ملخص الدرس / الثآنية ثانوي/رياضيات/الهندسة/الزوايا الموجهة و حساب المثلتات
الزوايا الموجهة
زاوية موجهة لشعاعين غير معدومين :
يوجه المستوي توجيها مباشرا ( أو توجيها موجبا ) و يسمى الاتجاه الآخر الاتجاه غير المباشر ( أو الاتجاه السالب ) .
اصطلاحا نختار الاتجاه المباشر الاتجاه المعاكس لدوران عقارب الساعة .
في المستوي الموجه نسمي دائرة مثلثية كل دائرة موجهة في الاتجاه المباشر و التي نصف قطرها .
في كل ما يأتي نعتبر المستوي الموجه :
تعريف :
ليكن و
شعاعين غير معدومين .
الثنائية تسمى زاوية موجهة لشعاعين .
قيس زاوية موجهة :
تعريف :
ليكن و
شعاعين غير معدومين .
إذا كان قيسا للزاوية الموجهة
فإن كل الأعداد من الشكل
هي أقياس للزاوية
. مع
.
خاصية :
من بين أقياس الزاوية الموجهة يوجد قيس وحيد على المجال
يسمى القيس الرئيسي للزاوية الموجهة
.
نتائج :
القيس الرئيسي للزاوية المعدومة
هو
.
القيس الرئيسي للزاوية المستقيمة
هو
.
القيس الرئيسي للزاوية القائمة المباشرة هو
.
القيس الرئيسي للزاوية القائمة غير المباشرة هو
.
إذا كان
القيس الرئيسي للزاوية الموجهة
فإن
هو قيس للزاوية الهندسية المكونة من
و
.
علاقة شال :
مبرهنة : (تقبل بدون برهان )
من أجل كل ثلاثة أشعة غير معدومة ،
و
لدينا :
.
نتائج :
من أجل كل شعاعين غير معدومين و
لدينا :
* .
* .
* .
* .
خواص الزوايا الموجهة
الزوايا الموجهة المتقايسة :
خاصية :
،
،
و
أشعة غير معدومة من المستوي ، ليكن
قيسا للزاوية
و
قيسا للزاوية
تكون الزاويتان و
متقايستين إذا و فقط إذا وجد عددى صحيح
حيث
.
ملاحظة :
وجود عدد صحيح حيث
معناه
مضاعف ل
.
إذا كان نقول أن
و
قيسان لنفس الزاوية أو قيسان ازاويتان متقايستين .
الزوايا الموجهة و الارتباط الخطي لشعاعين :
خاصية :
و
شعاعان غير غير معدومين من المستوي .
يكون الشعاعان و
مرتبطان خطيا إذا و فقط إذا كان :
أو
.
ملاحظة :
* إذا كان يكون للشعاعين
و
نفس الاتجاه .
*إذا كان يكون للشعاعين
و
اتجاهين متعاكسين .
خاصية :
و
شعاعان غير غير معدومين من المستوي . ليكن
و
عددين حقيقيين غير معدومين .
* إذا كان و
من نفس الاشارة فإن
.
* إذا كان و
من اشارتين مختلفتين فإن
.
الزاوية المحيطية :
دائرة مثلثية مركزها
.
،
و
ثلاث نقط متمايزة مثنى مثنى من الدائرة
. الزاوية الموجهة
تسمى زاوية محيطية .
مبرهنة :
إذا كانت ،
و
ثلاث نقط متمايزة مثنى مثنى من دائرة مثلثية
مركزها
. و إذا كان
قيسا للزاوية الموجهة
. فإن
قيس للزاوية
.
حساب المثلثات
تعريف :
إذا كان نقول أن المعلم المتعامد و التجانس
من المستوى مباشر .
إذا كان نقول أن المعلم المتعامد و التجانس
من المستوى غير مباشر .
* معلم متعامد و متجانس مباشر .
* معلم متعامد و متجانس غير مباشر .
