ملخص الدرس / الثآنية ثانوي/رياضيات/الجبر و التحليل/الأشتقاقية

الدرس

عمليات على الدوال المشتقة

مشتقة مجموع دالتين :

مبرهنة :

و دالتان قابلتان للاشتقاق على مجال من $\mathbb{R}$ . الدالة $\left ( u+v \right )$ قابلة للاشتقاق على و دالتها المشتقة هي : ${\left ( u+v \right )}'={u}'+{v}'$

برهان :

من أجل كل عدد حقيقي يختلف عن . لدينا :

$\frac{\left ( u+v \right )\left ( x_{0}+h \right )-\left ( u+v \right )\left ( x_{0} \right )}{h} =\frac{u\left ( x_{0}+h \right )+v\left ( x_{0}+h \right )-u\left (x_{0} \right )-v\left ( x_{0} \right )}{h}$

$=\frac{u\left ( x_{0}+h \right )-u\left (x_{0} \right )}{h}+\frac{v\left ( x_{0}+h \right ) -v\left ( x_{0} \right )}{h}$

نضع $g_{1}\left ( h \right )=\frac{u\left ( x_{0}+h \right )-u\left (x_{0} \right )}{h}$ و $g_{2}\left ( h \right )=\frac{v\left ( x_{0}+h \right ) -v\left ( x_{0} \right )}{h}$ .

بما أن و قابلتان للاشتقاق على لدينا من أجل كل $x_{0}$ l من $\lim_{h\rightarrow 0}g_{1}\left ( h \right )={u}'\left ( x_{0} \right )$ و $\lim_{h\rightarrow 0}g_{2}\left ( h \right )={v}'\left ( x_{0} \right )$ .

و منه $\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\left ( u+v \right )\left ( x_{0}+h \right )-\left ( u+v \right )\left ( x _{0}\right )}{h}={u}'\left ( x_{0} \right )+{v}'\left ( x_{0} \right )$ و منه صحة البرهان .

مشتقة جداء دالتين :

مبرهنة :

لتكن دالتان و قابلتان للاشتقاق على مجال ( هو مجال أو اتحاد مجالات من $\mathbb{R}$ ) . الدالة $\left (u.v \right )$ قابلة للاشتقاق على و دالتها المشتقة هي : ${\left ( u.v \right )}'={u}'.v+u.{v}'$ .

حالة خاصة :

الدالة $\left ( \lambda u \right )$ ( حيث $\lambda$ عدد حقيقي ) قابلة للاشتقاق على و دالتها المشتقة هي : ${\left ( \lambda u \right )}'=\lambda {u}'$

(عمليات على الدوال المشتقة(تابع

مشتقة مقلوب دالة :

مبرهنة :

دالة قابلة للاشتقاق على مجال من $\mathbb{R}$ و لا تنعدم على الدالة $\left ( \frac{1}{v} \right )$ قابلة للاشتقاق على و دالتها المشتقة هي : ${\left ( \frac{1}{v} \right )}'=-\frac{{v}'}{v^{2}}$ .

مشتقة نسبة دالتين :

مبرهنة :

لتكن دالتان و قابلتان للاشتقاق على مجال ( هو مجال أو اتحاد مجالات من $\mathbb{R}$ ) . و لا تنعدم على .

الدالة $\left ( \frac{u}{v} \right )$ قابلة للاشتقاق على و دالتها المشتقة هي : ${\left ( \frac{u}{v} \right )}'=\frac{{u}'v-u{v}'}{v^{2}}$ .

برهان :

نلاحظ أن $\left ( \frac{u}{v} \right )$ يكتب $u\times \frac{1}{v}$ و نطبق مبرهنة مشتقة مقلوب دالة و مبرهنة مشتقة جداء دالتين .

