ملخص الدرس / الرابعة متوسط/رياضيات/الدوال و تنظيم المعطيات/التناسبية – الدالة الخطية و الدالة التألفية

الملخص

من الأستاذ(ة) ELBEY Mouloud

الدالة الخطية

1) الدالة الخطية:

تعريف:

عندما نرفق كل عدد بالجداء $ax$ حيث $a$ عدد طبيعي معلوم، نقول أننا عرفنا دالة خطية.

نرمز لها بـ: $f : x \rightarrow ax$

$f (x)$ هي صورة $x$ بالدالة $f$ ونكتب : $f(x) = ax$ .

مثال (01):

$P$ دالة خطية معاملها $a$ ، أوجد العدد $a$ إذا علمت أن : $f(3) = 2$

الحل :

لدينا: $P$ دالة خطية معاملها $a$ معناه: $f(x) = ax$ .

لدينا: $f(3)=2$ معناه $a \ast 3 = 2$ أي $a = \frac{2}{3}$ إذن: $f(x)=\frac{2}{3}x$ .

مثال (02):

$f$ دالة خطية معاملها $2$ .

1- أوجد صورة العدد $5$ بالدالة $f$ .

2- ما هو العدد الذي صورته $-4$ بواسطة الدالة $f$ .

الحال:

1- $f$ دالة خطية معاملها $-2$ معناه $f(x) = -2x$ .

ومنه $f(5) = -2(5)$ أي $f(x) = -10$ .

إذن العدد $-10$ هو صورة العدد $5$ بالدالة $f$ .

2- لدينا: $f(x) = -2x$ ولدينا $f(x) = -4$ .

إذن $-2x = -4$ أي $x = \frac{-4}{-2}$ ومنه $x = 2$ .

إذن العدد $2$ صورته هي العدد $-4$ بالدالة $f$ .

فيديوا تعليمي حول الدرس :

فيديوا تعليمي حول الدرس:

التمثيل البياني لدالة خطية

2) التمثيل البياني لدالة خطية:

التمثيل البياني لدالة خطية معاملها $a$ هي مجموعة النقط التي إحداثياها $(x ; ax)$ أي $(x; f(x))$ .

خاصية:

في معلم $(O;I;J)$ التمثيل البياني لدالة خطية معاملها $a$ هو المستقيم الذي يشمل نقطة المبدأ والنقطة $A$ التي إحداثياها $(1;a)$

تعريف:

نقول : $y=ax$ هي معادلة مستقيم بيان الدالة الخطية التي معاملها $a$ .

العدد $a$ يسمى معامل التوجيه للمستقيم.

مثال (01) : لاحظ الشكل (01)

التمثيل البياني لدالة خطية معاملها $a$ أي $f (x) = ax$

مثال (02): لاحظ الشكل (02)

تعين معامل الدالة الخطية إنطلاقا من تمثيلها البياني:

لدينا : $f(x) = ax$ أي $a = \frac{f(x)}{x}$ .

لإيجاد العدد $a$ يكفي أن نبحث عن صورة العدد 1 بالدالة $f$ .

من خلال التمثيل لدينا:

صورة العدد 1 هي العدد 2.

إذن : $a = \frac{2}{1}$ أي $a = 2$ ومنه $f(x) = 2x$ .

التناسبية والدالة الخطية

3) التناسبية والدالة الخطية:

إليك جدول تناسبية (لاحظ الشكل)

معامل المتناسبية $4$ هو معامل الدالة الخطية $f$ .

أي $f(x) = 4x$ أو $y = 4x$

فيمايلي فيديوا تعليمي حول الدرس:

الدالة التآلفية:

4) الدالة التآلفية:

تعريف:

$a$ ، $b$ عددان معلومان.

عندما نرفق كل عدد $x$ بالجداء $ax$ ، حيث $a$ عدد معطى، ثم نضيف إلى ذلك الجداء عددا معلوما $b$ نقول أننا عرفنا دالة تآلفية.

ونكتب : $f:x \rightarrow ax+b$ نسمي $f(x)$ صورة $x$ بالدالة $f$ ونكتب: $f(x) = ax+b$ .

مثال:

$f$ هي الدالة التآلفية التي ترفق بكل عدد $x$ العدد: $2x-1$ .

معناه: $f(x) = 2x-1$ .

صورة $3$ هي $2\ast 3-1$ أي $5$ إذن : $f(3) = 5$ .

ملاحظة:

الدالة الخطية هي حالة خاصة للدالة التآلفية.

- لتكن $f$ دالة تآلفية بحيث : $f(x) = ax+b$ فإن تغيرات $f(x)$ متناسبة مع تغيرات $x$ ومعامل التناسبية هو المعامل $a$ بحيث:

$a = \frac{f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}$ مع $x_{1} \neq x_{2}$ .

مثال:

عين الدالة التآلفية $f$ علما أن : $f(-6) = 4$ و $f(2) = 0$ .

الحل:

نعين الدالة التآلفية $f$ معناه إيجاد العددين $a$ و $b$ لدينا: $f(x) = ax+b$ (لاحظ الشكل).

حساب $a$ معامل الدالة التآلفية $f$ :

$a = \frac{f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}} = \frac{0-4}{2-(-6)} = \frac{-4}{8} = \frac{-1}{2}$ إذن $a = \frac{-1}{2}$

ومنه: $f(x) = \frac{-1}{2}x+b$

حساب العدد $b$ :

لدينا: $f(2) = 0$ معناه $\frac{-1}{2}\ast 2+b = 0$ أي $-1+b = 0$ .

ومنه: $b = 1$ إذن $f(x) = \frac{-1}{2}x+1$ .

ملاحظة:

يمكن إيجاد العددين $a$ و $b$ وهذا بحل جملة معادلتين.

التمثيل البياني لدالة تآلفية

5) التمثيل البياني لدالة تآلفية:

تعريف:

التمثيل البياني لدالة تآلفية حيث: $f(x) = ax+b$ هو مجموعة النقاط التي إحداثياها $(x;y)$ بحيث : $y = ax+b$ وهي معادلة مستقيم بيان الدالة التآلفية $f$ .

- العدد $a$ يسمى معامل التوجيه للمستقيم.

- العدد $b$ يسمى الترتيب إلى المبدأ.

مثال:

مثل بيانيا الدالة التآلفية $f$ بحيث: $f(x) = 2x-1$ .

لتمثيل بيانيا الدالة $f$ يكفي تعيين نقطتين منه.

لدينا: $f(x) = 2x-1$ معناه $y=2x-1$ وهي معادلة المستقيم $(\Delta )$ بيانيا الدالة $f$ .

لدينا : $y=2x-1$ .

إذا كان : $x = 0$ فإن $y = -1$ .

إذا كان: $x = 2$ فإن $y = 3$

* لاحظ الشكل.

فيديوا تعليمي لوضعية إدماجية: