ملخص الدرس / الثآنية ثانوي/رياضيات/الجبر و التحليل/الدوال

الملخص

من الأستاذ(ة) عقيلة طايبي

الدالة و تمثيلها البياني

الدالة و تمثيلها البياني :

مفهوم الدالة :

$D_{f}$ مجال من ، الدالة هي علاقة ترفق بكل سابقة من المجال $D_{f}$ صورة واحدة فقط نرمز لها بــ

الصورة و السابقة :

اذا كان عنصرا من $D_{f}$ ، نسمي العدد الحقيقي صورة بالدالة و نسمي سابقة بالدالة

ترميز و تعابير :

- يرمز عادة للدالة بالأحرف :

- للتعبير عن الدالة نكتب :

$f: D \rightarrow R$

$x\rightarrow f(x)$

و نقرأ الدالة من في و التي ترفق بكل عنصر من العنصر من . أي أنه لايجاد نحسب

تنبيه :

حذاري من الخلط بين رمز الدالة و الذي يعبر عن صورة العدد الحقيقي بواسطة الدالة

الدوال المرجعية :

1- الدالة التآلفية : 6 - الدالة قيمة مطلقة : $\left | x \right |$

2- الدالة مربع : $x^{2}$ 7 - الدالة جب :

3- الدالة مكعب : $x^{3}$ 8 - الدالة جب تمام :

4- الدالة مقلوب : 9 - الدالة ظل :

5- الدالة جذر التربيع : $\sqrt{x}$ 10 - الدالة ظل تمام :

التمثيل البياني لدالة :

دالة و $D_{f}$ مجال تعريفها ‏ التمثيل البياني للدالة معلم للمستوي هو مجموعة النقط ! حيث :

$x\in D_{f}$ و اذا رمزنا الى منحني الدالة بالرمز $(C_{f})$ فان هي معادلة $(C_{f})$ في المعلم أنظر الشكل المقابل

نتيجة :

نقول أن النقطة $A (x_{A},y_{A})$ تنتمي الى المنحنى $(C_{f})$ اذا كان $x_{A}\in D_{f}$ و $y_{A}=f(x_{A})$

الفاصلة و الترتيبة :

دالة و تمثيلها البياني في المعلم $(0, \vec{I} , \vec{J})$ .

- فاصلة نقطة من المنحني هي محلها على المحور الأفقي للمعلم $(0, \vec{I} , \vec{J})$ و قيمتها هي السابقة .

. ترتيبة نقطةمن المنحني هي محلها على المحور العمودي للمعلم $(0, \vec{I} , \vec{J})$ و قيمتها هي الصورة .

مجال تعريف دالة

مجال التعريف :

مجال التعريف $D_{f}$ لدالة مجموعة بدئها و مجموعة وصولها هو مجموعة السوابق من التي تمتلك صورا بالدائة بعبارة أخرى مجموعتة العناصر التي من أجلها تكون موجودة.

نتيجة مباشرة :

تكون الدالة غير معرفة في المجال الذي لا يمكن فيه ايجاد صورة للسابقة بواسطة الدالة .

التفسير الهندسي :

دالة و $(C_{f})$ تمثيلها البياني ، مجال التعريف $D_{f}$ للدالة هوالمجال الذي يكون فيه لكل فاصلة ترتيبة (واحدة فقط ) بواسطة $(C_{f})$ . أي هو مجموعة الفواصل التي يمكن ايجاد ترتيبة (واحدة فقط) لها بالاسقاط على المنحني $(C_{f})$

انظر الشكل المقابل

طريقة : مجال التعريف بيانيا :

بيانيا مجموعة تعريف دالة هو اتحاد مجالات الفواصل التي لها صورة بواسطة المنحني الممثل للدالة .

