ملخص الدرس / الثآنية ثانوي/رياضيات/الهندسة/الهندسة في الفضاء
التعليم في الفضاء
المعلم الديكارتي :
تعريف :
نسمي معلما للفضاء مبدؤه النقطة كل رباعية نقط
ليست من نفس المستوي .
إذا وضعنا : ،
و
نرمز إلى المعلم السابق بالرمز
.
ملاحظات :
* تشكل النقط ،
،
و
رباعي وجوه .
* الاشعة ،
و
ليست من نفس المستوي .
* يسمى المستقيم محور الفواصل و المستقيم
محور التراتيب بينما يسمى المستقيم
محور الرواقم .
*إذا كانت المستقيمات ،
و
متعامدة مثنى مثنى نقول أن المعلم
متعامد .
* إذا كان معلما متعامدا و كان
نقول أن
متعامد و متجانس .
* نرمز إلى المستوي ب
و إلى إلى المستوي
ب
، ...
إحداثيات نقطة :
مبرهنة :
إذا كان معلما للفضاء و كانت
نقطة من الفضاء فإنه توجد ثلاثية أعداد حقيقية وحيدة
بحيث :
إحداثيات شعاع :
تعريف :
معلم للفضاء .
شعاع و لتكن
النقطة الوحيدة التي تحقق
.
إحداثيات الشعاع هي
إحداثيات النقطة
في المعلم
. و يمكن أن نكتب
و هكذا كل شعاع يكتب بطريقة وحيدة على الشكل :
الحساب على الاحداثيات
خواص الاحداثيات :
يتم تمديد كل النتائج الخاصة بالاحداثيات في المستوي إلى الفضاء .
نتائج :
معلم للفضاء .
إذا كان
و
شعاعين من الفضاء و كان
عددا حقيقيا فإن :
* يعني
.
* يعني
و
و
.
* إحداثيات هي
و احداثيات
هي
.
إذا كانت
و
نقطتين من الفضاء فإن :
* إحداثيات الشعاع هي
.
* إحداثيات منتصف القطعة المستقيمة هي
.
الأشعة من نفس المستوي :
معلم للفضاء .
،
و
ثلاثة أشعة من الفضاء .
تكون الأشعة ،
و
من نفس المستوي إذا و فقط إذا وجد عددان حقيقيان
و
بحيث
.
و هذا يعني أن الجملة تقبل حلا
في
.
معادلات مستقيم معرف بنقطة و شعاع توجيه له :
معلم للفضاء . ليكن
المستقيم الذي يشمل النقطة
و
شعاع توجيه له .
يعني
أي
و
و
.
و هذا يعني إذا كان أن
اي أن مثلا :
أما إذا كان أحد الأعداد ،
أو
معدوما فإن مثلا في حالة
:
أما إذا انعدم عددان من الأعداد ،
و
فإن مثلا في حالة
:
و يبقى
كيفي .
حالات خاصة :
نرمز إلى محور الفواصل ب ، إلى محور التراتيب ب
و إلى محور الرواقم ب
الجدول التالي يحدد الشروط الكافية و اللازمة التي يجب أن تحققها
إحداثيات
نقطة لكي تنتمي إلى المحور المعني :
المحور | |
|
|
مميزاته |
المسافة بين نقطتين
العبارة التحليلية لطويلة شعاع :
مبرهنة :
في معلم متعامد و متجانس تحسب طويلة الشعاع ب :
.
المسافة بين نقطتين :
مبرهنة :
في معلم متعامد و متجانس تحسب المسافة بين نقطتين و
ب :
ملاحظة :
عند إجراء الحسابات غاليا ما يفضل مربع المسافة على المسافة .
معادلة سطح كرة مركزها مبدأ المعلم :
معلم متعامد و متجانس للفضاء .
عدد حقيقي موجب تماما .
سطح الكرة التي مركزها
و نصف قطرها
. لتكن
نقطة كيفية من الفضاء .
يعني
أي
و هذا يعني
إذن هي معادلة سطح الكرة
التي مركزها
و نصف قطرها
.