ملخص الدرس / الثآنية ثانوي/رياضيات/الجبر و التحليل/النهايات

الملخص

نهاية غير منتهية عند عدد حقيقي

1- نهاية غير منتهية عند عدد حقيقي:

مبرهنة :

$a$ عدد حقيقي

نقبل النتائج التالية : $\lim_{x\rightarrow a}\frac{1}{(x-a)^{2}}=+\infty$ ; $\lim_{\begin{matrix} x\rightarrow a & \\ x< a & \end{matrix}}\frac{1}{x-a}=-\infty$ ; $\lim_{\begin{matrix} x\rightarrow a & \\ x> a & \end{matrix}}\frac{1}{x-a}=+\infty$

2- المستقيم المقارب الموازي لمحور التراتيب :

تعريف :

$(C_{f})$ هو التمثيل البياني لدالة $f$ في معلم و $a$ عدد حقيقي ، اذا كانت النهاية ( النهاية من اليمين أو من اليسار ) للدالة $f$ عند العدد $a$ هي $+\infty$ أو $-\infty$ نقول أن المستقيم الموازي لمحور التراتيب ذو

المعادلة $x=a$ هو مستقيم مقارب للمنحنى $(C_{f})$

نهاية منتهية عند ما لانهاية

1- نهاية منتهية عند ما لانهاية :

مبرهنة :

$a$ عدد حقيقي

نقبل النتائج التالية : $\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{1}{x+a}=0$ ; $\lim_{x\rightarrow -\infty }\frac{1}{x+a}=0$

2- المستقيم المقارب الموازي لمحور الفواصل :

تعريف :

$\left ( C_{f} \right )$ هو التمثيل البياني لدالة $f$ في معلم و $b$ عدد حقيقي ، القول أن المستقيم الموازي لمحور الفواصل ذو المعادلة $x=b$ هو مستقيم مقارب للمنحنى $(C_{f})$ عند $+\infty$ أو $-\infty$ يعني أن

$\lim_{x\rightarrow +\infty }f(x)=b$ أو $\lim_{x\rightarrow -\infty }f(x)=b$ على الترتيب

عمليات على النهايات

ملاحظات :

1- يتم حساب نهاية دالة عند الحدود المفتوحة لمجموعة تعريف .

2- اذا كانت $f$ دالة قابلة للاشتقاق عند عدد حقيقي $a$ من مجموعة تعريفها فان $\lim_{x\rightarrow a}f(x)=f(a)$

3- اذا قبلت دالة $f$ نهاية عند عدد حقيقي $a$ فان هذه النهاية وحيدة

4- يمكن لدالة أن لا تقبل نهاية عند حد من حدود من مجموعة تعريفها ، فمثلا الدالة $x\rightarrow \sin x$ لا تقبل نهاية عند $+\infty$

مبرهنات أولية على النهايات :

$f$ و $g$ دالتان ، يمثل $a$ عدد حقيقي $+\infty$ أو $-\infty$ نقبل المبرهنات التالية :

1. نهاية مجموع دالتين :

$\lim_{x\rightarrow a}f(x)$	$l\in i$	$l\in i$	$l\in i$	$+\infty$	$+\infty$	$-\infty$
$\lim_{x\rightarrow a}g(x)$	${l}'\in i$	$+\infty$	$-\infty$	$+\infty$	$-\infty$	$-\infty$
$\lim_{x\rightarrow a}\left ( f(x)+g(x) \right )$	$l+{l}'$	$+\infty$	$-\infty$	$+\infty$	ح ع ت	$-\infty$

2. نهاية جداء دالتين :

$\lim_{x\rightarrow a}f(x)$	$l\in i$	$l> 0$	$l> 0$	$l< 0$	$l< 0$	$+\infty$	$+\infty$	$-\infty$	$0$	$0$
$\lim_{x\rightarrow a}g(x)$	${l}'\in i$	$+\infty$	$-\infty$	$+\infty$	$-\infty$	$+\infty$	$-\infty$	$-\infty$	$+\infty$	$-\infty$
$\lim_{x\rightarrow a}\left ( f(x)\times g(x) \right )$	$l\times {l}'$	$+\infty$	$-\infty$	$-\infty$	$+\infty$	$+\infty$	$-\infty$	$+\infty$	ح ع ت	ح ع ت

3. نهاية حاصل قسمة دالتين :

$\lim_{x\rightarrow a}f(x)$

$l\in i$

$l$

$+\infty$

$-\infty$

$0$

$+\infty$

$-\infty$

$\lim_{x\rightarrow a}g(x)$

${l}'\in i$

$+\infty$

$-\infty$

${l}'> 0$

${l}'< 0$

${l}'> 0$

${l}'< 0$

$0$

$+\infty$

$-\infty$

$+\infty$

$-\infty$

$\lim_{x\rightarrow a}\left ( \frac{f(x)}{g(x)}\right )$

$\frac{l}{{l}'}$

$0$

$+\infty$

$-\infty$

$+\infty$

ح ع ت

ملاحظة :

تسمى الحالات التي لا تسمح فيها النظريات السابقة من استنتاج النهاية بحالات عدم التعيين (ح ع ت ) .