تعميم الشروط :

* عبارة جبرية و دالة مجال تعريفها $D_{f}$

- تكون الدالة الناطقة معرفة اذا كان المقام غير معدوم : اذا كانت فان $D_{f} = \left \{ x\in R : *\neq 0 \right \}$

- تكون الدالة الصماء معرفة اذا كان ما تحت الجذر أكبر من أو يساوي الصفر : اذا كانت $f(x)= \sqrt{*}$ فان $D_{f} = \left \{ x\in R : *\geq 0 \right \}$

- الدوال التي تكتب من الشكل $ax^{n}+bx^{n-1} + cx^{n-2}$ مثل الدالة التآلفية و الدالة مربع و مكعب معرفة على أي $D_{f}= ] - \infty ,+\infty \left [$

- تكون دالة القيمة المطلقة معرفة على المجال الذي يكون ما بداخل القيمة المطلقة معرف عليه . اذا كانت $f(x) = \left | * \right |$ فان $D_{f}= D_{*}$

- تكون دالة الجب معرفة على المجال الذي يكون ما بداخل القوسين معرف عليه . اذا كانت فان $D_{f}= D_{*}$

- تكون دالة الجب تمام معرفة على المجال الذي يكون ما بداخل القوسين معرف عليه . اذا كانت فان $D_{f}= D_{*}$

- تكون الدالة ظل معرفة على المجال الذي يكون ما بداخل القوسين يختلف عن $\pi /2+k\pi$ . اذا كانت فان $D_{f} = \left \{ x\in R : *\neq\frac{\pi}{2} +k\pi\right \}$

- تكون الدالة ظل تمام معرفة على المجال الذي يكون ما بداخل القوسين يختلف عن $k\pi$ . اذا كانت فان $D_{f} = \left \{ x\in R : *\neq k\pi \right \}$

طريقة : مجال التعريف حسابيا :

- اذا كانت الدالة ناطقة و كان مقامها جذرا يكفي أن يكونٍ ما بداخل الجذر أكبر تماما من الصفر.

- اذا تطابق أو تكرر شرط نأخذه مرة واحدة فقط.

- حسابيا؛ مجمومة تعريف دالة هو تقاطع مجمومة عناصر كل شرط اذا تظمن شرط تعريفها عدة شروط .

تنبيه ! حذاري من التبسيط :

يجب ايجاد مجموعة تعريف الدالةّ بالشكل الذي ورد به في النص دون تبسيطها حتى وان كان ذالك ممكنا .

ملاحظة :

القيمة المطلقة لا تفرض شروط في مجال التعريف لكن احترام خواصها أثناء العمليات الحسابية.

اتجاه تغير دالة

الدالة متزايدة :

لتكن دالة عددية معرفة على $D_{f}$ و مجال من $D_{f}$ و ليكن $x_{1}$ و $x_{2}$ عددان حقيقيان ينتميان الى المجال ‏

* نقول عن الدالة أنها متزايدة على اذا كان : مهما يكن $x_{2}\geq x_{1}$ فان $f(x_{2})\geq f(x_{1})$

* نقول عن الدالة أنها متزايدة تماما على اذا كان : مهما يكن $x_{2}> x_{1}$ فان $f(x_{2})> f(x_{1})$

Chargement en cours, Veuillez patientez...

الدالة متناقصة :

لتكن دالة عددية معرفة على $D_{f}$ و مجال من $D_{f}$ و ليكن $x_{1}$ و $x_{2}$ عددان حقيقيان ينتميان الى المجال ‏

* نقول عن الدالة أنها متناقصة على اذا كان : مهما يكن $x_{2}\geq x_{1}$ فان $f(x_{2}) \leq f(x_{1})$

* نقول عن الدالة أنها متناقصة تماما على اذا كان : مهما يكن $x_{2}> x_{1}$ فان $f(x_{2})< f(x_{1})$

Chargement en cours, Veuillez patientez...

