ملخص الدرس / الثآنية ثانوي/رياضيات/الهندسة/الجداء السلمي و تطبيقاته
الجداء السلمي
الجداء السلمي لشعاعين :
تعريف :
الجداء السلمي لشعاعين و
هو العدد الحقيقي الذي نرمز إليه بالرمز
و المعرف ب :
* إذا كان
أو
* إذا كان
و
حالات خاصة :
* إذا كان و
مرتبطين خطيا و كان لهما نفس الاتجاه فإن
لأن
* إذا كان و
مرتبطين خطيا و كاناتجاههما متعاكسين فإن
لأن
*نرمز إلى الجداء السلمي ب
و نسميه المربع السلمي للشعاع
و هكدا
و بصفة خاصة إذا كانت
و
نقطتين فإن
مبرهنة :
إذا كان و
شعاعين فإن :
العبارة التحليلية للجداء السلمي :
مبرهنة :
إذا كانت في معلم متعامد و متجانس ، إحداثيات هي
و كانت إحداثيات
هي
فإن :
الأشعة المتعامدة :
تعريف :
القول أن الشعاعين غير المعدومين و
متعامدان يعني أنه إذا كان :
و
يكون المستقيمان
و
متعامدين .
ملاحظة :
نصطلح على أن الشعاع المعدوم عمودي على كل الأشعة .
مبرهنة :
القول أن الشعاعين و
متعامدان يعني أن
.
قواعد الحساب
خواص الجداء السلمي :
مبرهنة :
من أجل كل ثلاث أشعة ،
و
ومن أجل كل عدد حقيقي
لدينا :
المتطابقات الشهيرة :
أو
أو
أو
الجداء السلمي و الاسقاط العمودي
المسقط العمودي لشعاع على محور أو شعاع :
تعريف :
شعاع حيث
و
المسقطان العموديان على الترتيب للنقطتين
و
على محور
.
يسمى الشعاع ، المعرف ب
، المسقط العمودي للشعاع
على المحور
(أو على الشعاع
) .
الجداء السلمي و المسقط العمودي لشعاع :
مبرهنة :
إذا كان و
شعاعين حيث
و كان
المسقط العمودي للشعاع
على
فإن :
نتيجة :
إذا كان و
شعاعين غير معدومين و كانتا
و
المسقطان العموديان على الترتيب للنقطتين
و
على المستقيم
فإن :
حالات خاصة :
* إذا كان الشعاعان و
مرتبطين خطيا و من نفس الاتجاه يكون :
* إذا كان الشعاعان و
مرتبطين خطيا و كانا اتجاهاهما متعاكسين يكون :
تطبيقات الجداء السلمي
الشعاع الناظمي لمستقيم :
تعريف :
القول أن الشعاع غير معدوم شعاع ناظمي لمستقيم
يعني ان
عمودي على شعاع توجيه ل
معادلة مستقيم علم شعاع ناظمي له و نقطة منه :
مبرهنة :
في معلم متعامد و متجانس يكون لكل مستقيم حيث الشعاع غير المعدوم شعاع ناظمي له معادلة من الشكل :
حيث
عدد حقيقي .
ملاحظة :
إذا كانت معادلة لمستقيم
فإن
شعاع توجيه له و منه الشعاع
شعاع ناظمي للمستقيم
لأن فعلا
و
متعامدان
مادام .
معادلة دائرة :
*معادلة دائرة علم مركزها و نصف قطرها :
مبرهنة :
في معلم متعامد و متجانس معادلة الدائرة التي مركزها
و نصف قطرها
هي :
*معادلة دائرة علم قطرلها :
الدائرة التي قطرها هي مجموعة النقط
حيث
حساب أطوال و أقياس زوايا
مبرهنة المتوسط :
و
نقطتين و
منتصف القطعة المستقيمة
. من أجل كل نقطة
لدينا :
العلاقات المترية في مثلث :
مثلث
،
،
،
،
،
و لتكن
مساحة المثلث
.
*مبرهنة الكاشي :
مبرهنة :
مثلث
،
،
. لدينا العلاقات التالية :
*قاعدة المساحة :
مبرهنة :
مثلث
،
،
و
مساحة المثلث
. لدينا العلاقات التالية :
*قانون الجيوب:
مبرهنة :
مثلث
،
،
. لدينا العلاقات التالية :