ملخص الدرس / الثآنية ثانوي/رياضيات/الجبر و التحليل/المعادلات المتراجحات من الدرجة 2
الملخص
من الأستاذ(ة) عقيلة طايبيالدوال كثيرة الحدود
الدالة كثير حدود :
تعريف :
نسمي دالة كثير حدود (أو كثير حدود) كل دالة معرفة على ب:
حيث عدد طبيعي و أعداد حقيقية ثابتة
أمثلة :
كل دالة ثابتة : هي دالة كثير حدود و بصفة خاصة الدالة المعدومة
الدوال : , , هي كثيرات حدود
2- درجة كثير حدود :
مبرهنة و تعريف :
كل دالة كثير حدود غير معدومة تكتب بطريقة وحيدة على الشكل : مع
يسمى العدد الطبيعي درجة كثير الحدود تسمى الأعداد معاملاته و يسمى الحد الذي درجته
أمثلة :
كل دالة ثابتة : هي كثير حدود درجته
كل دالة تآلفية : هي كثير حدود درجته
كل دالة : هي كثير حدود درجته
( تسمى أيضا ثلاثي حدود من الدرجة الثانية )
ملاحظة : درجة كثير الحدود المعدوم غير معينة
3- تساوي كثيري حدود :
مبرهنة :
يكون كثير حدود معدوما اذا و فقط اذا كانت كل معاملاته معدومة .
يكون كثيرا حدود غير معدومين متساويين اذا و فقط اذا كانا من نفس الدرجة و كانت معاملات الحدود من نفس الدرجة متساوية
مثال :
اذا كان لدينا من أجل كل عدد حقيقي
فان : و
4 - عمليات كثيرات الحدود :
تسمح قواعد الحساب الجبري من التوصل الى النتائج التالية :
1- مجموع , فرق و جداء كثيرات حدود .
2- مركب كثيري حدود هو كثير حدود .\
3- جداء كثيري حدود غير معدومين درجتاهما و على الترتيب هو كثير حدود درجته
ملاحظة : بصفة عامة حاصل قسمة كثير حدود على كثير حدود ليس كثير حدود و تسمى الدالة : دالة ناطقة .
5- جذر كثير حدود :
تعريف :
ليكن كثير حدود درجته أكبر من أو تساوي و عدد حقيقي
العدد جذر لكثير الحدود يعني
مثال :
ليكن كثير الحدود المعرف ب:
لدينا : و منه هو جذر لكثير الحدود بينما العدد ليس جذرا له لأن
6- تحليل كثير حدود باستعمال :
مبرهنة :
ليكن كثير حدود درجته أكبر من أو يساوي و عدد حقيقي .
اذا كان ( جذر لكثير الحدود ) فانه يوجد كثير حدود بحيث من أجل كل عدد حقيقي لدينا :
مثال :
ليكن كثير الحدود المعرف ب:
لدينا : و و ومنه الأعداد 1، 2 و 3 هي جذور لكثير الحدود , يمكن اذن تحليل و لدينا :
المعادلات من الدرجة الثانية
1- المعادلات من الدرجة الثانية :
تعريف :
نسمي معادلة من الدرجة الثانية ذات المجهول كل معادلة يمكن كتابتها على الشكل : حيث و أعداد حقيقية ثابتة مع
2- حل المعادلة :
نعتبر المعادلة من الدرجة الثانية ذات المجهول التالية :
باستعمال الشكل النموذجي نبرهن على المبرهنة التالية : (الجدول 1)
ملاحظة : اذا كان نقول أن المعادلة تقبل حلا مضاعفا
البرهان :
نكتب العبارة في الطرف الأول للمعادلة على شكلها النموذجي ، عندئذ نميز ثلاث حالات :
نكتب و منه
للمعادلة حلان هما ،
: ومنه للمعادلة حل وحيد هو
: لدينا ، و بالتالي ومنه المعادلة لا تقبل حلولا
مبرهنة :
لتكن المعادلة مع ، مميزها :
- اذا كان فان المعادلة تقبل حلين : ، و ينتج
- اذا كان فان المعادلة تقبل حلا مضاعفا ( نعني بحل مضاعف ، حلان متطابقان ) و ينتج
- اذا كان فان المعادلة لا تقبل حلولا و العبارة لا تحلل
مثال : حل في المعادلات التالية :
أ-
ب-
ج-
د-
الحل :
أ- تعني أي أو ومنه مجموعة الحلول هي
