ملخص الدرس / الثالثة ثانوي/رياضيات/الدوال العددية/المستقيمات المقاربة الموازية لأحد محوري الاحداثيات

الملخص

المستقيم المقارب العمودي

في كل ما يلي:يرمز الى مجموعة تعريف دالة , اما فيرمز الى منحناها في معلم متعامد و متجانس ⟨o,i,j⟩

ملاحظة : اذا كتبنا ∞ فنقصد $\small +\infty$ او $\small -\infty$

اذا كان $\lim_{x\rightarrow a}f\left ( x )= \infty$ فان تفسيرها البياني او الهندسي هو:المنحنى بقبل مستقيم مقاربا افقيا معادلته .

المستقيم المقارب الافقي

اذا كان $lim\lim_{x\rightarrow \infty }f\left ( x ) = a$ فان تفسيرها البياني او الهندسي هو : يقبل مستقيم مقاربا افقيا معادلته ,y=a و ذلك بجوار ∞.

المستقيم المقارب المائل

لاثبات ان المستقيم : (Δ) مقارب مائل ل بجوار ∞ , يكفي ان نثبت ان : $lim\lim_{x\rightarrow \infty }(f(x)-(ax+b))= 0$ .

اذا لم تعطي لنا معادلة المستقيم المقارب المائل ,و طلب منا تعيينه , ننظر الى عبارة ,فان كانت من الشكل التالي : ,مع $\lim_{x\rightarrow \infty } h(x) =0$

فالمستقيم ذو المعادلة مستقيم مقارب ل عند ∞ .

اذا لم تتوفر الملاحظة السابقة , نعين المستقيم المقارب المائل باطريقة التالية :نحسب $\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{f(x)}{x}$ , فنجد عددا حقيقيا a غير معدوم , ثم نحسب $\lim_{x\rightarrow \infty }\left [ f(x) -ax]$ فنجد عددا حقيقيا b و تكون معادلة المستقيم المقارب المائل هي:

وفيما يلي تفاصيل اكثر في هذه الفيديوهات:

الفيديو الاول:

الفيديو الثاني:

الفيديو الثالث:

المنحني المقارب

اذا كان $\lim_{x\rightarrow \infty }(f(x)-g(x))=0$ فان تفسيرها الهندسي هو:المنحنيان و مقاربان بجوار $\small \infty$

نقطة النهاية

اذا كان $\lim_{x\rightarrow a}f(x)=b$ فان تفسيرها البياني (او الهندسي ) هو: النقطة التي احداثياتها (a,b) هي نقطة نهاية للمنحنى .

الدالة الزوجية

دالة حيث متناظرة بالنسبة الى الصفر .لاثبات ان زوجية , نبرهن من اجل كل من , ان : $f\left (- x ) =f\left ( x)$

ملاحظة هامة : اذا كانت زوجية , فيمكن انشاء القسم من على الجزء الموجب ( او السالب ) من , ثم نكمل باتناظر بانسبة الى محور التراتيب

الدالة الفردية

دالة حيث متناظرة بالنسبة الى الصفر . لاثبات ان فردية,نبرهن من اجل كل من , ان : $f\left ( -x) =-f\left ( x)$ او $f\left ( -x)+f\left ( x ) =0$

ملاحظة هامة : اذا كانت فردية , يمكن انشاء القسم من على الجزء الموجب (او السالب) من ,ثم نكمل بالتناظر بالنسبة الى مبدا المعلم .

الدالة الدورية

دالة و عدد حقيقي غير معدوم , بحيث من اجل كل من , ينتميالى . لاثبات ان دور للدالة نبرهن من اجل كل من, ان : .

ملاحظة 1: الدور للدالة هو اصغر عدد حقيقي موجب تماما يحقق العلاقة السابقة .

ملاحظة 2: اذا كانت دورية , فيمكن الاكتفاء بانشاء جزء من على مجال طوله الدور .

مركز تناظر

$\alpha$ عدد حقيقي و دالة , حيث lمتناظرة بالنسبة الى $\alpha$ .