رتابة دالة :

* نقول عن الدالة أنها رتيبة اذا كانت متزايدة أو متناقصة

* نقول عن الدالة أنها رتيبة تماما اذا كانت متزايدة تماما أو متناقصة تماما .

الدالة الثابتة :

لتكن دالة عددية معرفة على $D_{f}$ و مجال من $D_{f}$ و ليكن $x_{1}$ و $x_{2}$ عددان حقيقيان ينتميان الى المجال ‏

* نقول عن الدالة أنها متناقصة على اذا كان : مهما يكن $x_{2}\geq x_{1}$ فان $f(x_{2}) = f(x_{1})$

Chargement en cours, Veuillez patientez...

تنبيه ! تغير ام اشارة :

حذاري من الخلط بين الدالة المتناقصة و السالبة ، و بين الدالة المتزايدة و الموجبة ، فالدالة يمكن أن تكون متزايدة و سالبة في نفس الوقت أي أن تكون $f(x_{2})\geq f(x_{1})< 0$ أو متناقصة و موجبة في نفس الوقت أي $f(x_{2})\leq f(x_{1})> 0$

شفعية و دورية دالة

الدالة الفردية :

دالة عددية معرفة على مجال $D_{f}$ من . تكون دالة فردية اذا تحقق ما يلي :

* مهما يكن $x\in D_{f}$ فان $-x\in D_{f}$

التفسير الهندسي :

اذا كانت دالة فردية فان التمثيل البياني لها يقبل المبدأ 0 كمركز تناظر .

Chargement en cours, Veuillez patientez...

ملاحظة :

- اذا كانت دالة فردية معرفة على $D_{f}$ ، فانه يمكن اقتصار دراستها على المجال $D_{f}\cap R_{+}$ فنرسم بيان الدالة على $D_{f}\cap R_{+}$ ثم نرسم الجزء الآخر بالتناظر بالنسبة للمبدأ 0 .

- دالة فردية معرفة على $D_{f}$ ، اذا كانت الدالة متزايدة على مجال من $D_{f}$ فانها متزايدة على المجال الذي يناظره من $D_{f}$ و العكس صحيح

الدالة الزوجية :

دالة عددية معرفة على مجال $D_{f}$ من . تكون دالة زوجية اذا تحقق ما يلي :

* مهما يكن $x\in D_{f}$ فان $-x\in D_{f}$

التفسير الهندسي :

اذا كانت دالة زوجية فان التمثيل البياني لها يقبل محور التراتيب كمحور تناظر .

Chargement en cours, Veuillez patientez...

ملاحظة :

- اذا كانت دالة زوجية معرفة على $D_{f}$ ، فانه يمكن اقتصار دراستها على المجال $D_{f}\cap R_{+}$ فنرسم بيان الدالة على $D_{f}\cap R_{+}$ ثم نرسم الجزء الآخر بالتناظر بالنسبة لمحور التراتيب .

- دالة زوجية معرفة على $D_{f}$ ، اذا كانت الدالة متزايدة على مجال من $D_{f}$ فانها متناقصة على المجال الذي يناظره من $D_{f}$ و العكس صحيح

الدالة الدورية :

دالة عددية معرفة على مجال $D_{f}$ من . تكون دالة دورية اذا تحقق ما يلي :

* مهما يكن $x\in D_{f}$ فان $(x+T)\in D_{f}$ حيث

التفسير الهندسي :

اذا كانت دالة دورية فان التمثيل البياني لها يتكرر كل مسافة من .

Chargement en cours, Veuillez patientez...