ب- لدينا : ; و ومنه : اذن ليس للمعادلة حلول ومنه
ج- تكافئ اذن للمعادلة حل مضاعف و منه
د- لدينا : ; و ومنه : اذن للمعادلة حلان متمايزان : و
ومنه :
3- الشكل النموذجي لثلاثي الحدود :
من أجل كل عدد حقيقي لدينا :
و بما أن فان
ومنه
بوضع نجد
تعريف :
ليكن ثلاثي حدود من الدرجة الثانية يسمى العدد مميز ثلاثي الحدود و نرمز اليه بالرمز
يسمى الشكل النموذجي لثلاثي الحدود
مثال :
نعتبر ثلاثي الحدود من الدرجة الثانية المعرف ب :
1- عين الشكل النموذجي ل
2- بين أنه من أجل كل عدد حقيقي لدينا : ، استنتج أن تقبل على قيمة حدية يطلب تحديدها
الحل :
1- من أجل كل عدد حقيقي لدينا :
ومنه : و هو الشكل النموذجي ل
2- لمقارنة بالعدد نقوم بدراسة اشارة الفرق
لدينا من السؤال الأول : و بما أن نستنتج أن اذن من أجل كل عدد حقيقي لدينا :
بما أن و فان : نستنتج أن الدالة تقبل على قيمة حدية صغرى هي و تبلغها من أجل القيمة للمتغير
المتراجحات من الدرجة الثانية
1-المتراجحات من الدرجة الثانية:
تعريف :
نسمي متراجحة من الدرجة الثانية ذات المجهول ، كل متراجحة يمكن كتابتها على أحد الشكلين التاليين ، حيث و أعداد حقيقية
ثابتة مع
2- اشارة ثلاثي الحدود
اشارة اشارة اشارة |
الحالة 1:
لدينا حيث : ;
بفرض نحصل على الجدول المقابل
الحالة 2:
لدينا حيث و منه
من أجل و اشارته هي اشارة من أجل كل
الحالة 3:
لدينا و بما أن فان من أجل كل عدد حقيقي ، اشارة هي اشارة
مبرهنة :
المعادلة لا تقبل حلولا :
من أجل كل عدد حقيقي ، اشارة هي من نفس اشارة
: المعادلة تقبل حلين متمايزين و
اشارة اشارة اشارة |
3- حل في المتراجحات :
أ-
ب-
ج-
يؤول حل متراجحة من الشكل ، ; أو الى دراسة اشارة ثلاثي
الحدود
الحل :
أ- لدينا ومنه حلول المعادلة هما : و
مجموعة الحلول هي اذن :
ب- لدينا ومنه للمعادلة حلا مضاعفا هو ، مجموعة الحلول هي اذن :
ج- لدينا ومنه ليس للمعادلة حلولا لأن مجموعة الحلول هي اذن :
مجموع و جداء حلي معادلة من الدرجة الثانية
1- حساب أحد الحلين بمعرفة الآخر :
اذا علم أحد الجذرين يمكن حساب الجذر الآخر و ذلك باستعمال المجموع أو الجداء
2- تعيين عددين علم مجموعهما و جداؤهما :
مبرهنة : يكون مجموع عددين هو و جداؤهما هو اذا و فقط اذا كانا حلين للمعادلة ذات المجهول :
3- تعيين اشارة حلي معادلة من الدرجة الثانية :
مبرهنة : نعتبر المعادلة : مع
1. اذا كان فان المعادلة (1) تقبل حلين اشارتاهما مختلفتان .
2. اذا كان و و فان المعادلة (1) تقبل حلين موجبين تماما .
3. اذا كان و و فان المعادلة (1) تقبل حلين سالبين تماما .
المتراجحات و المعادلات مضاعفة التربيع
1- المعادلات مضاعفة التربيع :
تعريف :
نسمي معادلة مضاعفة التربيع ذات المجهول ، كل معادلة يمكن كتابتها على الشكل : حيث : و أعداد حقيقية ثابتة مع
بين أن حل المعادلة يؤول الى حل الجملة :
يسمى المجهول مجهولا مساعدا .
بعد حل المعادلة نستنتج حلول المعادلة
2- المتراجحات مضاعفة التربيع :
تعريف :
نسمي متراجحة مضاعفة التربيع ذات المجهول ، كل متراجحة يمكن كتابتها على أحد الشكلين التاليين : ,
حيث و أعداد حقيقية ثابتة مع
يؤول حل متراجحة مضاعفة التربيع الى دراسة اشارة