لاثبات ان النقطة $\omega \left ( \alpha ,\beta )$ مركز تناظر للمنحنى , يكفي ان نثبت , من اجل كل من , ان :

$f(2\alpha -x) +f\left ( x)= 2\beta$ او $f\left ( \alpha -x)+f\left ( \alpha +x)= 2\beta$ .

نقطة انعطاف

بصفة عامة , اتعيين نقطة الانعطاف , نقوم بما يلي :نحسب المشتق الثاني $f'' \left ( x)$ , و ندرس اشارته , فاذا وجدنا انعدم عنذ قيمة $x_{0}$ من ,متغيرا اشارته ,فتكون النقطة ذات الفاصلة $x_{0}$ نقطة انعطاف ل

حالة خاصة : في بعض الحالات , يمكن تعيين نقطة انعطاف دن اللجوء الى المشتق الثاني $f^{''}\left ( x )$ , و ذالك اذا انعدم المشتق الاول عند قيمة $x_{}0$ نقطة انعطاف ل .

حالة اخرى : اذا كانت $\lim_{x\rightarrow 0}(\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}) =\infty$ او $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}} = -\infty$ , فالتفسير الهندسي هنا هو ان النقطة ذات الفاصلة $x_{}0$ هي نقطة انعطاف ل.

فائدة: يكون المماس موازيا لمحور التراتيب

ملاحظة: في بعض الحالات ,يفرض علينا سياق التمرين ان نعين نقطة انعطاف بالكيفية التالية :

يطلب منا ان ندرس وضعية المنحني بانسبة الى المماس عند النقطة ذات الفاصلة $x_{0}$ , فاذا وجدنا ان غير وضعيته بالنسبة اى المماس ( قبل و بعد نقطة التماس ) نستنتج ان النقطة ذات الفاصلة $x_{0}$

نقطة انعطاف ل

وفيما يلي تفاصيل اكثر في هذا الفيديو:

المماس

هناك ست صيغ -تقريبا - اطرح سؤال المماس , لكن تبقى معرفة فاصلة نقطة التماس $x_{0}$ هي المفتاح للاجابة على اى منها كما سنري .

الصيغة الاولى العادية : اكتب معادلة المماس للمنحنى عند النقطة ذات الفاصلة $x_{0}$ .

الاجابة: نكتب الدستور : $y= f'(x_{0}).(x-x_{0}) +f(x_{0})$

حيث نعوض $x_{0}$ بقيمتها المعطاة .

الصيغة الثانية : اكتب معادلة المماس عند النقطة ذات الترتيب $y_{}0$ .

الاجابة : نحل المعادلة $f(x) =y_{0}$ ,وعند تعيين الحل $x_{}0$ نكون قد عدنا الى الحالة الاولى .

الصيغة الثالثة : بين انه يوجد مماس -او اكثر - للمنحنى ميله ( او معامل التوجيه ) يساوي .

الاجابة: نحل المعادلة , وعند تعيين الحل $x_{}0$ ( او الحلول ) نكون قد عدنا كذالك الى الحالة الاولى .

الصيغة الرابعة : بين انه يوجد مماس -او اكثر - للمنحنى , يوازى المستقيم ذا المعادلة .

الاجابة : نحل المعادلة (عدنا الى الحالة الثالثة) .

الصيغة الخامسة : بين انه يوجد مماس - او اكثر - للمنحنى يعامد المستقيم ذا المعادلة .

الاجابة : نحل المعادلة $f'(x) = - \frac{1}{a}$

الصيغة السادسة : بين انه يوجد مماس -او اكثر - للمنحنى ذات الاحداثيتين $(\alpha ,\beta )$ .

الاجابة : نحل المعادلة $\beta =f'(x_{0}).(\alpha -x_{0})+f(x_{0})$ .

عند تعيين الحل $x_{0}$ ( او الحلول ) نكون قد عدنا الى الحالة الاولى .