ملاحظة :

- اذا كانت دالة دورية معرفة على $D_{f}$ و دورها ، فانه يمكن اقتصار دراستها على مجال طوله ثم نكمل الرسم باستعمال انسحاب شعاعه $T.\vec{I}$

- الدوال :

* الدالة جب دورية ، دورها

* الدالة جب تمام دورية ، دورها $\pi$

* الدالة ظل دورية ، دورها $\pi$

* الدالة ظل تمام دورية ، دورها $\pi$

الدوال المرجعية

الدوال المرجعية :

1- الدالة التآلفية :

2- الدالة مربع : $x^{2}$

3- الدالة مكعب : $x^{3}$

4- الدالة مقلوب :

5- الدالة جذر التربيع : $\sqrt{x}$

6 - الدالة قيمة مطلقة : $\left | x \right |$

7 - الدالة جب :

8 - الدالة جب تمام :

9 - الدالة ظل :

10 - الدالة ظل تمام :

الدالة التآلفية

مجال التعريف :

$D_{f}= ]-\infty ,+\infty \left [$

نوع الشفعية :

الدالة التآلفية لا زوجية و لا فردية

اتجاه التغير :

اذا كان فان الدالة التآلفية متزايدة تماما على

اذا كان فان الدالة التآلفية متناقصة تماما على

جدول التغيرات :

Chargement en cours, Veuillez patientez...

الدالة مربع

مجال التعريف :

$D_{f}= ]-\infty ,+\infty \left [$

نوع الشفعية :

الدالة مربع $x^{2}$ دالة زوجية

اتجاه التغير :

اذا كان $x\in ] -\infty ,0 ]$ فان الدالة مربع $x^{2}$ متناقصة تماما على

اذا كان $x\in \left [0,+\infty\left [$ فان الدالة مربع $x^{2}$ متزايدة تماما على

جدول التغيرات :

Chargement en cours, Veuillez patientez...

الدالة مكعب

مجال التعريف :

$D_{f}= ]-\infty ,+\infty \left [$

نوع الشفعية :

االدالة مكعب $x^{3}$ دالة فردية

اتجاه التغير :

الدالة مكعب $x^{3}$ متزايدة تماما على

جدول التغيرات :

Chargement en cours, Veuillez patientez...

الدالة جذر التربيع

مجال التعريف :

$D_{f}=\left [0,+\infty\left [$

نوع الشفعية :

الدالة جذر التربيع $\sqrt{x}$ لا زوجية و لا فردية

اتجاه التغير :

الدالة جذر التربيع $\sqrt{x}$ متزايدة تماما على

جدول التغيرات :

Chargement en cours, Veuillez patientez...

الدالة قيمة مطلقة

مجال التعريف :

$D_{f}= ]-\infty ,+\infty \left [$

نوع الشفعية :

الدالة قيمة مطلقة $\left | x \right |$ دالة زوجية

اتجاه التغير :

اذا كان $x\in ] -\infty ,0 ]$ فان الدالة قيمة مطلقة $\left | x \right |$ متناقصة تماما على

اذا كان $x\in \left [0,+\infty\left [$ فان الدالة قيمة مطلقة $\left | x \right |$ متزايدة تماما على

جدول التغيرات :

Chargement en cours, Veuillez patientez...

الدالة مقلوب

مجال التعريف :

$D_{f}= ] -\infty ,0 [ \cup ] 0,+\infty [$

نوع الشفعية :

الدالة مقلوب دالة فردية

اتجاه التغير :

الدالة مقلوب متناقصة تماما على

جدول التغيرات :

Chargement en cours, Veuillez patientez...

الدالة جب

الدالة جب :

مجال التعريف :

$D_{f}= ]-\infty ,+\infty \left [$

الشفعية و الدورية :

الدالة جب فردية و دورية ، دورها $\pi$

اتجاه التغير :

الدالة جب متزايدة تماما على $]0,\frac{\pi }{2} ]$

الدالة جب متناقصة تماما على $]\frac{\pi }{2},\pi]$

جدول التغيرات :

الدالة جب تمام

الدالة جب تمام :

مجال التعريف :

$D_{f}= ]-\infty ,+\infty \left [$

الشفعية و الدورية :

الدالة جب تمام زوجية و دورية ، دورها $\pi$

اتجاه التغير :

