ملخص الدرس / الأولى ثانوي/رياضيات/الجبر و التحليل / عموميات على الدوال

مفهوم الدالة

تعريف : 

 جزء من . نعرف دالة  على  عندما وفق بكل عدد حقيقي   من  عددا حقيقيا وحيدا ، نرمز إليه بالرمز   .

تعابير و اصطلاحات :

* نرمز عادة إلى الدوال بالرموز 

*  جزء من  و  دالة معرفة على  :

   -  هي مجموعة تعريف الدالة .

   - إذا كان  عنصرا من   ، نسمي العدد الحقيقي  صورة   بالدالة   .

   - إذا كان العدد الحقيقي  صورة العدد الحقيقي   بالدالة  ، نقول إن  سابقة للعدد  بالدالة  .

   - للتعبير عن الدالة  ، نكتب : 

                       

        في هذه الكتابة ،  يمثل المتغير و  مرتبط بالمتغير  .

ملاحظة : 

لا يمكن أن يكون لعدد حقيقي من مجموعة التعريف عدة صور ، لكن يمكن أن يكون للصورة عدة سوابق .

التمثيل البياني لدالة

تعريف :

المستوي منسوب إلى معلم  .   دالة معرفة على جزء  من   .

التمثيل البياني ( أو المنحنى الممثل ) للدالة في المعلم  هو مجموعة النقط  حيث :  و 

إذا رمزنا إلى منحنى الدالة  بالرمز  ، نقول إن  هي معادلة  في المعلم  .

تغيرات دالة معرفة على مجال

تعريف : 

 دالة معرفة على مجال  من  .

  * متزايدة تماما على  يعني :

               من أجل كل  و  من  ، إذا كان  فإن 

  *  متناقصة تماما على  يعني :

              من أجل كل  و  من  ، إذا كان  فإن 

  *  ثابتة على  يعني : 

             من أجل كل  و  من  ، 

Chargement en cours, Veuillez patientez...

 و  في نفس ترتيب  و  .

الدالة تحفظ الترتيب .

Chargement en cours, Veuillez patientez...

 و  ليسا في نفس ترتيب  و  .

الدالة تعكس الترتيب .

ملاحظة : 

نعرف كذلك اتجاه تغير دالة كالآتي : 

 * متزايدة على  يعني : من أجل كل  و  من  ، إذا كان   فإن  .

 * متناقصة على  يعني : من أجل كل  و  من  ، إذا كان   فإن  .

القيم الحدية لدالة

تعريف : 

 دالة معرفة على مجال  من  .

* القيمة الحدية العظمى للدالة  على   ، إن وجدت ، هي أكبر صورة  تبلغها  من أجل عدد  من   .

من أجل كل  من   ،

* القيمة الحدية الصغرى للدالة  على   ، إن وجدت ، هي أصغر صورة  تبلغها  من أجل عدد  من   .

من أجل كل  من   ،

Chargement en cours, Veuillez patientez...

ملاحظة : 

يمكن  أن تبلغ دالة قيمتها الحدية العظمى أو الصغرى على مجال عند أكثر من عنصر واحد من المجال .

و القيمة الحدية تكون دائما عددا حقيقيا ( بمعنى أن  أو  لا يمكن أن يكونا قيمة حدية ) .

 

شفعية دالة

تعريف : 

جزء من  ن  دالة معرفة على .

  * نقول إن  دالة زوجية إذا كان  متناظرا بالنسبة إلى  و كان لكل  من  ،  .

  * نقول إن  دالة فرديةإذا كان  متناظرا بالنسبة إلى  و كان لكل  من  ،  .

Chargement en cours, Veuillez patientez...

بيان دالة زوجية في المستوي المنسوب إلى مغلم متعامد يكون متناظرا بالنسبة إلى محور التراتيب .

Chargement en cours, Veuillez patientez...

بيان دالة فردية في المستوي المنسوب إلى معلم يكون متناظرا بالنسبة إلى مبدا المعلم .

ملاحظة : 

للبرهان على أن  ليست دالة زوجية ( أو دالة فردية ) ، يكفي إيجاد عنصر   من مجموعة تعريفها حيث  (أو

و يعتبر التمثيل البياني للدالة وسيلة للتحقق من شفعية الدالة .

حل معادلات ومتراجحات بيانيا

 و  دالتان معرفتان على مجموعة  ،  و  منحنياهما في معلم للمستوي .

Chargement en cours, Veuillez patientez...

الدالة التآلفية

تعريف :

نسمي دالة تآلفية كل دالة  معرفة على  بالشكل  حيث  و  عددان حقيقيان مفروضان .

الخاصية المميزة للدوال التآلفية :  

مبرهنة : 

تكون الدالة  تآلفية ، إذا و فقط إذا كانت النسبة  ثابتة ، من أجل كل عددين حقيقيين مختلفين  و  .

التمثيل البياني : 

التمثيل البياني لدالة تآلفية معرفة بالعبارة  في معلم هو المستقيم  الذي معامل توجيهه  و يشمل النقطة  .

 هي الترتيب إلى المبدأ .

  هي المعادلة المبسطة للمستقيم  .

Chargement en cours, Veuillez patientez...

اتجاه تغير دالة تآلفية : 

مبرهنة : 

 دالة تآلفية معرفة على  بالشكل  .

* إذا كان   ، فإن  متناقصة تماما .

* إذا كان   ، فإن  متزايدة تماما .

جدول تغيرات دالة تآلفية : 

Chargement en cours, Veuillez patientez...

ملاحظة : في الحالة  ، تكون الدالة ثابتة .

التمثيل البياني و إشارة دالة

خواص : 

 دالة معرفة على   من  .

* تكون دالة  موجبة تماما على  إذا و فقط إذا كان تمثيلها البياني على  يقع فوق محور الفواصل .

* تكون دالة  سالبة تماما على  إذا و فقط إذا كان تمثيلها البياني على  يقع تحت محور الفواصل .

* تنعدم  من اجل  من  إذا و فقط إذا كان تمثيلها البياني يقطع محور الفواصل عند  .

إشارة  :

نعلم أن التمثيل البياني للدالة  المعرفة على  بالعبارة  حيث  وهو مستقيم معادلته  .

من جهة أخرى لدينا :  يكافئ  أي :  .

هذا يعني أن المستقيم الممثل للدالة  يقطع محور الفواصل عند  .

لدراسة إشارة  ، نحل المتراجحة  .

نميز عندئذ حالتين : 

         * الحالة 1 : 

   تكافئ 

  المستقيم الذي معادلته   يقع فوق محور الفواصل من أجل

   منه جدول إشارة  :

                                                                                     
                                                               إشارة  

         * الحالة 2 :

   تكافئ

  المستقيم الذي معادلته   يقع فوق محور الفواصل من أجل

منه جدول إشارة  :

                                                                               
                                                             إشارة  

Chargement en cours, Veuillez patientez...

 

إشارة جداء أو حاصل قسمة

خاصية : 

جداء و حاصل قسمة عددين غير معدومين و من نفس الاشارة هو عدد موجب تمام .

جداء و حاصل قسمة عددين غير معدومين و من إشارتين متعاكستين  هو عدد سالب تمام .