باختيار $h$ الذي يسمى الخطوة و نحصل على أكثر دقة كلما كان $h$ أقرا الى $0$ .

دراسة دالة مثلثية

1- تذكير حول الدالتين "جيب " و "جيب تمام " :

- الدالتان $x \mapsto \cos x$ و $x \mapsto \sin x$ معرفتان على $\mathbb{R}$ .

من أجل كل $x$ من $\mathbb{R}$ ينتمي الى $x+2\pi$ ينتمي $\mathbb{R}$ و لدينا $\cos (x+\pi)=\cos x$ و $\sin(x+2\pi)=\sin x$

نقول أن الدالتين $x\mapsto \cos x$ و $x \mapsto \sin x$ دوريتان دورهما $2\pi$

- من أجل كل $x$ من $\mathbb{R}$ ; $\cos (-x)=\cos x$ و $\sin (-x)=-\sin x$

2- الدالة "ظل " :

تعريف :

الدالة "ظل " و التي نرمز اليها بالرمز معرفة بــ $\tan x=\frac{\sin x }{\cos x}$ من أجل كل عدد حقيقي $x$ يختلف عن $\frac{\pi}{2}+k\pi$ حيث $k$ عدد صحيح $(k\in \mathbb{Z})$ .

خواص :

*من أجل كل $x$ يختلف عن $\frac{\pi}{2}+k\pi$ ; $\tan(x+\pi)=\tan x$ إذن المنحني الممثل للدالة "ظل "دورية دورها $\pi$ .

* من أجل كل $x$ يختلف عن $-\tan (-x)=-\tan x,\frac{\pi}{2}+k\pi$ إذن المنحني الممثل للدالة "ظل" متناظر يالنسبة الى مبدأ المعلم

دراسة الدالة ظل :

*من الخاصيتن السابقتين يمكن اقتصار دراسة الدالة "ظل " على المجال $\left [ 0;\frac{\pi}{2} \right [$ .

* من أجل كل $x$ يختلف عن $(\tan)'(x)=\frac{\cos^2 x+\sin^2 x}{\cos^2 x}=\frac{1}{\cos^2 x}=+\tan^2 x;\frac{\pi}{2}+k\pi$

بما أن $(tan )'(x)>0$ فإن الدالة "ظل " متزايدة تماما على كل مجال معرفة فيه .

* لدينا $\lim_{x\rightarrow \frac{\pi}{2}}\sin x=1$ و $\lim_{x\rightarrow \frac{\pi}{2}}\cos x=0$ و بما أن من أجل كل $x$ من $\cos x>0 ; \left [ 0;\frac{\pi}{2} \right [$ فإن : $\lim_{x\overset{<}{\rightarrow}\frac{\pi}{2}}\tan x=+\infty$

نستنتج أن المستقيم ذو المعادلة $x=\frac{\pi}{2}$ مستقيم مقارب للمنحنى الممثل للدالة "ظل " :

$x$	$0$ $\frac{\pi}{2}$
$(\tan )'(x)$	$+$
$\tan x$	$0$ $\nearrow$ $+\infty$