ملخص الدرس / الثآنية ثانوي/رياضيات/الإحصاء و الإحتمالات/الإحتمالات
مصطلحات
- نسمي تجربة عشوائية كل تجربة لا يمكن توقع نتيجتها رغم معرفة مجموعة النتائج الممكنة .
* في تجربة عشوائية ، مجموعة النتائج الممكنة تسمى مجموعة الامكانيات و يرمز لها بالرمز .
ليكن جزءا من
، نقول عندئذ أن
حادثة .
- إذا احتوت المجموعة الجزئية على عنصر وحيد فإنها تدعى حادثة أولية .
- هي الحادثة الأكيدة و
هي الحادثة المستحيلة . (
الجزء الخيالي )
- إذا كانت حادثة ما فإن حادثتها العكسية يرمز لها ب
و هي التي تحوي كل عناصر
ما عدا عناصر
- لتكن و
حادثتين . نرمز ب
للحادثة "
و
" و هي التي تحوي العناصر المشتركة بين
و
* إذا كانت خالية أي
نقول عندئذ أن الحادثتين
و
غير متلائمتين .
- نرمز ب للحادثة "
أو
" و هي التي تحوي عناصر
و عناصر
أيضا .
قانون الاحتمال
تعريف :
قانون احتمال لتجربة عشوائية هو إرفاق كل مخرج
بعدد موجب
مع
بحيث يتحقق ما يلي :
* نمذجة تجربة عشوائية يعني إرفاقها بمجموعة إمكانيات و قانون احتمال
على
يسمى العدد احتمال تحقق المخرج
ملاحظة
:
بما أن كل عدد موجب فهو أصغر من المجموعة
و منه
من أجل كل
طبيعي من
إلى
.
ملاحظة
:
إحتمال الحادثة يرمز له ب
و يساوي مجموع إحتمالات الحوادث الاولية للحادثة
.
تساوي الاحتمال
تعريف :
نقول عن تجربة أنها متساوية الاحتمال عندما يكون لكل الحوادث الاولية نفس الاحتمال نقول عندئذ أن قانون الاحتمال متساوي التوزيع .
نتيجة :
في حالة تساوي الاحتمال
كل مخرج له احتمال
حيث
إذا كانت الحادثة تحوي
عنصرا يكون احتمالها
حيث
أي أن = عدد عناصر
/ عدد عناصر
ملاحظة :
بما أن فإن
و نضع
خواص الاحتمالات
لتكن المجموعة الشاملة ( النتائج الممكنة ) لتجربة عشوائية ، نزود
بالاحتمال
.
من أجل كل حادثة
فإن
و
إذا كانت
و
حادثتين كيفيتين فإن :
إذا كانت
و
حادثتين غير متلائمتين
فإن
حيث
الحادثة العكسية للحادثة
إذا كانت الحادثة
جزءا من الحادثة
فإن
تعاريف :
لتكن مجموعة النتائج الممكنة لتجربة عشوائية ( نعتبر هذه النتائج أعداد حقيقية )
ليكن احتمالا على
، نرمز بالرمز
للاحتمال
* أمل قانون الاحتمال هو العدد حيث
* تباين قانون الاحتمال هو العدد حيث
* الانحراف المعياري لقانون الاحتمال هو العدد
يمكن كتابة التباين على الشكل
ملاحظة :
الأمل يمثل الوسط الحسابي في سلسلة احصائية إذا اعتبرنا أن قيم الطبع هي عناصر و التواترات النظرية هي القيم
المتغير العشوائي
تعريف :
المجموعة الشاملة لتجربة عشوائية . نسمي متغيرا عشوائيا كل دالة عددية معرفة على
قانون الاحتمال لمتغير عشوائي
تعريف :
قانون غحتمال لمتغير عشوائي هي الدالة المعرفة على
( مجموعة قيم
) و التي ترفق بكل قيمة
من
العدد
تعريف :
* الأمل الرياضياتي للمتغير هو العدد
حيث
* التباين للمتغير هو العدد
*الانحراف المعياري للمتغير هو العدد
و يمكن كتابة حيث