جيب تمام و جيب زاوية موجهة لشعاعين :
تذكير و تعريف :
دائرة مثلثية مركزها
. لتكن
و
نقطتين من الدائرة
حيث أن
معلم متعامد و متجانس مباشر .
نضع و
، لكل عدد حقيقي
صورة
على الدائرة
حيث
قيس بالراديان للزاوية الموجهة
، نعلم أن جيب تمام العدد
هو فاصلة النقطة و نكتب
و أن جيب العدد
هو ترتيب النقطة
و نكتب
.
إذا كان قيسا بالراديان للزاوية الموجهة
فإن كل عدد من الشكل
حيث
عدد صحيح هو كذلك قيس بالراديان للزاوية الموجهة
ومنه :
و
لهما نفس الصورة
على الدائرة
. و بالتالي :
و
مع
نقول أن الدالتين دوريتان و دور لهما .
نتائج :
من أجل كل عدد حقيقي :
،
،
.
جدول القيم الشهيرة :
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
تعريف :
* جيب تمام زاوية موجهة هو جيب تمام أحد أقياسها بالراديان و نرمز له بالرمز
.
* جيب زاوية موجهة هو جيب أحد أقياسها بالراديان و نرمز له بالرمز
.
جيب تمام و جيب الزوايا المرفقة
تعريف :
نسمي الزوايا المرفقة بزاوية موجهة حيث قيس لها ، الزوايا الموجهة التي أحد أقياسها :
،
،
،
،
.
فيما يلي نأخذ
عددا حقيقيا و
صورته على دائرة مثلثية المرفقة بالمعلم المتعامد و المتجانس
.
مبرهنة
:
من أجل كل عدد حقيقي لدينا :
،
،
* الجملة :
و
متناظرتان بالنسبة إلى مبدأ المعلم .
* الجملة :
و
متناظرتان بالنسبة إلى محور التراتيب .
* الجملة :
و
متناظرتان بالنسبة إلى مبدأ الفواصل .
ملاحظة :
من الجملة نستنتج أن الدالة
( جيب تمام ) دالة زوجية و أن الدالة
( جيب ) دالة فردية .
مبرهنة
:
من أجل كل عدد حقيقي لدينا :
معادلات مثلثية
عددين حقيقيين لهما نفس الجيب تمام و نفس الجيب :
ليكن و
عددين حقيقيين .
* معناه
أو
مع
.
* معناه
أو
مع
.
المعادلات المثلثية الأساسية :
أ- المعادلات من الشكل حيث
عدد حقيقي :
إذا كان أو
االمعادلة لا تقبل حلولا .
إذا كان يوجد عدد حقيقي
حيث
و الحلول هي : [
أو
] .
ب- المعادلات من الشكل حيث
عدد حقيقي :
إذا كان أو
االمعادلة لا تقبل حلولا .
إذا كان يوجد عدد حقيقي
حيث
و الحلول هي : [
أو
] .
الاحداثيات القطبية
التعليم القطبي :
ليكن معلم مباشر متعامد و متجانس . لتكن
الدائرة المثلثية التي مركزها
.
تعريف :
من أجل كل نقطة غير منطبقة على
، الثنائية
، حيث
و
، تسمى ثنائية إحداثيات قطبية في المستوي للنقطة
و نرمز
( عدد حقيقي موجب تماما و
عدد حقيقي ) .
النقطة تسمى القطب ،
يسمى المحور القطبي ، نقول أن
هو نصف القطر القطبي و
إحدى الزوايا القطبية .
في الشكل و
إذا الاحداثيات القطبية للنقطة
هي :
.
في الشكل و
إذا الاحداثيات القطبية للنقطة
هي :
.
ملاحظة :
الثنائية تعرف نقطة وحيدة
.
العلاقة بين الاحداثيات القطبية و الاحداثيات الديكارتية :
مبرهنة :
في معلم مباشر متعامد و متجانس لتكن
الدائرة المثلثية . إذا كانت
غير منطبقة على
و كانت احداثياها الديكارتية
و احداثياها القطبية
فإن :
.