ملخص الدرس / الثآنية ثانوي/رياضيات/الإحصاء و الإحتمالات/الإحتمالات

الدرس

مصطلحات

- نسمي تجربة عشوائية كل تجربة لا يمكن توقع نتيجتها رغم معرفة مجموعة النتائج الممكنة .

* في تجربة عشوائية ، مجموعة النتائج الممكنة تسمى مجموعة الامكانيات و يرمز لها بالرمز $\Omega$ .

ليكن $A$ جزءا من $\Omega$ ، نقول عندئذ أن $A$ حادثة .

- إذا احتوت المجموعة الجزئية $A$ على عنصر وحيد فإنها تدعى حادثة أولية .

- $\Omega$ هي الحادثة الأكيدة و $\varnothing$ هي الحادثة المستحيلة . ( $\varnothing$ الجزء الخيالي )

- إذا كانت $A$ حادثة ما فإن حادثتها العكسية يرمز لها ب $\overline{A}$ و هي التي تحوي كل عناصر $\Omega$ ما عدا عناصر $A$

- لتكن $A$ و $B$ حادثتين . نرمز ب $A\cap B$ للحادثة " $A$ و $B$ " و هي التي تحوي العناصر المشتركة بين $A$ و $B$

* إذا كانت $A\cap B$ خالية أي $A\cap B=\varnothing$ نقول عندئذ أن الحادثتين $A$ و $B$ غير متلائمتين .

- نرمز ب $A\cup B$ للحادثة " $A$ أو $B$ " و هي التي تحوي عناصر $A$ و عناصر $B$ أيضا .

قانون الاحتمال

تعريف :

قانون احتمال $P$ لتجربة عشوائية هو إرفاق كل مخرج $e_{i}$ بعدد موجب $p_{i}$ مع $i\in \left \{ 1,2,3,...,n \right \}$

بحيث يتحقق ما يلي : $p_{1}+p_{2}+p_{3}+...+p_{n}=1$

* نمذجة تجربة عشوائية يعني إرفاقها بمجموعة إمكانيات $\Omega$ و قانون احتمال $P$ على $\Omega$

يسمى العدد $p_{i}$ احتمال تحقق المخرج $e_{i}$

ملاحظة $1$ :

بما أن كل عدد $p_{i}$ موجب فهو أصغر من المجموعة $1$ و منه $0\leq p_{i}\leq 1$ من أجل كل $i$ طبيعي من $1$ إلى $n$ .

ملاحظة $2$ :

إحتمال الحادثة $A$ يرمز له ب $P\left ( A \right )$ و يساوي مجموع إحتمالات الحوادث الاولية للحادثة $A$ .

تساوي الاحتمال

تعريف :

نقول عن تجربة أنها متساوية الاحتمال عندما يكون لكل الحوادث الاولية نفس الاحتمال نقول عندئذ أن قانون الاحتمال متساوي التوزيع .

نتيجة :

في حالة تساوي الاحتمال

كل مخرج $\left \{ e_{i} \right \}$ له احتمال $p_{i}$ حيث $p_{i}=\frac{1}{n}$

إذا كانت الحادثة $A$ تحوي $m$ عنصرا يكون احتمالها $P\left ( A \right )$ حيث $P\left ( A \right )=m\times \frac{1}{n}$

أي أن $P\left ( A \right )$ = عدد عناصر $A$ / عدد عناصر $\Omega$

ملاحظة :

بما أن $p_{1}+p_{2}+p_{3}+...+p_{n}=1$ فإن $P\left ( \Omega \right )=1$ و نضع $P\left (\varnothing \right )=0$

خواص الاحتمالات

لتكن $\Omega$ المجموعة الشاملة ( النتائج الممكنة ) لتجربة عشوائية ، نزود $\Omega$ بالاحتمال $P$ .

$(1$ من أجل كل حادثة $A$ فإن $0\leq P\left ( A \right )\leq 1$

$(2$ $P\left ( \Omega \right )=1$ و $P\left ( \varnothing \right )=0$

$(3$ إذا كانت $A$ و $B$ حادثتين كيفيتين فإن : $P\left ( A\cup B \right )=P\left ( A \right )+P\left ( B \right )-P\left ( A\cap B \right )$

$(4$ إذا كانت $A$ و $B$ حادثتين غير متلائمتين $\left ( A\cap B=\varnothing \right )$ فإن $P\left ( A\cup B \right )=P\left ( A \right )+P\left ( B \right )$

$(5$ $P\left ( \overline{A} \right )=1-P\left ( A \right )$ حيث $\overline{A}$ الحادثة العكسية للحادثة $A$

$(6$ إذا كانت الحادثة $A$ جزءا من الحادثة $B$ $\left (A\subset B \right )$ فإن $P(A)\leq P(B)$

تعاريف :

لتكن $\Omega$ مجموعة النتائج الممكنة لتجربة عشوائية ( نعتبر هذه النتائج أعداد حقيقية ) $\Omega =\left \{ e_{1},e_{2},e_{3},...,e_{n} \right \}$

ليكن $P$ احتمالا على $\Omega$ ، نرمز بالرمز $p_{i}$ للاحتمال $p_{i}=P\left ( e_{i} \right )$

* أمل قانون الاحتمال هو العدد $E$ حيث $E=\sum_{i=1}^{n}e_{i}p_{i}$

* تباين قانون الاحتمال هو العدد $V$ حيث $V=\sum_{i=1}^{n}\left (e_{i}-E \right )^{2}p_{i}$

* الانحراف المعياري لقانون الاحتمال هو العدد $\sigma =\sqrt{V}$

يمكن كتابة التباين $V$ على الشكل $E=\sum_{i=1}^{n}e_{i}^{2}p_{i}-E^{2}$

ملاحظة :

الأمل يمثل الوسط الحسابي في سلسلة احصائية إذا اعتبرنا أن قيم الطبع هي عناصر $\Omega$ و التواترات النظرية هي القيم $p_{i}$

المتغير العشوائي

تعريف :

$\Omega$ المجموعة الشاملة لتجربة عشوائية . نسمي متغيرا عشوائيا كل دالة عددية معرفة على $\Omega$

قانون الاحتمال لمتغير عشوائي

تعريف :

قانون غحتمال لمتغير عشوائي $X$ هي الدالة المعرفة على $I$ ( مجموعة قيم $X$ ) و التي ترفق بكل قيمة $x_{i}$ من $I$ العدد $P\left ( X=x_{i} \right )$

تعريف :

* الأمل الرياضياتي للمتغير $X$ هو العدد $E\left ( X \right )$ حيث $E(X)=\sum_{i=1}^{n}x_{i}p_{i}$

* التباين للمتغير $X$ هو العدد $V\left ( X \right )=\sum_{i=1}^{n}\left (x_{i}-E\left ( X \right ) \right )^{2}p_{i}$

*الانحراف المعياري للمتغير $X$ هو العدد $\sigma(X) =\sqrt{V\left ( X \right )}$

و يمكن كتابة $V\left ( X \right )=\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}p_{i}-\left (E\left ( X \right ) \right )^{2}$ حيث $p_{i}=P\left (X= x_{i} \right )$