ملخص الدرس / الثآنية ثانوي/رياضيات/الجبر و التحليل/النسب المئوية و المؤشرات

الملخص

من الأستاذ(ة) عقيلة طايبي

نسبة الجزء من الكل

نسبة الجزء من الكل:

تعريف :

لتكن $E$ المجموعة المرجعية ذات $n$ عنصرا و $A$ جزءا من $E$ ذا $a$ عنصرا.

النسبة المئوية للجزء $A$ الى الكل $E$ هو العدد $x$ حيث: $\frac{x}{100} = \frac{a}{n}$ أي $x = \frac{a}{n}100$

مثال:

انعقد مؤتمر دولي للبلدان المصنعة بحضور 40 خبيرا اقتصاديا من بينهم 22 خبيرا عربيا

-ماهي نسبة الخبراء العرب في هذا المؤتمر

الحل:

$x = \frac{a}{n}100$

$\Rightarrow x= \frac{22}{40}100 = 55 \%$

نسبة الخبراء العرب هي $55 \%$

النسبة امؤية لنسبة مئوية اخرى

النسبة امؤية لنسبة مئوية اخرى :

خاصية :

ليكن $B$ جزء من المجموعة $E$ و $A$ جزءٍ من المجموعة $B$ أي اذا كان $B$ يمثل $y \%$ من $E$ و $A$ يمثل $x \%$ من $B$ فان الجزء $A$ يمثل $x \%$ من $y \%$ من المجحموعة $E$ أي ان $A$ يمثل $\frac{x\times y}{100} \%$ من $E$

مثال:

في الجزائر يوجد $70 \%$ من الشركات الاجنبية منها $30 \%$ شركات صينية

- ما هو نسبة الشركات الصينية في الجزائر

الحل:

$\frac{x\times y}{100} \%$

$\Rightarrow\frac{30\times 70}{100} \% = 21\%$

نسبة الشركات الصينية في الجزائر $21\%$

التطورات والنسب المئوية

التطورات والنسب المئوية :

1) التعبير عن زيادة أو تخفيض :

مبرهنة:

زيادة مقدار بنسبة مؤوية $a \%$ هو ضرب هذا المقدار في $1+\frac{a}{100}$
تخفيض مقدار بنسبة مؤوية $b \%$ هو ضرب هذا المقدار في $1-\frac{b}{100}$

أمثلة:

الزيادة ب $40 \%$ هو الضرب في $1+\frac{40}{100} =1.4$

التخفيض ب $25 \%$ هو الضرب في $1-\frac{25}{100} =0.75$

الضرب في $1.085$ هو الزيادة بــ $8.5 \%$

الضرب فى $0.9$ هو التخفيض بـ $10 \%$

2) التطور المطلق و التطور النسبي :

تعريف :

ليكن $x_{0}$ القيمة الاولية لمقدار $x$ و $x_{1}$ قيمته النهائئية بعد تطور:

-نسمي التطور المطلق لهذا المقدار الفرق $x_{1}-x_{0}$ ونرمز له بـ $\Delta _{x}$

-نسمي التطور النسبي لهذا المقدار حاصل القسمة $\frac{\Delta _{x} }{x_{0}}$ أي $\frac{(x_{1}-x_{0}) }{x_{0}}$

ملاحظة :

- وحدة التطور المطلق هي نفسها وحدة المقادير المحسوبة

- التطور النسبي ليس له وحدة.

- اذا كانت نتيجة التطور النسبي او المطلق موجبة فهذا التطور يمثل زيادة اذا كانت سالبة فذا يمثل نقصان.

مثال :

كان سعر الحاسوب في بداية $2012$ حوالي $52 000$ دج ثم نهاية السنة تطور هذا المبلغ وأصبح سعر الحاسوب $42000$ دج

- احسب كل من التطور المطلق والتطور النسبي واستنتج نوعية هذا التطور

الحل:

لدينا $x_{0}=52000$ و كذلك $x_{1}=42000$

التطور المطلق لهذا المقدار الفرق $x_{1}-x_{0}$ ونرمز له بـ $\Delta _{x}$

ومنه $\Delta _{x}= x_{1}-x_{0}$

$\Delta _{x}= 42000-52000$

$\Delta _{x}= -10000$

التطور النسبي لهذا المقدار حاصل القسمة $\frac{\Delta _{x} }{x_{0}}$

اي

$\frac{(x_{1}-x_{0}) }{x_{0}}= \frac{-10000 }{52000}= -0.192$

3) المعامل الضريبي :

تعريف :

ليكن $x_{0}$ القيمة الابتدائية لمقدار و $x_{1}$ قيمته النهائئية بعد تطور.

نسمي المعامل الضريبي لهذا المقدار العدد $k$ بحيث $k = \frac{x_{1}}{x_{0}}$

ملاحظة :

> اذا اردنا حساب النسبة المئوية لتطور وكان $k$ المعامل الضريبي له فان النسبة هي $(k-1)100$

> اذا كان التطور عبارة عن زيادة فن المعامل الضريبي اكبر من 1

> اذا كان التطور عبارة عن تخفيض فان المعامل الضريبي اصغر من 1

مثال :

في المثال السابق :

لدينا $x_{0}=52000$ و كذلك $x_{1}=42000$

المعامل الضريبي : لهذا المقدار العدد $k$ بحيث

$k = \frac{x_{1}}{x_{0}}= \frac{42000}{52000}=0.81$

النسبة المئوية : لتطور هي $(k-1)100 = (0.81-1)100= -19.23\%$

بما أن $k=0.81$ اصغر من $1$ فان هذا التطور عبارة عن تخفيض

التطورات المتعاقبة :

تعريف:

اذا انخفضت قيمة ما الى تطورات متعاقبة (زيادات او تخفيضات). فان المعامل الضريبي الاجمالي يساوي جداء المعاملات الضريبية للتطورات .

$k= k_{1}\times k_{2}\times k_{3}$

$\xrightarrow[xk]{(x_{0})\overset{xk_{1}}{\rightarrow}(x_{1})\overset{xk_{2}}{\rightarrow}(x_{2})\overset{xk_{3}}{\rightarrow}(x_{3})}$

مثال :

يزيد سعر بــ $24\%$ ثم انخفض بــ $17\%$ ما هي نسبة التطور

الحل :

الزيادة $k_{1}=\left ( 1+\frac{24}{100} \right )$ الانخفاض $k_{2}=\left ( 1-\frac{17}{100} \right )$

أي

$k=k_{1}\times k_{2} =\left ( 1+\frac{24}{100}\right )\left ( 1-\frac{17}{100} \right )$

$k= 1.24\times 0.83 = 1.029$

اذن بما أن $k= 1.029$ يعني وجود زيادة

أي

$(k-1)100 = (1.029-1)100 = 2.9\%$

المؤشرات

المؤشرات :

تعريف :

لتكن سلسلة قيم $x_{0},x_{1},x_{2},.....................,x_{k}$ المرفقة بالأزمنة $t_{0},t_{1},t_{2},....................,t_{k}$ على الترتيب نأخذ $100$ كأساس في $t_{0}$ نسمي مؤشرا في الزمن $t_{i}$ العدد $I_{i}$ حيث $I_{i}=(\frac{x_{i}}{x_{0}})\times 100$