خواص :

1. النهاية عند $+\infty$ وعند $-\infty$ لدالة كثير حدود هي نهاية حدها الأعلى درجة عند $(-\infty )+\infty$

2. النهاية عند $+\infty$ و عند $-\infty$ لدالة ناطقة هي نهاية حاصل قسمة الحدين الأعلى درجة عند $(-\infty )+\infty$

المستقيم المقارب المائل

تعريف :

ليكن $(C_{f})$ التمثيل البياني لدالة $f$ في معلم و ليكن $(\Delta )$ المستقيم ذو المعادلة : $y=ax+b$

القول أن المستقيم $(\Delta )$ مستقيم مقارب للمنحنى $(C_{f})$ عند $+\infty$ (على الترتيب عند $-\infty$ ) يعني أن : $\lim_{x\rightarrow +\infty }\left [ f(x)-(ax+b) \right ]=0$

(على الترتيب عند $\lim_{x\rightarrow -\infty }\left [ f(x)-(ax+b) \right ]=0$ )

ملاحظة :

اذا كانت الدالة $f$ معرفة كما يلي : $f(x)=ax+b+g(x)$ مع $\lim_{x\rightarrow +\infty }\left g(x)=0$ أو $\lim_{x\rightarrow -\infty }\left g(x)=0$ فمن الواضح أن المستقيم ذو المعادلة

$y=ax+b$ مستقيم مقارب مائل للمنحنى الممثل للدالة عند $+\infty$ أو $-\infty$

مثال :

نعتبر الدالة $f$ المعرفة على $\mathbb{R}-\begin{Bmatrix} 1 \end{Bmatrix}$ ب $f(x)=-3x+2+\frac{2}{(x-1)^{2}}$ و ليكن $(C_{f})$ تمثيلها البياني في معلم ، لدينا $\lim_{x\rightarrow -\infty }\frac{2}{(x-1)^{2}}=0$ و $\lim_{x\rightarrow+-\infty }\frac{2}{(x-1)^{2}}=0$ ومنه فالمستقيم $(\Delta )$ ذو المعادلة $y=-3x+2$ مستقيم مقارب مائل للمنحنى $(C_{f})$ عند $+\infty$ و $-\infty$

دراسة دالة

مخطط دراسة دالة :

1- تحديد مجموعة تعريف الدالة ان لم تعطى .

2- دراسة شفعية الدالة ( زوجية أو فردية الدالة ) ان أمكن و دورية الدالة قصد تقليص مجال الدراسة :

- اذا كانت الدالة دورية و دورها $m$ فيمكن دراستها على مجال طوله $m$

- اذا كانت الدالة زوجية أو فردية فيكفي دراستها على نصف مجال التعريف

3- حساب النهايات عند حدود مجموعة التعريف .

4- دراسة اتجاه التغير و يتم فيها ما يلي :

- حساب المشتقة على المجالات التي تقبل فيها الدالة الاشتقاق .

- دراسة اشارة المشتقة و استنتاج تغيرات الدالة .

- تحديد القيم الحدية في حالة وجودها .

5- تشكيل جدول التغيرات .

6- تحديد المستقيمات المقاربة ان وجدت .

7- التمثيل البياني للدالة و يتم فيه ما يلي :

- رسم المستقيمات المقاربة .

- تمثيل بعض النقاط المسلعدة و خاصة القيم الحدية و نقاط تقاطع المنحنى مع محوري الاحداثيات .

- رسم المماسات عند القيم الحدية و المماسات الأخرى المطلوبة في النص .

استغلال عناصر تناظرالمنحنى ان وجدت (مراكز التناظر و محاور التناظر )

نقطة الانعطاف :

تعريف :

نقطة انعطاف منحنى الدالة $f$ هي النقطة التي يقطع فيها المماس المنحنى .

ملاحظة :

المنحنى الممثل للدالة $x\rightarrow ax^{3}+bx^{2}+cx+d$ حيث $a\neq 0$ يقبل دائما مركز تناظر هي نقطة الانعطاف

دراسة دالة تناظرية

تعريف :

نسمي دالة تناظرية كل دالة من الشكل $x\rightarrow \frac{ax+b}{cx+d}$ حيث $a$ ، $b$ ، $c$ و $d$ أعداد حقيقية مع $c\neq 0$ و $ad-bc\neq 0$

ملاحظة :

نسمي المنحنى الممثل للدالة التناظرية من الشكل $\frac{ax+b}{cx+d}$ مع $c\neq 0$ و $ad-bc\neq 0$ قطعا زائدا معادلتا مستقيميه المقاربين هما : $x=-\frac{d}{c}$ و $y=\frac{a}{c}$