وفيما يلي تفاصيل اكثر في هذا الفيديو:

النقطة الزاوية

اذا كان :

$\lim_{x\rightarrow x_{0}} \frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}= l_{1}$ و $\lim_{x\rightarrow x_{0}} \frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}} = l_{2}$

حيث $l_{}1$ و $l_{_{2}}$ عدان حقيقيان ( $l_{1}\neq l_{2}$ ) , فالتفسير الهندسي هو ان النقطة ذات الفاصلة $x_{0}$ : نقطة زاوية للمنحنلى .

ملاحظة 1 : قد نكتب النهيتان السابقتان على الشكل التالي :

$\lim_{h\rightarrow 0} \frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}= l_{1}$ و $\lim_{h\rightarrow 0} \frac{f(x_{0} +h) -f(x_{0})}{h} = l_{2}$

ملاحظة 2: معادلتا نصفى المماسين عند النقطة الزاوية هما:

$y= f'_{d} (x_{0}) (x-x_{0}) +f(x_{0})$ حيث $x\geq x_{0}$

و $y=f'_{g}(x_{0}) (x-x_{0}) +f(x_{0})$ مع $x\leq x_{0}$

علما ان : $f'_{g}(x_{0}) =l_{1}$ و $f'_{d} (x_{0}) = l_{2}$

تنبيه : تبقى النقطة الزاوية موجودة حتى لو كانت احدي النهايتين السابقتين عددا حقيقيا و الاخرى $+\infty$ او $-\infty$

استنتاج تمثيل بياني من اخر

بعد انشاء قد يطلب منا ان نستنتج منحنى اخر -مثلا - للدالة , ويكون الاستنتاج حسب صيغة السؤال كما سياتى :

الصيغة الاولى : استنتج حيث : $h(x)= \left | f(x) \right |$ .

الاجابة :

على المجالات التى تكون فيها $f(x)\geq 0$ ( اي يكون فيها على محور الفواصل او فوقه ).

نحصل على , و منه نظير

على المجالات التي تكون فيها ( اي يكون فيها تحت محور الفواصل )

نحصل على , و منه يكون نظير بالنسبة الى محور الفواصل .

الصيغة الثانية : استنتج منحنى حيث : $h(x)= f(\left | x \right |)$

ملاحظة : غالبا ما يطلب منا اولا ان نثبت ان زوجية .

الاجابة

اذا كان $x\geq 0$ و $x\in Df$ ( الجزء الموجب من ) نحصل على و منه ينطبق على .

نكمل الجزء المتبقى من بالتناظر بالنسبة الى محور التراتيب لان زوجية.

الصيغة الثالثة : استنتج منحنى حيث : $h(x)= f(-\left \left | x \right |)$ .

ملاحظة : غالبا ما يطلب منا اولا ان نثبت ان زوجية .

الاجابة :

اذا كان $x\leq 0$ و $x\epsilon Df$ ( الجزء السالب من ) نحصل على ; و منه ينطبق على .

نكمل الجزء المتبقى من بالتناظر بالنسبة الى محور التراتيب لان زوجية .

الصيغة الرابعة :استنتج منحنى $\boldsymbol{h}$ حيث :

الاجابة :

هو نظير بالنسبة الى محور الفواصل .

الصيغة الخامسة :استنتج منحنى الدالة حيث :

الاجابة : هو نظير بالنسبة الى محور التراتيب .

الصيغة السادسة : استنتج منحنى الدالة التى تحقق

الاجابة : هو نظير بانسبة الى مبدا المعلم .

