ملخص الدرس / الثآنية ثانوي/رياضيات/الإحصاء و الإحتمالات/الإحصاء

الدرس

من الأستاذ(ة) وزارة التربية الوطنية

الربعيات

$.1$ تعريف :

* الربعي الأول $Q_{1}$ لسلسلة إحصائية هو اصغر قيمة للطبع الإحصائي حيث يكون $25 \%$ على الأقل من الحدود لها قيمة أصغر أو يساوي $Q_{1}$ .

* الربعي الثالث $Q_{3}$ لسلسلة إحصائية هو اصغر قيمة للطبع الإحصائي حيث يكون $75 \%$ على الأقل من الحدود لها قيمة أصغر أو يساوي $Q_{3}$ .

ملاحظة :

$Q_{1}$ و $Q_{3}$ قيمتان من السلسلة بخلاف الوسيط $Med$ الذي يمكن أن لا يكون قيمة من السلسلة .

$.2$ كيف نحدد $Q_{1}$ و $Q_{3}$ :

* بعد ترتيب القائمة ترتيبا تصاعديا ( مع كتابة كل قيمة بعدد مساو لتكرارها )

* $Q_{1}$ القيمة التي رتبتها $n$ حيث $n$ هو أصغر عدد طبيعي يحقق $n\geq \frac{N}{4}$ .

* $Q_{3}$ القيمة التي رتبتها $n$ حيث $n$ هو أصغر عدد طبيعي يحقق $n\geq \frac{3N}{4}$ .

في حالة طبع كمي متقطع :

نطبق التعريف باستخدام التكرار المجمع الصاعد أو التواتر المجمع الصاعد.

في حالة طبع كمي مستمر :

* $Q_{1}$ هي فاصلة النقطة من منحنى التواتر المجمع الصاعد التي ترتيبها $\frac{1}{4}$ .

* $Q_{3}$ هي فاصلة النقطة من منحنى التواتر المجمع الصاعد التي ترتيبها $\frac{3}{4}$ .

العشريان d1وd2

تعريف :

* العشري الأول $d_{1}$ لسلسلة إحصائية هو أصغر قيمة طبع حيث يكون $10 \%$ على الاقل من الحدود لها قيمة طبع أصغر أو تساوي $d_{1}$ .

* العشري الأول $d_{9}$ لسلسلة إحصائية هو أصغر قيمة طبع حيث يكون $90 \%$ على الاقل من الحدود لها قيمة طبع أصغر أو تساوي $d_{9}$ .

خواص الربعيات

$.1$ الإنحراف الربعي :

تعريف :

الإنحراف الربعي هو الفرق بين الربعيين الثالث و الأول . أي هو العدد $I$ حيث $I=Q_{3}-Q_{1}$

ملاحظة $1$ :

الانحراف الربعي هو مؤشر من مؤشرات التشتت .

ملاحظة $2$ :

في مضلع سلسلة مستمرة المستقيمات التي معادلاتها $x=Q_{1}$ ، $x=Med$ ، $x=Q_{3}$ تقسم المضلع إلى أربعة مجالات متساوية المساحات .

$.2$ المخطط بالعلب :

نكون مخططا بالعلب بالطريقة التالية :

* نضع قيم الطبع على محور ( أفقي أو شاقولي )

* نعين على هذا المحور القيم $min$ ، $max$ ، $Q_{1}$ ، $Med$ و $Q_{3}$ . ( القيمة الصغرى ، القيمة الكبرى ، الربعيين الأول و الثالث و الوسيط )

* نكون عندئذ مستطيلا ( العلبة ) بالتوازي مع المحور . ( طول المستطيل هو الانحراف الربعي و عرضه كيفي )

مثال : $min=1$ ، $max=9$ ، $Q_{1}=3$ ، $Med=4$ و $Q_{3}=6$ .

Chargement en cours, Veuillez patientez...

ملاحظة :

هذا المخطط يمكننا من مشاهدة تشتت توزيع إحصائي و المقارنة بين عدة سلاسل إحصائية .

$.3$ أثر تغيير تآلفي على الربعيين :

مبرهنة $1$ :

$A$ سلسلة إحصائية $\left ( x_{i},n_{i} \right )$ وسيطها $Med$ و ربيعييها الأول و الثالث هما $Q_{1}$ و $Q_{3}$

$B$ السلسلة الاحصائية $\left ( y_{i},n_{i} \right )$ بنفس التكرارات حيث من اجل كل $i$ لدينا $y_{i}=ax_{i}+b$ $\left ( a\in \mathbb{R}^{\ast },b\in \mathbb{R}^{\ast } \right )$ نرمز لوسيطها ب ${Med}'$ و اربعييها الأول و الثالث ب

${Q_{1}}'$ و ${Q_{3}}'$ على الترتيب عندئذ ${Med}'=a.Med+b$ و من أجل $a>0$ لدينا :

${Q_{1}}'=a.Q_{1}+b$ و ${Q_{3}}'=a.Q_{3}+b$ .

Chargement en cours, Veuillez patientez...