مشتقة الدالة $f:x \mapsto u\left ( ax+b \right )$ :

مبرهنة : (تقبل بدون برهان )

قابلة للاشتقاق على مجال من $\mathbb{R}$ . و عددان حقيقيان . مجموعة الاعداد الحقيقية حيث ينتمي إلى . الدالة $f:x \mapsto u\left ( ax+b \right )$

قابلة للاشتقاق على و دالتها المشتقة هي : ${f}':x \mapsto a{u}'\left ( ax+b \right )$ حيث مشتقة الدالة على .

ملاحظة :

الدالة هي دالة مركبة من الدالة $k:x \mapsto ax+b$ متبوعة بالدالة أي $f=u\: o\: k$ .

جدول ملخص

تطبيقات الاشتقاقية

إتجاه تغير الدالة :

مبرهنة : (تقبل بدون برهان )

لتكن دالة معرفة و قابلة للاشتقاق على مجال $D_{f}$ و دالتها المشتقة .

* إذا كانت موجبة تماما ( يمكن أن تكون معدومة من أجل قيم منعزلة من $D_{f}$ ) على المجال $D_{f}$ فإن الدالة متزايدة تماما على المجال $D_{f}$ .

* إذا كانت سالبة تماما ( يمكن أن تكون معدومة من أجل قيم منعزلة من $D_{f}$ ) على المجال $D_{f}$ فإن الدالة متناقصة تماما على المجال $D_{f}$ .

* إذا كانت معدومة على المجال $D_{f}$ فإن الدالة ثابتة على المجال $D_{f}$ .

ملاحظة :

إذا كانت دالة إما متزايدة تماما و إما متناقصة تماما على مجال $D_{f}$ نقول أن الدالة رتيبة تماما على المجال $D_{f}$ .

القيم الحدية المحلية لدالة :

مبرهنة : (تقبل بدون برهان )

لتكن دالة معرفة و قابلة للاشتقاق على مجال و دالتها المشتقة .

* إذا انعدمت الدالة المشتقة عند قيمة من مغيرة إشارتها فإنه يوجد مجال مفتوح محتوى في يشمل تقبل فيه قيمة حدية $f\left ( c \right )$ . تسمى $f\left ( c \right )$ قيمة حدية محلية .

ملاحظات :

* يمكن وجود عدة قيم حدية محلية على .

* إذا انعدمت الدالة المشتقة عند قيمة من فإن الرسم البياني للدالة يقبل مماسا موازيا لحامل محور الفواصل عند النقطة التي فاصلتها .

تعليق :

في صورة شاشة الآلة $\mathrm{TI-83\: \: plus}$ المقابلة ، الرسم يمثل الدالة $f:x \mapsto x^3$ . مشتقتها ${f}':x \mapsto 3x^2$ الدالة تنعدم عند و لاتغير الإشارة

و $f\left ( 0 \right )=0$

ليست قيمة حدية محلية للدالة .

Chargement en cours, Veuillez patientez...

حصر دالة

حصر دالة :

نتائج :

لتكن دالة معرفة و قابلة للاشتقاق على مجال $\left [ a;b \right ]$ و دالتها المشتقة .

* إذا كانت الدالة متزايدة تماما على المجال $\left [ a;b \right ]$ فإن من أجل كل عدد حقيقي من المجال $\left [ a;b \right ]$ $f\left ( a \right )\leq f\left ( x \right )\leq f\left ( b \right )$ .

* إذا كانت الدالة متناقصة تماما على المجال $\left [ a;b \right ]$ فإن من أجل كل عدد حقيقي من المجال $\left [ a;b \right ]$ $f\left ( b \right )\leq f\left ( x \right )\leq f\left ( a \right )$ .

عنصر حاد من الأعلى - عنصر حاد من الأسفل :

تعريف :

لتكن دالة معرفة على مجال $D_{f}$ .

* يسمى عدد حقيقي عنصرا حادا من الأعلى للدالة على المجال $D_{f}$ إذا و فقط إذا كان من أجل كل عدد حقيقي من المجال $D_{f}$ ، $f(x)\leq k$ .