الصيغة السابعة :استنتج منحنى الدالة التى تحقق :

حيث و عددان حقيقيان

الاجابة : نستنتج ان من بالانسحاب ذى الشعاع $\vec{v\binom{-a}{+b}}$

الصيغة الثامنة :استنتج حيث : $h(x)= f(2\alpha -x)$

الاجابة : هو نظير بالنسبة الى المستقيم ذي المعادلة

الصيغة التاسعة : استنتج حيث: $h(x)+f(2\alpha -x)= 2\beta$

الاجابة : هو نظير بالنسبة الى النقطة $\omega (\alpha ,\beta )$

فيما يلي تفاصيل اكثر في هذا الفيديو:

مع حامل محور الفواصل Cf تعيين نقطة تقاطع

لتعيين احداثيات نقطة تقاطع مع حامل محور الفواصل ,نعدم , فنحل المعادلة , حيث $x\epsilon Df$

مع حامل محور التراتيب Cf تعيين نقطة تقاطع

دالة حيث $x\epsilon Df$ , لتعيين احداثيتي نقطة تقاطع مع حامل محور التراتيب, نعدم , ومن ثم نحسب .

دراسة الوضعية النسبية لمنحنى و مستقيم

لدراسة وضعية المنحنى بالنسبة للمستقيم ذي لبمعادلة , نحسب العبارة اي و ندرس اشارتها , ونشكل جدول الوضعية

بحيث اذا كان فان فوق

اذا كان فان تحت

اذا كان فان يقطع

وفيما يلي تفاصيل اكثر في هذا الفيديو:

دراسة الوضعية النسبية لمنحنيين

لدراسة وضعية المنحنى بالنسبة الى المنحنى , نحسب العبارة , و ندرس اشارتها ,ثم نشكل جدول الوضعية :

بحيث اذا كان فان فوق

اذا كان فان تحت

اذا كان فان يقطع

نقطة التوقف

اذا كانت $^{f}$ مستمرة عند من اليمين فقط ,او من اليسار فقط

فالتفسير الهندسي هو: ان النقطة ذات الفاصلة , نقطة توقف ل

مثال : في الرسم المقابل النقطة نقطة توقف ل

نقطة الرجوع

دالة مجموعة تعريفها, و $x_{}0$ عدد حقيقي غير معزول من و منحناها في معلم $\left ( o,\bar{i},\bar{j})$ اذا كانت :

$\lim_{x\overset{< }{\rightarrow}x_{0}}\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}=+\infty$ و $\lim_{x\overset{> }{\rightarrow}x_{0}}\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}=-\infty$

او العكس بحيت تكون النهاية الاولى $-\infty$ و الثانبة $+\infty$ فان تقبل الاشتقاق عند $x_{0}$ .

و التفسيلر الهندسي هو ان النقطة ذات الفاصلة $x_{0}$ نقطة رجوع للمنحنى .

مثال في الرسم المقابل النقطتان A و B نقطتا رجوع ل

المناقشة البيانية

هناك ثلاثة انواع اساسية للمناقشة البيانية حسب قيم الوسيط الحقيقي m , و نذكر ها فيما يلي :

*المناقشة البيانية بمستقيم افقي :

و تكون المعادلة في هذه الحالة من الشكل :

مثل : او او $f(x)= m^{2}$ او $f(x)=\left | m \right |$ او ... الى اخره

لاحظ هنا : لا يوجد للمتغير في الطرف الايمن من المعادلة

*المناقشة البيانية بميثقيم مائل :

و تكون المعادلة في هذه الحالة كالاتى :

حيث عدد حقيقي ثابت غير معدوم

مثل او ..... الى اخره

*المناقشة البيانية بمستقيم يدور حول نقطة :

و تكون المعادلة في هذه الحالة من الشكل $f(x)=mx+ \alpha m+\beta$

متل او ...الى اخره

ملاحظات :

*اقتصرنا هنا على ذكر الشكال الشهيرة

* تفاصيل كل مناقشة تعالج في التطبيقات

وفيما يلي تفاصيل اكثر في هذه الفيديوهات:

الفيديو الاول:

الفيديو الثاني:

الفيديو الثالث:

الفيديو الرابع:

الفيديو الخامس:

التنبيه في بعض الاخطاء الشائعة

اخطاء مرتكبة في مفهوم نقطة الانعطاف

يعرف البعض نقطة الانعطاف بانها النقطة التى ينعدم فيها المشتق الثانى في فاصلتها متغيرا اشارته , و هذا تعريف غير صحيح , لان انعدام المشتق الثاني مع تغير اشارته هو شرط كافى لوجود نقطة انعطاف, و ليس شرطا لازما , فقد يوجد احيانا نقطة الانعطاف, مع ان الدالة غير قابلة للاشتقاق عند فاصلة هذه النقطة ( انظر -مثلا -" حالة اخري " من الفقرة 11 في الصفحة الاولى ) اما التعريف الصحيح لنقطة الانعطاف هو: نقطة االانعطاف هى النقطة التي يخترق فيها المماس المنحنى .

اخطاء مرتكبة في مفهومي نقطتي التوقف و النهاية :

يخلط البعض بين مفهومي نقطتي التوفق و النهاية, و في الحقيقة هناك فرق شاسع بينهما , و اهم ما يميزهما عن بعضهما البعض, نقطة التوقف تنتمى الى المنحنى و يتوقف عندها ,اما نقطة النهايىة فلا تنتمي الى المنحنى بل يقترب منها .

ملاحظة: اذا اردت ان تعرف متى توجد كل نقطة منهما فانظر فقرة 5- صفحة الاولى و الفقرة 19 -الصفحة الثالثة

اخطاء مرتكبة في مفهوم القيمة الحدية :

يعرف البعض القيمة الحدية على انها صورة القيمة التى ينعدم فيها المشتق و يتغير اشارته ,و هذا تعريف غير صحيح لان انعدام المشتق مع تغيير اشارته هو شرط غير كافي لوجود قيمة حدية , و ليس شرطا لازما, بمعنى قد تقبل قيمة حدية عند $x_{0}$ دون ان تكون قابلة للاشتقاق عند القيمة $x_{0}$ كحالة نقطة الرجوع - مثلا .

جدول يلخص التفسيرات الهندسية للنهايات

نهايات تتعلق بلفروع اللانهائية و نقطة النهاية :

النهاية	التفسير الهندسي	الملاحظات
$\lim_{x\rightarrow a}f(x)=0$	المستقيم ذي المعادلة lمقارب عمودي للمنحنى عند
$\lim_{x\rightarrow \infty }f(x)=a$	المستقيم ذو المعادلة مقارب افقى للمنحنى عند $\infty$	$a\neq 0$
$\lim_{x\rightarrow \infty }(f(x)-(ax+b))=0$	المستقيك ذو المعادلة مقارب مائل ل عند ∝	$a\neq 0$
$\lim_{x\rightarrow \infty }(f(x)-ax)=b$	المستقيم ذو المعادلة مقارب مائل مقارب مائل ل عند ∝	$a\neq 0$
و $\lim_{x\rightarrow \infty }h(x)=0$	المستقيم ذو المعادلة مقارب مائل ل عند ∝	$a\neq 0$
$\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{f(x)}{x}=a$ و $\lim_{x\rightarrow \infty }(f(x)-ax)=b$	المستقيم ذو المعادلة مقارب مائل ل عند ∝	$a\neq 0$
$\lim_{x\rightarrow \infty }(f(x)-g(x))=0$	المنحنيان و متقاربان عند ∝	يمكن ان نقول ايضا :المنحنى مقارب للمنحنى عند∝
$\lim_{x\rightarrow a}f(x)=b$	النقطة التى احداثياتها هي نقطة نهاية للمنحنى	انتبه الى ان النقطة النهابة لا تنتمى الى المنحنى بل يقترب منها فقط