الدالة جب تمام متزايدة تماما على $]\frac{-\pi }{2}, 0]$

الدالة جب تمام متناقصة تماما على $]0,\frac{\pi }{2} ]$

جدول التغيرات :

الدالة ظل

الدالة ظل :

مجال التعريف :

$D_{f}= R-\left \{ \frac{\pi }{2}+K\pi \right \}$

الشفعية و الدورية :

الدالة ظل فردية و دورية ، دورها $\pi$

اتجاه التغير :

االدالة ظل متزايدة تماما على

جدول التغيرات :

الدالة ظل تمام

الدالة ظل تمام :

مجال التعريف :

$D_{f}= R-\left \{ K\pi \right \}$

الشفعية و الدورية :

الدالة ظل تمام فردية و دورية ، دورها $\pi$

اتجاه التغير :

الدالة ظل تمام متناقصة تماما على

جدول التغيرات :

العمليات الجبرية

و دالتان معرفتان على $D_{f}$ و $D_{g}$ على الترتيب و $\lambda$ عدد حقيقي .

الجدول : أنظر الشكل المقابل

تركيب الدوال

تركيب الدوال :

و دالتان معرفتان على $D_{f}$ و $D_{g}$ على الترتيب بحيث من أجل كل من $D_{f}$ فان : $f(x)\in D_{g}$

مركب الدالة متبوعة بالدالة هي الدالة التي نرمز لها بـ و المعرفة على $D_{f}$ بـ : $(fog)(x)=f\left [ g(x) \right ]$

مجموعة تعريف دالة مركبة :

و دالتان معرفتان على $D_{f}$ و $D_{g}$ على الترتيب ، مجموعة تعريف الدالة هو المجال $D_{gof}$ حيث :

* $x\in D_{g}$ ( لأن السابقة هي المتغير في الدالة )

* $g(x)\in D_{f}$ ( لأن الصورة هي المتغير في الدالة )

- عملية تركيب الدوال هو عملية تجميعية أي أن :

- عملية تركيب الدوال ليس عملية تبديلية أي أن : $fog \neq gof$

اتجاه تغير مجموع دالتين :

* مجموع دالتين متزايدتين (أو متزايدتين تماما) على مجال هو دالة متزايدة (أو متزايدة تماما) على

* مجموع دالتين متناقصتين (أو متناقصتين تماما) على مجال هو دالة متناقصة (أو متناقصة تماما) على

اتجاه تغير جداء دالتين :

* جداء دالتين متزايدتين (أو متزايدتين تماما) على مجال هو دالة متزايدة (أو متزايدة تماما) على

* جداء دالتين متناقصتين (أو متناقصتين تماما) على مجال هو دالة متناقصة (أو متناقصة تماما) على

تنبيه! لا يمكن استنتاجه :

لا يمكن استنتاج اتجاه تغير مجموع أو جداء دالتين مختلفتين في اتجاه التغير لأنه لا يمكن جمع أو ضرب متبانيتين مختلفتين في الاتجاه .

اتجاه تغير مجموع دالة و عدد :

دالة معرفة على مجال من و عدد حقيقي .

* للدالة و الدالة $f\pm k$ نفس اتجاه التغير

اتجاه تغير جداء دالة و عدد :

دالة معرفة على مجال من و عدد حقيقي .

* اذا كان فان للدالة و الدالة $f\times k$ لهما نفس اتجاه التغير

* اذا كان فان للدالة و الدالة $f\times k$ مختلفتان في اتجاه التغير

اتجاه تغير مركب دالتين :

و دالتان معرفتان على $D_{f}$ و $D_{g}$ على الترتيب بحيث من أجل كل من $D_{f}$ فان : $f(x)\in D_{g}$

* اذا كانت للدالتين و نفس اتجاه التغير فان الدالة تكون متزايدة .

* اذا كانت للدالتين و اتجاه التغير مختلف فان الدالة تكون متناقصة .