التباين و الانحراف المعياري

تعريف :

نعتبر السلسلة $\left ( x_{i},n_{i} \right )$ حيث $x_{i}$ هي قيم الطبع و $n_{i}$ تكراراتها مع $i\in \left \{ 1,2,3,...,p \right \}$ نسمي تباين السلسلة الاحصائية العدد الحقيقي الذس نرمز له بالرمز $V$ و المعرف بالعلاقة :

$V=\frac{1}{N}\left [ n_{1}\left ( x_{1}-\overline{X} \right )^{2}+n_{2}\left ( x_{2}-\overline{X} \right )^{2} +...+n_{p}\left ( x_{p}-\overline{X} \right )^{2} \right ]$

مع $N=\sum_{i=1}^{p}n_{i}$ و $\overline{X}$ الوسط الحسابي للسلسلة .

* إذا كانت $f_{i}$ هي تواترات السلسلة حيث $i\in \left \{ 1,2,3,...,p \right \}$ فإن :

$V=\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{p}n_{i}\left ( x_{i}-\overline{X} \right )^{2} =\sum_{i=1}^{p}f_{i}\left ( x_{i}-\overline{X} \right )^{2}$

يسمى العدد الحقيقي $\sqrt{V}$ الانحراف المعياري و يرمز له بالرمز $S$ ة نكتب $S=\sqrt{V}$ .

مع $f_{i}=\frac{n_{i}}{N}$ و $V$ عدد حقيقي موجب .

ملاحظة :

إذا كانت السلسلة مجمعة بالفئات ( توزيع منتظم ) نأخذ $x_{i}$ كمركز للفئة .

مبرهنة :

نعتبر السلسلة $\left ( x_{i},n_{i} \right )$ حيث $x_{i}$ هي قيم الطبع و $n_{i}$ تكراراتها مع $i\in \left \{ 1,2,3,...,p \right \}$ و $P$ عدد طبيعي أكبر تماما من $1$ .يمكن كتابة $V$ على الشكل :

$V=\frac{1}{N}\left ( n_{1} x_{1}^{2}+n_{2} x_{2}^{2} +...+n_{p} x_{p}^{2}\right )-\overline{X} ^{2} =\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{n} n_{i} x_{i}^{2}-\overline{X} ^{2}$

تستعمل هذه العبارة عادة لحساب $V$ دون حساب $\left ( x_{i}-\overline{X} \right )^{2}$

ملاحظة $1$ :

إذا كانت $x_{i}$ قيم الطبع ذات وحدات معبنة ( أطوال ، زمن ، ...) فإن $V$ يحسب بهذه الوحدات مربعة ( مساحة ، زمن مربع ، ...) و بالتالي فإن وحدة $S=\sqrt{V}$ هي وحدة $x_{i}$ .

ملاحظة $2$ :

يستعمل أحيانا مؤشر تشتت آخر يسمى الوسط الحسابي للانحرافات المطلقة و هو العدد الحقيقي $e_{m}$ حيث $e_{m}=\sum_{i=1}^{p}f_{i}\left | x_{i}-\overline{X} \right |$ مع $x_{i}$ هي قيم الطبع ، $\overline{X}$ الوسط الحسابي ،

$f_{i}$ التواترات و $i\in \left \{ 1,2,3,...,p \right \}$

خواص التباين و الانحراف المعياري

$\left ( 1 \right )$ الخاصية الأساسية :

مبرهنة :

الدالة $g$ المعرفة كما يلي $g\left ( a \right )=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{p}n_{i}\left ( x_{i}-a \right )^{2}$ تقبل قيمة حدية صغرى عندما $a=\overline{X}$ هذه القيمة هي التباين $V$ مع $x_{i}$ قيم الطبع ، $n_{i}$ تكراراتها ،

$\sum_{i=1}^{p}n_{i}=N$

$\left ( 2 \right )$ التغيير التآلفي :

مبرهنة :

إذا كانت $\left ( x_{i},n_{i} \right )A$ سلسلة احصائية تباينها $V_{x}$ و انحرافها المعياري $S_{x}$ و $\left ( y_{i},n_{i} \right )B$ سلسلة احصائية بنفس التكرار $V_{y}$ و انحرافها المعياري $S_{y}$ و $y_{i}=ax_{i}+b$

مع $a\in \mathbb{R}^{\ast },b\in \mathbb{R}$ من أجل $i\in \left \{ 1,2,3,...,p \right \}$ يكون لدينا $V_{y}=a^{2}.V_{x}$ و $S_{y}=\left | a \right |.S_{x}$

تلخيص سلسلة احصائية

* يتم تلخيص سلسلة إحصائية بمؤشرين ( مؤشر موقع و مؤشر تشتت )

* عموما نختار الثنائية ( الوسيط ، الوسط الحسابي للانحرافات المطلقة ) ( $e_{m}$ ، $Med$ )أو الثنائية ( الوسط الحسابي ، الانحراف المعياري ) اي ( $S_{x}$ ، $\overline{X}$ )

*يمكن استعمال ثنائيات أخرى لتلخيص سلسلة كالثنائية ( الوسيط ، المدى ) يكن يعاب على المدى تأثره بالقيم الشاذة .

*تستخدم احيانا الثنائية ( الوسيط ، الانحراف الربعي ) لتلخيص السلسلة و هي ثنائية لا تتأثر بالقيم الشاذة .

* تلخيص سلسلة إحصائية يمكّننا من مقارنتها بسلسلة أخرى ملخصة باستعمال الثنائية المختارة .