تابع لجدول التفسيرات الهندسية للنهايات

الملاحظات	التفسير الهندسي	النهاية
النهاية تعنى ان الدالة تقبل الاشتقاق عند القيمة $x_{0}$ من اليمين	المنحنى يقبل -عند النقطة ذات الفاصلة $x_{0}$ - نصف مماس ( من اليمين) معامل توجيهه	$\lim_{h\overset{> }{\rightarrow}0}\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}=l$ ;او $\lim_{x\overset{> }{\rightarrow}x_{0}}\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}=l$ $l\epsilon R$
النهاية تعنى ان الدالة تقبل الاشتقاق عند القيمة $x_{0}$ من اليسار	المنحنى يقبل عند النقطة ذات الفاصلة $x_{0}$ نصف مماس ( من اليسار )معامل توجيههه	$\lim_{x\overset{< }{\rightarrow}x_{0}}\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}=l$ او $\lim_{x\overset{< }{\rightarrow}x_{0}}\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}=l$ $l\epsilon R$
النهاية تعنى ان الدالة لا تقبل الاشتقاق عند القيمة $x_{0}$ من اليمين	المنحنى يقبل عند النقطة ذات الفاصلة $x_{0}$ نصف مماس يوازي محور التراتيب	او $\lim_{x\overset{> }{\rightarrow}x_{0}}\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}=-\infty$ $\lim_{x\overset{> }{\rightarrow}x_{0}}\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}=+\infty$
النهاية تعني ان الدالة لا تقبل الاشتقاق عند القيمة $x_{0}$ من اليسار	لمنحنى يقبل عند النقطة ذات الفاصلة $x_{0}$ نصف مماس يوازي محولر التراتيب	$\lim_{x\overset{< }{\rightarrow}x_{0}}\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}=-\infty$ او $\lim_{x\overset{< }{\rightarrow}x_{0}}\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}=+\infty$
النهايتان تعنيان ان الدالة تقبل الاشتقاق عند القيمة $x_{0}$	المنحنى يقبل عند النقطة ذات الفاصلة $x_{0}$ مماسا معامل توجيهه	$\lim_{x\overset{< }{\rightarrow}x_{0}}\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}=l$ و $\lim_{x\overset{> }{\rightarrow}x_{0}}\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}=l$ $l\epsilon R$
النهايتان تعنيان ان الدالة لا تقبل الاشتقاق عند $x_{0}$ لاحظ هنا ان يقبل عند النقطة ذات الفاصلة $x_{0}$ نصفى مماسين معاملا توجيههما $l_{1}$ , $l_{2}$ على الترتيب لاحظ ايضا اننا حصلنا على نقطة زاوية حتى لو كانت احدي النهايتين عددا حقيقيا و الاخري $+\infty$ او $-\infty$	النقطة ذات الفاصلة $x_{0}$ هي نقطة زاوية للمنحنى	; $\lim_{x\overset{< }{\rightarrow}x_{0}}\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}=l_{1}$ $\lim_{x\overset{> }{\rightarrow}x_{0}}\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}=l_{2}$ حيث $l_{1}$ , $l_{2}$ عددان من مع $l_{1}\neq l_{2}$
النهيتان تعنيان ان الدالة تقبل الاشتقاق عند القيمة $x_{0}$ لاحظ ان النقطة ذات الفاصلة $x_{0}$ نقطة انعطاف ل $-\infty$ , نحصل على نفس التفسير الهندسي و نفس الملاحظات .	المنحنى يقبل عند النقطة ذات الفاصلة $x_{0}$ مماسا يوازي محور التراتيب	$\lim_{x\overset{< }{\rightarrow}x_{0}}\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}=+\infty$ $\lim_{x\overset{> }{\rightarrow}x_{0}}\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}=-\infty$
نهايتان تعنيان ان الدالة لا تقبل الاشتقاق عند القيمة $x_{0}$ لاحظ هنا ان يقبل عند النقطة ذات الفاصلة $x_{0}$ نصف مماس يوازي محور التراتيب اذا كانت النهاية الاولى $-\infty$ و الثانية $+\infty$ نحصل على نفس التفسير و نفس الملاحظات	لنقطة ذات الفاصلة $x_{}$ هي نقطة رجوع ل	$\lim_{x\overset{< }{\rightarrow}x_{0}}\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}=+\infty$ * $\lim_{x\overset{> }{\rightarrow}x_{0}}\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}= -\infty$