ملخص الدرس / الأولى ثانوي/رياضيات/الجبر و التحليل /الترتيب -المجالات-القيمة المطلقة

تعريف :

 و  عددان حقيقيان :

* القول أن  أكبر من  أو يساويه معناه   عدد موجب .

و نكتب :   معناه  .

* القول أن  أصغر من  أو يساويه معناه   عدد سالب .

و نكتب:   معناه  .

ملاحظة : 

 معناه  و  : نقول إن  أكبر من  و على محور معلمه تكون النقطة  ذات الفاصلة  على يمين النقطة   التي فاصلتها  .

معناه  و  : نقول إن  أصغر من  .

تعريف : 

مقارنة عددين   و  معناه التصريح بصحة إحدى الحالات الثلاث الآتية : 

* 

*

* 

مبرهنة : 

من أجل كل أعداد حقيقية  : إذا كان (  و  ) فإن  .

الترتيب و الجمع : 

مبرهنة :

من أجل كل أعداد حقيقية  : إذا كان   فإن  .

مبرهنة : 

من أجل كل أعداد حقيقية  : إذا كان (  و  ) فإن  .

الترتيب و الجمع : 

مبرهنة : 

  أعداد حقيقية : 

من أجل  لدينا :  يكافئ  .

من أجل  لدينا :  يكافئ  .

مبرهنة : 

من أجل كل أعداد حقيقية  :

إذا كان   و   فإن   .

مبرهنة : 

 و  عددان حقيقيان : 

* من أجل  و  لدينا :  يكافئ  .

* من أجل  و  لدينا :  يكافئ  .

مبرهنة : 

 و  عددان حقيقيان  موجبان لدينا :   يكافئ  .

مبرهنة : 

 و  عددان حقيقيان  غير معدومين من نفس الاشارة  لدينا :    يكافئ   .

مبرهنة : 

 عدد حقيقي لدينا : 

* إذا كان  فإن  .

* إذا كان  فإن  .

ملاحظة :

يمكن تعميم ترتيب قوى عدد حقيقي موجب  كما يلي :

إذا كان  محصورا بين  و  ، فإن قوى  ترتب ترتيبا تنازليا .

إذا كان   أكبر من  ، فإن قوى  ترتب ترتيبا تصاعديا .

تعريف :

 و  عددان حقيقيان حيث  .

نسمي مجالا مغلقا حداه  و  ، مجموعة  الأعداد الحقيقية  حيث  ، و نرمز إليه بالرمز  

تمثيل مجال :

يمثل المجال  هندسيا بالشكل الآتي حيث  و  نقطتان فاصلتاهما  و   على الترتيب .

أنواع المجالات : 

في المجال المغلق  العارضتان موجهتان نحو الداخل .

 هو مجال مفتوح ، العارضتان موجهتان نحو الخارج .

ملاحظات : 

* الحدان  و   ينتميان إلى المجال  و لا ينتميان إلى المجال  .

* الرمزان  و  ( يقرآن : ناقص لا نهاية ، زائد لا نهاية ) لا يمثلان عددين حقيقيين و بالتالي تكون العارضتان مفتوحتين عندهما .

تقاطع و اتحاد مجالين : 

تعريف : 

* تقاطع مجابلين  و  هو مجموعة الأعداد الحقيقية التي تنتمي إلى   و   ، و نرمز إليه بالرمز  .

* إتحاد مجابلين  و  هو مجموعة الأعداد الحقيقية التي تنتمي إلى   أو   ، و نرمز إليه بالرمز  .

القيمة المطلقة لعدد حقيقي :

تعريف : 

 عدد حقيقي ،  نقطة من مستقيم مزود بمعلم  فاصلتها  .

القيمة المطلقة للعدد  هي المسافة  ، و نرمز إليها بالرمز  ، و نكتب  .

ملاحظة : 

يمكن حساب القيمة المطلقة لعدد حقيقي  باستعمال الدالة  للحاسبة .

خواص : 

بفرض  و  عددين حقيقيين ، لدينا : 

  * 

  * 

  *

  *  مع 

  * ( المتباينة المثلثية )

ملاحظة : 

المتباينة المثلثية تصبح  عندما يكون العددان   و   من نفس الاشارة .

المسافة بين نقطتين : 

مبرهنة : 

إذا كانت  و  نقطتين من مستقيم مزود بمعلم  فاصلتاهما  ،  على الترتيب فإن  

المسافة بين عددين حقيقيين : 

تعريف :

المسافة بين عددين حقيقيين  و  هي العدد  ( أو  )

نكتب  .

الحصر : 

تعريف : 

حصر عدد حقيقي  يعني إيجاد عددين  و   بحيث  .

القيمة المطلقة ، المسافة ، المجال و الحصر :

مبرهنة : 

 عدد حقيقي ،  عدد حقيقي موجب .

من أجل كل عدد حقيقي  ،  معناه 

عناصر المجال : 

يتميز المجال  بالعناصر الىتية  :

  * مركزه ، وهو العدد الحقيقي .

  * طوله ، و هو العدد الحقيقي الموجب  .

  * نصف قطره ، وهو العدد الحقيقي الموجب  .

نتيجة : 

 عدد حقيقي كيفي و  عدد حقيقي موجب .

من أجل كل عدد حقيقي  ، النصوص الآتية متكافئة :

  *  ( في صيغة مجال ) .

  *  ( في صيغة حصر ) .

  *  ( في صيغة مسافة ) .

  *  ( في صيغة قيمة مطلقة ) .

مثال : 

تعريف : 

بفرض عدد حقيقي  و عدد عشري  و عدد طبيعي .

القول أن  قيمة مقربة عشرية إلى  للعدد  معناه المسافة من  إلى  أصغر من  بعبارة أخرى  .

و تبعا لكون  أو  ، نتحدث عن قيمة مقربة بالنقصان أو بالزيادة .