* يسمى عدد حقيقي عنصرا حادا من الأسفل للدالة على المجال $D_{f}$ إذا و فقط إذا كان من أجل كل عدد حقيقي من المجال $D_{f}$ ، $f(x)\geq k$ .

ملاحظة :

* القيمة الحدية الكبرى للدالة على المجال $D_{f}$ إن وجدت هي العنصر الحاد من الأعلى و هو أصغر العناصر الحادة من الأعلى .

* القيمة الحدية الصغرى للدالة على المجال $D_{f}$ إن وجدت هي العنصر الحاد من الأسفل و هو أكبر العناصر الحادة من الأسفل .

إتجاه تغير دالة

إتجاه تغير دالة :

مبرهنة (تقبل بدون برهان):

لتكن دالة معرفة وقابلة للإشتقاق على مجال $D_{f}$ و دالتها المشتقة.

- إذا كانت موجبة تماما (يمكن أن تكون معدومة من أجل قيم منعزلة من $D_{f}$ ) على المجال $D_{f}$ فإن الدالة متزايدة تماماً على المجال $D_{f}$ .

- إذا كانت سالبة تماماً (يمكن أن تكون معدومة من أجل قيم منعزلة من $D_{f}$ ) على المجال $D_{f}$ فإن الدالة متناقصة تماماً على المجال $D_{f}$ .

- إذا كانت معدومة على المجال $D_{f}$ فإن الدالة ثابتة على المجال $D_{f}$

ملاحظة :

إذا كانت دالة إما متزايدة تماماً وإما متناقصة تماماً على مجال $D_{f}$ نقول أن الدالة رتيبة تماماً على المجال $D_{f}$ .

مثال : لتكن الدالة المعرفة على $\mathbb{R}$ كما يلي : $f:x \mapsto -x^3 + 2$ .

الدالة قابلة للإشتقاق على $\mathbb{R}$ ودالتها المشتقة حيث : ${f}' : x \mapsto -3x^2$ .

الدالة سالبة تماماً على $\mathbb{R}^{\circ}$ وتنعدم في النقطة المعزولة إذن الدالة متناقصة تماماً على $\mathbb{R}$ .

القيم الحدية المحلية لدالة

القيم الحدية المحلية لدالة :

مبرهنة (تقبل بدون برهان) :

لتكن دالة معرفة وقابلة للإشتقاق على مجال و دالتها المشتقة.

- إذا انعدمت الدالة المشتقة عند قيمة من مغيرة إشارتها فإنه يوجد مجال مفتوح محتوى في يشمل تقبل فيه قيمة حدية ، تسمى قيمة حدية محلية.

ملاحظات :

- يمكن وجود عدة قيم حدية محلية على .

- إذا انعدمت الدالة المشتقة عند قيمة من فإن الرسم البياني للدالة يقبل مماسا موازيا لحامل محور الفواصل عند النقطة التي فاصلتها .

تعليق :

في صورة شاشة الآلة التالية، الرسم يمثل الدالة $f: x \mapsto x^3$ ، مشتقتها ${f}':x \mapsto 3x^2$ ، الدالة تنعدم عند ولا تغير الإشارة، و .

ليست قيمة حدية محلية للدالة .

حصر دالة

حصر دالة :

نتائج :

لتكن دالة معرفة وقابلة للإشتقاق على مجال $\left [ a,b \right ]$ و دالتها المشتقة.

- إذا كانت الدالة متزايدة تماماً على المجال $\left [ a,b \right ]$ فإن من أجل كل عدد حقيقي من المجال $\left [ a,b \right ]$ : ${\color{Red} f(a) \leq f(x) \leq f(b)}$ .

- إذا كانت الدالة متناقصة نماماً على المجال $\left [ a,b \right ]$ فإن من أجل كل عدد حقيقي من المجال $\left [ a,b \right ]$ : ${\color{Red} f(b) \leq f(x) \leq f(a)}$ .

