ملخص الدرس / الثآنية ثانوي/رياضيات/الهندسة/الجداء السلمي و تطبيقاته

 الجداء السلمي لشعاعين :

تعريف :

الجداء السلمي لشعاعين   و  هو العدد الحقيقي الذي نرمز إليه بالرمز   و المعرف ب :

*  إذا كان  أو

*  إذا كان  و

حالات خاصة :

* إذا كان    و   مرتبطين خطيا و كان لهما نفس الاتجاه فإن  لأن

* إذا كان    و   مرتبطين خطيا و كاناتجاههما متعاكسين فإن   لأن

*نرمز إلى الجداء السلمي  ب   و نسميه المربع السلمي للشعاع  و هكدا   و بصفة خاصة إذا كانت  و  نقطتين فإن 

مبرهنة :

إذا كان    و  شعاعين فإن :

 العبارة التحليلية للجداء السلمي :

مبرهنة :

إذا كانت في معلم متعامد و متجانس ، إحداثيات  هي   و كانت إحداثيات  هي  فإن :

 الأشعة المتعامدة :

تعريف :

القول أن الشعاعين غير المعدومين   و   متعامدان يعني أنه إذا كان :   و  يكون المستقيمان  و  متعامدين .

ملاحظة :

نصطلح على أن الشعاع المعدوم عمودي على كل الأشعة .

مبرهنة :

القول أن الشعاعين   و   متعامدان يعني أن  .

 خواص الجداء السلمي :

مبرهنة :

من أجل كل ثلاث أشعة    ،  و   ومن أجل كل عدد حقيقي  لدينا  :

  المتطابقات الشهيرة :

  أو  

أو

 أو  

 المسقط العمودي لشعاع على محور أو شعاع : 

تعريف : 

 شعاع حيث  و  المسقطان العموديان على الترتيب للنقطتين  و  على محور .

يسمى الشعاع  ، المعرف ب  ، المسقط العمودي للشعاع على المحور    (أو على الشعاع  ) .

 الجداء السلمي و المسقط العمودي لشعاع :

مبرهنة :

إذا كان  و  شعاعين حيث  و كان  المسقط العمودي للشعاع  على  فإن :     

نتيجة : 

إذا كان  و  شعاعين غير معدومين و كانتا  و  المسقطان العموديان على الترتيب للنقطتين  و  على المستقيم  فإن :

حالات خاصة :

* إذا كان الشعاعان   و   مرتبطين خطيا و من نفس الاتجاه يكون :

* إذا كان الشعاعان   و   مرتبطين خطيا و كانا اتجاهاهما متعاكسين يكون   :

الشعاع الناظمي لمستقيم :

تعريف : 

القول أن الشعاع غير معدوم  شعاع ناظمي لمستقيم  يعني ان  عمودي على شعاع توجيه ل  

 معادلة مستقيم علم شعاع ناظمي له و نقطة منه : 

مبرهنة : 

في معلم متعامد و متجانس يكون لكل مستقيم حيث الشعاع غير المعدوم  شعاع ناظمي له معادلة من الشكل :  حيث  عدد حقيقي .

ملاحظة : 

إذا كانت  معادلة لمستقيم  فإن  شعاع توجيه له و منه الشعاع  شعاع ناظمي للمستقيم  لأن فعلا  و  متعامدان

مادام   .

معادلة دائرة : 

*معادلة دائرة علم مركزها و نصف قطرها : 

مبرهنة : 

في معلم متعامد و متجانس معادلة الدائرة  التي مركزها  و نصف قطرها   هي : 

*معادلة دائرة علم قطرلها :

الدائرة التي قطرها  هي مجموعة النقط  حيث 

مبرهنة المتوسط : 

 و  نقطتين و  منتصف القطعة المستقيمة  . من أجل كل نقطة  لدينا : 

 العلاقات المترية في مثلث :

 مثلث  ،  ،  ،  ،  ،  و لتكن  مساحة المثلث   .

*مبرهنة الكاشي :

مبرهنة :

 مثلث  ،  ،  . لدينا العلاقات التالية : 

*قاعدة المساحة : 

مبرهنة : 

 مثلث  ،  ،  و  مساحة المثلث   . لدينا العلاقات التالية :

*قانون الجيوب:

مبرهنة : 

 مثلث  ،  ،  . لدينا العلاقات التالية :