مثال :

لتكن الدالة المعرفة على $\left [ -3,1 \right ]$ كما يلي : $f:x \mapsto x^2 +2x-3$ .

- الدالة قابلة للإشتقاق على $\mathbb{R}$ ودالتها المشتقة هي : ${f}' : x \mapsto 2x + 2$ .

- الدالة سالبة تماماً على $\left [ -3,-1 \right ]$ و إذن الدالة متناقصة تماماً على المجال $\left [ - 3,-1 \right [$ .

- الدالة موجبة تماماً على $\left ]-1,1 \right ]$ إذن الدالة متزايدة تماماً على المجال $\left ]-1,1 \right ]$ .

جدول التغيرات في الصورة المرفقة

من أجل كل من المجال $\left [ -3,-1 \right ]$ ، $f(-1)\leq f(x)\leq f(-3)$ أي $-4 \leqslant f(x)\leq 0$ .

من أجل كل من المجال $\left [ -1,1 \right ]$ ، $f(-1)\leq f(x)\leq f(1)$ أي $-4 \leq f(x)\leq 0$ .

عنصر حاد من الأعلى - عنصر حاد من الأسفل

عنصر حاد من الأعلى - عنصر حاد من الأسفل :

تعريف :

لتكن دالة معرفة على مجال $D_{f}$ .

- يسمى عدد حقيقي عنصراً حاداً من الأعلى للدالة على المجال $D_{f}$ إذا وفقط إذا كان من أجل كل عدد حقيقي من المجال $D_{f}$ ، ${\color{Red} f(x)\leq k}$ .

- يسمى عدد حقيقي عنصراً حاداً من الأسفل للدالة على المجال $D_{f}$ إذا وفقط إذا كان من أجل كل عدد حقيقي من المجال $D_{f}$ ، ${\color{Red} f(x)\geq k}$ .

بالنسبة للمثال السابق الدالة المعرفة على $\left [ -3,1 \right ]$ كما يلي : $f:x \mapsto x^2 +2x-3$ .

0 عنصر حاد من الأعلى و عنصر حاد من الأسفل.

ملاحظة :

- القيمة الحدية الكبرى للدالة على $D_{f}$ إن وجدت هي العنصر الحاد من الأعلى وهو أصغر العناصر الحادة من الأعلى.

- القيمة الحدية الصغرى للدالة على $D_{f}$ إن وجدت هي العنصر الحاد من الأسفل وهو أكبر العناصر الحادة من الأسفل.

ملخص الدرس / الثآنية ثانوي/رياضيات/الجبر و التحليل/الأشتقاقية

الدرس

عمليات على الدوال المشتقة

مشتقة مجموع دالتين :

مبرهنة :

برهان :

مشتقة جداء دالتين :

مبرهنة :

حالة خاصة :

(عمليات على الدوال المشتقة(تابع

مشتقة مقلوب دالة :

مبرهنة :

مشتقة نسبة دالتين :

مبرهنة :

برهان :

مشتقة الدالة :

مبرهنة : (تقبل بدون برهان )

ملاحظة :

جدول ملخص

تطبيقات الاشتقاقية

إتجاه تغير الدالة :

مبرهنة : (تقبل بدون برهان )

ملاحظة :

القيم الحدية المحلية لدالة :

مبرهنة : (تقبل بدون برهان )

ملاحظات :

تعليق :

حصر دالة

حصر دالة :

نتائج :

عنصر حاد من الأعلى - عنصر حاد من الأسفل :

تعريف :

ملاحظة :

إتجاه تغير دالة

إتجاه تغير دالة :

القيم الحدية المحلية لدالة

القيم الحدية المحلية لدالة :

حصر دالة

حصر دالة :

عنصر حاد من الأعلى - عنصر حاد من الأسفل

عنصر حاد من الأعلى - عنصر حاد من الأسفل :

مشتقة الدالة $f:x \mapsto u\left ( ax+b \right )$ :